BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÔ QUÝ ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HOÀN
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÔ QUÝ ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HOÀN
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH. NGUYỄN THIỆU HUY

Hà Nội - 2017


Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2

Tính ổn định và nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . 14

Không gian hàm Banach chấp nhận được và không gian giảm
nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được . . . . . . . . 16

1.2.2

Không gian giảm nhớ (fading memory space) . . . . . . 19

1.2.3

Bất đẳng thức nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3

Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4

Đa tạp ổn định địa phương đối với phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25



3.1

Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . 51

3.2

Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa có nhị phân mũ

3.3

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương . . . . . . 58

. . . . 55

Chương 4. NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
69

CÓ TRỄ

4.1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình có
trễ hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2

Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương . . . . . . 73

4.3

1

Ngô Quý Đăng


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH.
Nguyễn Thiệu Huy-người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tôi trên
con đường khoa học. Thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu,
giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị và luôn tạo ra những thử
thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi, sáng tạo. Đó là những gì tôi may mắn được
tiếp nhận từ người thầy đáng kính của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô và các bạn trong xemina
Dáng điệu tiệm cận nghiệm thuộc Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học
Bách khoa Hà Nội do PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy chủ trì. Đây là môi
trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo
Sau đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách
khoa Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán cơ bản, Viện
Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động
viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.
Tác giả xin cũng bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Lãnh đạo và
các đồng nghiệp trong Khoa GD Tiểu học, Phòng Khảo thí và Đảm bảo chất
lượng, Khoa Tự nhiên Trường CĐSP Thái Bình đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu
thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.
Tác giả



p

|u(x)|p dx)1/p < +∞ , 1 ≤ p < ∞.

=(
R

L∞ (R)

:= u : R → R u

∞

= ess sup |u(x)| < +∞ .
x∈R

L1,loc (R)

:= u : R → R u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R ,
trong đó ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R.

X, Y

: không gian Banach.

L(X), L(C, X) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.


t+1


:= f : R+ → X f (·) ∈ M

3

với chuẩn f

M

:=

f (·)

M.


C

:= C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0,
nhận giá trị trong X với chuẩn u

C

= sup

u(t) .

t∈[−r,0]

C R−

Cb (R+ ,X)

:= sup v(t) .
t∈R+

:= v : R → X | v liên tục và sup v(t) < ∞
t∈R

với chuẩn v

Cb (R,X)

:= sup v(t) .
t∈R

Cb ([−r, ∞), X) := v : [−r, ∞) → X | v liên tục và

sup
t∈[−r,∞)

với chuẩn v

Cb

:= sup
t∈[−r,∞)

4

v(t) .

với toán tử tuyến tính A(t) (có thể không bị chặn) sinh ra họ tiến hóa và
trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần
được nghiên cứu.
Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm
5


cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học đó là nghiên cứu về
tồn tại đa tạp tích phân. Nghiên cứu này mang lại cho chúng ta bức tranh
hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu
phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác
định. Mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm
của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn
giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm
của phương trình đang xét. Những kết quả đầu tiên nghiên cứu về sự tồn tại
đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường được Hadamard (xem
[13]), Perron (xem [49, 50]) đưa ra. Sau đó, Daleckii và Krein (xem [27]) đã
mở rộng các kết quả đó cho phương trình vi phân trong không gian Banach....
Năm 2009, N.T. Huy cùng một số cộng sự đã sử dụng không gian hàm chấp
nhận được, định lý hàm ẩn,... xây dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp
ổn định bất biến mà không cần dùng điều kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ của
toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [40]). Cụ thể các tác giả đã xét
điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp
ổn định bất biến (xem [35]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến là hàm
phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được.
Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã mang đến một số
kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian
gần đây (xem [4, 28, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45]). Tuy nhiên,
các nghiên cứu này mới xét cho trường hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng,
một số dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng không trễ hoặc có trễ hữu

•

du
= A(t)u(t) + G(t, u(t)), t ≥ 0,
(2)
dt
trong đó G(t, x) là hàm tuần hoàn theo t với mỗi x cố định và là toán
tử Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitz địa phương theo x, với ϕ thuộc lớp không
gian hàm chấp nhận được.

