I . MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Môn Toán cùng với các môn học khác ở Tiểu học, có một vai trò rất quan
trọng trong việc hình thành nhân cách con người lao động. Nó cần cho mọi người
và được ứng dụng rộng rãi trong đời sống. Qua học toán góp phần hình thành và
giáo dục con người về nhiều mặt như rèn luyện phương pháp luận, phát triển trí
thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, tính cần cù chịu khó trong
mỗi con người.
Trong môn Toán lớp 4, mảng kiến thức về phân số chiếm một vị trí hết sức
quan trọng. Nội dung phân số được trình bày trọn vẹn trong chương trình lớp 4. Ở
phần 1 chỉ giới thiệu sơ qua về phân số mà chưa cụ thể, sang phần 2 mới đi sâu
hơn.
Thực tế khi dạy chương phân số các em gặp rất nhiều khó khăn đặc biệt
khi tiếp thu phần “so sánh phân số”. So sánh phân số cần có nhiều cách so sánh
khác nhau. Song sách giáo khoa lại không đưa hết các cách so sánh phân số mà
chỉ đưa hai cách so sánh phân số là cùng mẫu số và khác mẫu số. Khi so sánh
phân số với một và so sánh phân số cùng tử số lại không cụ thể thành tiết học,
thành bài học mà đưa vào các chú ý ở phần bài tập. Lượng kiến thức thì rất nhiều
mà thời gian thì hạn hẹp chỉ trong 2 tiết. Với học sinh tiểu học việc hiểu cặn kẽ và
giải thích thành thạo các bài toán lại là một việc không dễ làm, mỗi bài toán có
đặc điểm riêng. Bên cạnh đó trong thực tế làm bài tập mà chỉ sử dụng hai phương
pháp sách giáo khoa đưa ra thì không làm hết được. Trong khi đó với học trò cần
phải có hình ảnh trước. Hơn nữa các bài toán về so sánh phân số là các bài toán có
nhiều cách để giải. Song chọn cách giải nào để vừa chính xác, khoa học vừa
nhanh và đáp ứng được yêu cầu của bài tập thì học sinh còn lúng túng nhiều. Khi
giải các bài toán có liên quan đến nội dung so sánh phân số thì có những học sinh
có năng khiếu vẫn làm những cách giải rườm rà không mang tính đặc trưng, điển
hình của bài toán.
Có những bài toán rất đơn giản nhưng học sinh lại mang quy đồng tất cả
các phân số đó lên, làm như vậy hiệu quả sẽ không cao và không nắm được ý đồ
của bài tập sách giáo khoa đưa ra.

Nội dung phân số được đưa vào môn Toán ở Tiểu học tương đối hoàn chỉnh
bao gồm: Hình thành khái niệm, quan hệ so sánh, bốn phép tính cơ bản và tính
chất của 4 phép tính trên phân số.
1.1 - Khỏi niệm:
Phân số

a
; trong đó b gọi là mẫu số, được hiểu là số phần bằng nhau mà
b

đơn vị được chia ra, a là tử số được hiểu là số phần bằng nhau đó lấy đi (Với a là
số N, b là số N ≠ 0).
Mặt khác phân số

a
cũng có thể hiểu là kết quả của phép chia, a chia cho
b

b.
Ví dụ:

a
= a :b
b

Thay số:

6
= 6:4
4

b:m b

(m ≠ 0 )

- Nếu ta chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số m ≠ 0
thì được một phân số bằng phân số đã cho.
Ví dụ:

- Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số
đó:

a
c
và
b
d

2


- Nếu d chia hết cho b thì ta quy đồng phân số

a
bằng cách lấy d: b được
b

a
.
b
4

c c c×m
và ; =
( m ≠ 0 ) trong đó c × m = q
b
d d d ×m
12
4
Ví dụ:
và
7
3
a
c
- Nếu phân số và cú a × m = k ( m ≠ 0 ) và c × i = k ( i ≠ 0 ). Thì ta quy
b
d
a
c
đồng bằng cách. Cả tử số và mẫu số của phân số
cùng nhân với m;
nhân
b
d