•

du
= A(t)u(t) + G(t, ut ), t ≥ 0,
(3)
dt
trong đó G(t, ut ) là hàm phi tuyến tuần hoàn theo t xác định trên không
gian Banach C hoặc Cν , thỏa mãn điêu kiện ϕ-Lipschitz địa phương, với
ϕ thuộc lớp không gian hàm chấp nhận được.
7


Sau đó, trong trường hợp toán tử tuyến tính (A(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa
U (t, s) có nhị phân mũ, chúng tôi sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và
đặc trưng của nhị phân mũ (xem [34]) đối với phương trình tiến hóa để xây
dựng cấu trúc nghiệm theo nghĩa đủ tốt. Từ đó chỉ ra tính tồn tại duy nhất
nghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình trên. Cũng trong trường hợp
này, chúng tôi áp dụng một số nguyên lí cơ bản trong giải tích toán học như
nguyên lí ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức nón,... để chứng
minh sự ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn.

về lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,...
Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình vi phân, phương trình
đạo hàm riêng.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
• Chương 1: Chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Trước tiên
là khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nửa
nhóm. Tiếp theo là khái niệm về họ tiến hóa và một số tính chất của
nó. Sau đó là không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [35, 40]),
không gian giảm nhớ (Fading memory spaces (xem [9, 10, 14, 58])).
Cuối cùng là tính nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (xem [34, 35, 37]).
• Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn
của phương trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất có dạng
du
= A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+
dt

(4)

và tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính có dạng
du
= A(t)u(t) + g(u)(t), t ∈ R+
dt
9

(5)


(7)

trong đó, F (t) ∈ L(C, X) với C := C([−r, 0], X); g : R+ × C → X liên
tục ϕ-Lipschitz địa phương; ut là hàm lịch sử thỏa mãn ut (θ) = u(t + θ)
với θ ∈ [−r, 0].
Tiếp theo chúng tôi xét phương trình vi phân hàm có trễ với không
gian pha là không gian giảm nhớ (fading memory space)
du
= A(t)u + g(t, ut ),
dt
1

t ∈ R+ ,

Để tiện cho việc tính toán, trong chương 3 và 4 chúng tôi sử dụng chu kì 1

10

(8)


trong đó, g : R+ × Cν → X liên tục ϕ-Lipschitz địa phương với
Cν := {φ : φ ∈ CR− = C((−∞, 0], X) và lim eνs φ(s) = 0, ν > 0};
s→−∞

ut là hàm lịch sử thỏa mãn ut (θ) = u(t + θ) với θ ∈ (−∞, 0]. Với các
phương trình trên chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm
tuần hoàn và trong trường hợp họ tiến hóa tuần hoàn có nhị phân mũ
chúng tôi chứng minh tính ổn định có điều kiện, tồn tại đa tạp ổn định

trình tiến hóa nửa tuyến tính.

1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và
nhị phân mũ

1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X) gọi là
một nửa nhóm liên tục mạnh nếu:
(i) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0.
(ii) T (0) = I toán tử đồng nhất.
(iii) lim+ T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X.
t→0

Định nghĩa 1.1.2. Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định bởi
1
Ax := lim+ (T (h)x − x)
h→0 h
trên miền xác định D(A) =

x ∈ X : lim+ h1 (T (h)x − x) tồn tại
h→0

gọi là toán

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X.

T (s)Axds nếu x ∈ D(A).

=
0

Định nghĩa 1.1.4. Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach
X. Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A là
ρ(A) = λ ∈ C | (λI − A) là song ánh

.

Khi đó
R(λ, A) := (λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A) là giải thức của A,
σ(A) := C \ ρ(A) gọi là tập phổ của A.
Định lý 1.1.5. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian
Banach X, lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0. Khi đó
với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tính chất sau:
∞

(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=

e−λs T (t)xds tồn tại, ∀x ∈ X thì

0

λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
13


(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).


Tính ổn định và nhị phân mũ

Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ, nhị
phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính ổn định và
nhị phân của nửa nhóm (xem[29, 30]).
Trước hết là khái niệm ổn định mũ đều:
Định nghĩa 1.1.6. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh
(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại > 0 sao cho
lim e t T (t) = 0.

t→∞

Tiếp theo là khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm.
Định nghĩa 1.1.7. Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi
là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực tiếp
X = Xs ⊕ Xu , các không gian con đóng Xs , Xu bất biến đối với (T (t))t≥0
sao cho hạn chế của (Ts (t))t≥0 trên Xs , và (Tu (t))t≥0 trên Xu thỏa mãn các
điều kiện:
(i) Nửa nhóm (Ts (t))t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs ;
(ii) Nửa nhóm (Tu (t))t≥0 có nghịch đảo trên Xu và (Tu (t)−1 )t≥0 ổn định mũ
đều trên Xu .
14


Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân mũ
của nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăng
của nửa nhóm được xác định trong các định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1.8. Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng trên không
gian Banach X. Khi đó

(ii) σ(T (t)) ∩ D = ∅ với một/ mọi t > 0, trong đó D là đường tròn đơn vị.
Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) và A là toán tử
sinh của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với
(iii) σ(A) ∩ iR = ∅.
Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh
xạ phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: σ(A) và σ(T (t)) thỏa mãn
σ(T (t)) ⊂ D.etσ(A) := {z.etλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0.