Ví dụ:

với i để hai phân số có cùng tử số và so sánh.
Ví dụ:

6

* So sánh qua một phân số trung gian:
e
e
a
c
c
< < f thì < f
b
d
b

* So sánh bằng phần bù (trường hợp 2 phân số đều bé hơn 1).
1−

a
c
< 1−
b
d

thì

a
c
>
b
d

* So sánh "Phần hơn" với 1 của mỗi phân số ( Tách số)
a

lủng củng. Có em chưa hiểu đề bài còn dẫn đến hiểu sai và làm lạc đề.
* Về phụ huynh:
- 100% gia đình là công giáo, sinh đẻ nhiều, nhiều gia đình kinh tế đang còn quá
khó khăn. Đó chính là nguyên nhân dẫn đến sự quan tâm về học tập của phụ
huynh đối với con cái chưa cao, nhiều gia đình cũng phó mặc cho giáo viên và
nhà trường.
2. 2. Thực trạng về so sánh các phân số
Qua nhiều năm giảng dạy ở lớp 4 tôi nhận thấy các em gặp rất nhiều khó khăn
khi tiếp thu phần so sánh phân số. Nhiều học sinh tiếp thu kiến thức còn chậm, chưa
hiểu rõ kiến thức một cách vững chắc. Các em chỉ biết vận dụng những quy tắc có sẵn
để làm bài tập một cách máy móc, chưa chịu suy nghĩ tư duy sáng tạo khi làm bài. Vì
vậy có những bài so sánh rất đơn giản mà nhiều em vẫn làm sai.
Khi so sánh hai phân số
2
2
1
1
a.
và học sinh làm sai

2

7,2

7

25

10

35,7

9

32,1

Nguyên nhân của sự tồn tại trên:
- Do các em cứ thấy phân số nào có các chữ số lớn hơn thì các em cho là
phân đó lớn hơn.
- Các em máy móc không chú ý đến tử số và mẫu số của phân số (phân số
có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1 và ngược lại).
4


- Đối với các hỗn số các em chỉ nhìn thấy được phần nguyên chưa chú ý
đến phần phân số nên các em làm dễ sai.
- Các em chưa nắm được những phân số có tử số bằng nhau thì so sánh
mẫu số.
3. Các dạng bài
1. So sánh phân số cùng mẫu số


•

•

•

•

Bước 1: Cho học sinh so sánh độ dài đoạn thẳng AC và độ dài đoạn thẳng
AD.
Học sinh nhận ra ngay độ dài đoạn thẳng AC có hai phần còn độ dài đoạn
thẳng AD có 3 phần nên độ dài đoạn thẳng AD lớn hơn độ dài đoạn thẳng AC.
Bước 2: Giáo viên cho học sinh lên đưa phân số vào phần tương ứng trên
hình vẽ.
2
5
•

•

•

•

•

•

3

Giáo viên: Khi hai phân số có mẫu số bằng nhau thì tử số của phân số nào
bé hơn thì phân số đó bé hơn phân số kia.
Giáo viên đưa ví dụ: So sánh hai phân số

2
3
và
4
4

2
3


4
2
4
2
và vì 4 > 2 nên >
3
3
3
3

GV Nêu tiếp:
9 7
7 9
> thì < vì 7 < 9
5 5
5 5
7 10
10 7
- Nếu < thì > vì 10 > 7
11 11
11 11
1 2
- Nếu


2
3

Cho học sinh so sánh độ dài đoạn thẳng AC và AB
Học sinh nhận ra ngay đoạn thẳng AC ngắn hơn đoạn thẳng AB.
Giải thích:
- Chọn đoạn thẳng AC có 2 phần nên có độ dài tương ứng là

2
3

- Đoạn thẳng AB được chia làm 3 phần nên ta có thể viết AB =
một đơn vị nên

3
và AB là
3

3
2
= 1. Vậy < 1
3
3

Bài tập 1: Tìm các phân số nhỏ hơn 1
Ví dụ:

2
< 1;

< 1;
7

Vì sao các phân số trên là những phân số bé hơn 1? (vì tử số bé hơn mẫu số).
4.2.2. Phân số bằng 1: (Phân số này học sinh đã học qua)
Cho học sinh nhắc lại phần nhận xét trang 109- SGK Toán 4.
Số 1 có thể viết dưới dạng phân số có tử số và mẫu số bằng nhau và khác 0.
Cho học sinh viết thương dưới dạng phân số và tìm kết quả.
3
3

Ví dụ: 3 : 3 = = 1 ;

8:8 =

8
=1;
8

Cho học sinh nhận xét tử số và mẫu số từ đó rút ra kết luận.
- Tử số và mẫu số bằng nhau.
- Khi tử số và mẫu số của phân số bằng nhau thì phân số đó bằng 1.
Cho học sinh lấy ví dụ:
5
= 1;
5

23
= 1;
23








3
3

Lấy cả 3 phần của đoạn thẳng AB ta được
có

3
. Mà đoạn thẳng AB = 1 nên ta
3

3
=1
3

4.2.3 - Phân số lớn hơn 1
4
và 1
3
3
4
3
Cách 1: Vì 1 = nên ta so sánh và
3

C
4
3

Vì số phần được chia làm 3 phần mà số lần lấy là 4 lần nên ta phải lấy sang
đơn vị thứ hai thêm 1 phần.
Học sinh quan sát trên hình và rút ra

4
3
>
3
3

Cách 3: Minh hoạ trên tia số
Giáo viên đưa tia số:
3
3
0•

•

•

4
3

•

•

4 3
4
> nên > 1
3 3
3

Cách 4: Có 4 kg thịt chia đều cho 3 người và 3 kg thịt chia đều cho 3
người. Hỏi mỗi phần của bên nào nhiều hơn.
Qua các cách làm trên cho học sinh nhận xét phân số như thế nào là lớn
hơn 1. (Dựa vào đặc điểm mẫu số và tử số).
Giáo viên chốt lại: Phân số có số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1
Giáo viên tóm tắt lại cách so sánh phân số với 1
Phân số với tử nhỏ hơn mẫu thì phân số nhỏ hơn 1
Phân số có tử số lớn hơn mẫu thì phân số nhỏ hơn 1
Phân số có tử bằng mẫu thì phân số bằng 1
Dạng tổng quát: Cho phân số

a
b

a
b thì >1
b
a
- Nếu a = b thì = 1
b


3
4

•

•

•

•

•

•

•

4
5

Học sinh so sánh các phần mới lấy trên hai đoạn thẳng xem phần nào dài
hơn phần nào ngắn hơn.
Căn cứ vào hình vẽ học sinh chỉ ra đoạn biểu thị phân số
biểu thị phân số

4
.
5

9

là những phân số
20
20

cùng mẫu số.
16
15
16 15
4 3
và
vì 16 > 15 nên
>
nên >
20
20
20 20
5 4
4 3
Kết luận >
5 4
2
3
So sánh hai phân số: và
3
4
2 2× 4 8
3 3× 3 9
=
= ;
=

nên < ;
24 24
6 8

Cụ thể:

7 7 × 3 21
=
=
8 8 × 3 24

5
3
và
6
4
3 3× 3 9
=
=
4 4 × 3 12

Bài tập: So sánh hai phân số:
5 5 × 2 10
=
= ;
6 6 × 2 12

(Vì 12 chia hết cho 6 và 4)
Vì


số và mẫu số của phân số .
5
2 2× 2 4
4
3
2 3
=
= ; Vì
> nên >
5 5 × 2 10
10 10
5 10

Cụ thể:

Tóm lại: Ở hai ví dụ trên học sinh dễ nhầm với ví dụ 1 là lấy hai mẫu số
nhân với nhau để tránh điều đó giáo viên cần khắc sâu cho học sinh.
- Tìm ra mối quan hệ mẫu số của hai phân số.
- Mẫu số của phân số nào chia hết cho mẫu số của phân số kia.
4. 4. So sánh hai phân số cùng tử số:
Đây là dạng bài toán ít gặp trong khi học sinh làm bài. Đặc biệt học sinh
hay nhầm với dạng bài toán khi phân số có cùng mẫu số.
Ví dụ:

4
2
và ;
5
5


nên >
35 35
5
7

Cách 2: Trực quan
Cho hai đoạn thẳng như nhau. Đoạn thẳng thứ nhất chia làm 7 phần bằng
nhau lấy 4 phần tức là
lấy 4 phần tức là

4
đoạn thẳng. Chia đoạn thứ hai thành 5 phần bằng nhau,
7

4
đoạn thẳng.
5

Giáo viên vẽ hình và học sinh tự so sánh độ dài hai đoạn thẳng biểu thị hai
phân số

4
4
và . Giáo viên kẻ hình và biểu thị. Học sinh rút ra kết luận:
7
5
•

•


Vậy

4
4


Nếu b < c thì >
b
c

- Cho hai phân số:

4. 5. So sánh phân số bằng “phần bù” của đơn vị
Sau khi học sinh học các phép tính cộng, trừ, nhân, chia về phân số.
Thông qua các tiết học tăng giờ tôi đưa thêm một số dạng bài tập ngoài sách giáo
khoa để bồi dưỡng học sinh năng khiếu trong lớp.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất:
12
13
và
13
14

* Cách nhận diện: Phát hiện và chỉ ra điểm chung giữa tử và mẫu của hai phân
số.
(dạng phân số < 1, có hiệu giữa mẫu số và tử số của 2 phân số bằng nhau).
+) 12 < 13; 13 < 14.
+) 13 - 12 = 1 (hiệu 1); 14 - 13 = 1 (hiệu 2) => Hiệu 1 = Hiệu 2.
Cách trình bày:
Bước 1: Tìm “phần bù” của đơn vị.
Ta có: 1-

12
1
13
1

+) 2006 < 2007; 2013 < 2015
+) 2007 – 2006 = 1; 2015 – 2013 = 2
12


suy ra hiệu của phép tính thứ hai = 2 lần hiệu của phép tính thứ nhất (vì 2: 1
= 2)
Để thực hiện được cách so sánh như ví dụ 1 thì ta phải có thêm một bước
phụ: Biến đổi phân số sao cho hiệu giữa phép tính thứ nhất bằng hiệu của phép
tính thứ hai.
Ta thấy:

2006 2006 × 2 2012
=
=
2007 2007 × 2 2014

Bước 1: Tìm “phần bù” của hai phân số.
1-

2012
2
2013
2
=
; 1=
2014 2014
2015
2015


2013
2
=
2015
2015

Bước 2: So sánh hai phân số vừa tìm được và kết luận hai phân số đã cho
vì

2
2
>
nên
2014
2015

2006
2013


1
3
4
vì >
nên

số:
- Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
- Trong 2 phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
2001
2002
và
2000
2001
2001
2001 − 2000
1
−1 =
=
Bước 1: Ta có :
2000
2000
2000
2002
2002 − 2001
1
−1 =
=
2001
2001
2001

a. Ví dụ: So sánh :

Bước 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận về 2 phân số cần so sánh
Vì

−1 =
=
4000
4000
4000
2003
2003 − 2001
2
−1 =
=
2001
2001
2001
2
2
4002 2003


=
10
10
10
3
3
13
29
Bước 2: Vì
>
nên
>
10
26
10
26

Bước 1: Ta có

;

14

29
29 − 26 3
=
-1 =
26
26
26

=
40
40
40
2
2
25
42
25
21
Bước 2: Vì
>
nên
>
hay >
23
40
23
40
23
20

Qua kiểm tra phần bài tập so sánh các phân số bằng phần hơn của đơn vị
thì hầu hết các em làm tốt dạng này.
4. 7. So sánh hai phân số với một số trung gian
1. Trường hợp 1:
a
c
và (a, b, c, d > 0) Nếu a > c và b < d hoặc a
b