1.2

Không gian hàm Banach chấp nhận được
và không gian giảm nhớ

1.2.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian hàm
chấp nhận được (xem [34]).
Định nghĩa 1.2.1. Một không gian vector E gồm các hàm thực đo được
Borel trên R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ), trong đó
B là đại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R+ , nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:
16


(1) E là dàn Banach với chuẩn ·

E,



E

với mọi f ∈ E.

J

Định nghĩa 1.2.2. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được
nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E ta có
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

E.

t+1

(ii) E là bất biến với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

ϕ(τ )dτ .
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , với
Tτ+ ϕ(t) =

17

(1.1)


t+1

với chuẩn f

M

|f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp

:= supt≥0
t

nhận được. Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như
là không gian Lorentz Lp, q , 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ cũng là không gian hàm
Banach chấp nhận được.
Chú ý 1.2.4. Nếu E là không gian hàm Banach chấp nhận được thì E → M.
Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được.
Mệnh đề 1.2.5. (xem [34]) Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận
được. Ta có các khẳng định sau:
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác
định Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau:
t

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,

Λσ ϕ(t) =

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞

(1.2)

trong đó Λ1 , T1+ và N1 , N2 được xác định trong Định nghĩa 1.2.2.
(b) Với mọi α > 0, e−αt ∈ E.
(c) Với mọi b > 0, ebt ∈
/ E.
Trong không gian M xác đinh như (1.1) xét tập các hàm tuần hoàn với
chu kì 1 như sau
P := f ∈ M : f tuần hoàn với chu kì 1 .
18

(1.3)


Khi đó, với mỗi hàm dương ϕ thuộc P. Thì, với 0 ≤ t ≤ 1 chúng ta có
t+1

(Λ1 T1+ ϕ)(t) =

t+1

(T1+ ϕ)(τ )dτ =

(T1+ ϕ)(τ )dτ

(T1+ ϕ)(τ )dτ =
t
t+1

ϕ(τ − 1)dτ
t

ϕ(τ )dτ = (Λ1 ϕ)(t).

=
t

Do đó, (Λ1 T1+ ϕ)(t) ≤ (Λ1 ϕ)(t) với mọi t ∈ R+ . Vậy, từ (1.2) chúng ta có
Λσ ϕ

∞

≤

N1
ϕ
1 − e−σ

M

và Λσ ϕ

∞

≤

Định nghĩa 1.2.6. Cho X là không gian Banach. Không gian giảm nhớ là
không gian Banach (Γ; ·

Γ)

gồm tập các hàm từ (−∞, 0] vào X thỏa mãn

các tiên đề sau (xem [9, 10, 14, 58]):
19


A1) Tồn tại hằng số dương H, các hàm liên tục không âm bị chặn địa
phương K(·) và M (·) trên [0, ∞) và hàm u : (−∞, a) → X liên tục
thỏa mãn σ < a, uσ ∈ Γ. Khi đó, với mọi t ∈ [σ, a) ta có
(i) ut ∈ Γ,
·

(ii) ut liên tục theo t (đối với chuẩn
(iii) H u(t) ≤ ut

Γ

Γ ),

≤ K(t − σ) supσ≤s≤t u(s) + M (t − σ) uσ

Γ.

A2) Nếu {φk }, φk ∈ Γ, hội tụ đều đến hàm φ trên tập compact thuộc
(−∞, 0], {φk } là dãy Cauchy trong Γ, thì φ ∈ Γ và φk → φ trong Γ,

φ(s)
= 0 , trong đó ν > 0
e−νs

với chuẩn
φ

ν

:=

sup
−∞
≤ sup x(s) = sup x(s) = sup x(s) .
e−νθ
0≤s≤1
s≥0
s∈R

do đó,
xt

ν

≤ sup x(s) ≤ x(·)
s∈R+

1.2.3

Cb (R,X)

với mọi t ≥ 0.

Bất đẳng thức nón

Định nghĩa 1.2.10. Một tập đóng K trong không gian Banach W được gọi
là nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) x ∈ K thì λx ∈ K với mọi λ ≥ 0,
(ii) x1 , x2 ∈ K thì x1 + x2 ∈ K,
(iii) ±x ∈ K thì x = 0.
Cho nón K trong không gian Banach W . Với x, y ∈ W ta xác định quan
hệ x ≤ y nếu y − x ∈ K. Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận trên W .
Định lý 1.2.11 (Bất đẳng thức nón). Cho nón K trong không gian Banach