75 74
74
75
74

Bước 1: Chọn phân số trung gian là:

Cách 2:
35
75
35
35
34
35
34
Bước 2: Vì
>
>
nên
>
74
75
75
74
75

Bước 1: Chọn phân số trung gian là

2. Trường hợp: 2
- Trong trường hợp hiệu giữa tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ

Ta so sánh
và
54
41

Bước1: Ta có:

26
41
26
26
27
26
27
13
27
Bước 3: Vì


d
b d
3
5
Ví dụ: So sánh phân số với phân số
7
9
3
5
Hướng dẫn: Nếu có một phân số lớn hơn phân số
nhưng nhỏ hơn phân số
7
9
3 5
thì phân số

và
; c)
và
5
9
25
7

;

Để học sinh tìm ra cách so sánh hợp lí nhất, tôi cho học sinh xác định ở
từng câu a, b, c, thuộc trường hợp nào đã học. Từ đó học sinh tìm ra cách giải
đúng và nhanh.
a)

16
15
và
27
29

15
27
16
15
15
16
15
Bước 2: Vì
>

16


Bước 2: Chọn phân số trung gian là
Bước 3: Vì
c)

1
2

3
1
4
3
4
> > nên >
5
2
9
5
9

14
5
và
25
7

5
5× 3

21
25
21
25
7

Bước 2: Chọn phân số trung gian là

Sau khi tôi hướng dẫn học sinh so sánh hai phân số bằng cách so sánh với
một số trung gian thì học sinh dễ dàng làm được bài tập trên.
4. 8. So sánh hai phân số bằng cách chia hai phân số.
Có những bài toán khi so sánh các phân số mà không vận dụng được cách
so sánh bằng phần bù hoặc là so sánh với một số trung gian thì so sánh hai phân
số bằng cách chia hai phân số có thể giải quyết được những hạn chế trên.
Cách này dựa trên cơ sở so sánh thương số với 1 để biết số bị chia lớn hay
số chia lớn. Ta có hai phân số A và B.
Nếu A : B > 1 thì số bị chia lớn hơn số chia hay A > B.
Nếu A : B = 1 thì số bị chia bằng số chia hay A = B.
Nếu A : B < 1 thì số bị chia nhỏ hơn số chia hay A < B.
Điều này xuất phát từ cơ sở so sánh với 1 nhưng A và B không phải là tử số
và mẫu số mà là một phân số.
Cho học sinh nhắc lại so sánh hai phân số bằng cách cách chia hai phân số.
5
9
và
16
20
5
9
5 20

7
11

b.

3
5
và
11
16

Trước hết tôi cho học sinh nhận diện câu a và câu b xem thuộc cách so sánh
nào đã học. Khi thấy các phân số đó không thuộc dạng toán đã học ở các trường
hợp trước thì ta vận dụng so sánh các phân số bằng cách chia hai phân số.
a.

3
4
và
7
11

Bước 1: Ta có

3 4
3 11
3 × 11 33
:
= × =
=

: = ì =
11 16 11 5
55

48
3
5

và ;
4
5

b)

6
7
và ;
5
8

c)

2
3
và ;
6
12

Câu 4: Viết các phân số theo thứ tự tăng dần
5
;
6

2
;
3

3


SL

TL%

12

42,9

10

35,7

6

21,4

0

0

18


Nhìn vào bảng tổng hợp ta thấy chất lợng của lớp hơn hẳn
đầu năm. Đa số các em làm bài nhanh và hiểu nội dung bài sâu
hơn. Các em biết phối hợp thành thạo các cách so sánh vào một
bài toán để đi đến đáp số mà không cần làm bài dài dòng.
III. KT LUN
So sánh phân số là một dạng toán khó và có nhiều cách