1


MỤC LỤC ..............................................................................................................01
A. Phần mở đầu.....................................................................................................02
I. Lý do chọn đề tài .............................................................................................02
II. Mục đích nghiên cứu.......................................................................................03
III. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................03
IV. Thực trạng trước khi thưc hiện các giải pháp của đề tài ...................................04
V. Dự kiến kết quả đạt...........................................................................................05
B. Phần nội dung....................................................................................................06
I Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ
1. Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ.............................................06
2. Các dạng hình học chuyển đổi cơ bản...............................................................06
3. Các dạng bài tập cơ bản ....................................................................................06
II. Các bài tập minh họa.........................................................................................08
1. Dành cho học sinh trung bình khá.....................................................................08
2. Dành cho học sinh khá giỏi...............................................................................11
III. Bài tập tham khảo..............................................................................................14
IV. Kết quả...............................................................................................................14
V. Giải pháp mới.....................................................................................................15
VI. Thực tiễn giảng dạy...........................................................................................16
VII. Kết luận ...........................................................................................................16
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................18

2


A.

Phần mở đầu

- Làm thế nào để phát hiện công cụ thích hợp cho việc giải bài toán đã cho ?
- Dựa vào cơ sở nào để lưạ chọn đúng các kiến thức đã biết để giải bài toán đã
cho?
- Biến đổi bài toán như thế nào để có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc ?
- Có những dạng bài toán nào có thể lựa chọn công cụ vec tơ để giải ?
Việc chỉ ra các căn cứ để phát hiện hướng giải đúng bài toán hình học phổ thông
bằng phương pháp vec tơ sẽ giúp người học có tư duy trong việc hệ thống hóa các
dạng toán, giải được các bài toán hình học một cách đơn giải hơn mà việc giải nó
bằng phương pháp tổng hợp thì công kềnh và hình vẽ thì phức tạp.Ngoài ra phương
3


pháp này còn giúp giáo viên và học sinh trong hoạt động giảng dạy và học tập môn
hình học đạt hiệu quả cao hơn.
Ở sách giáo khoa chương trình hiện nay, phần vec tơ trong không hian được
trình bày kĩ, khuyến khích được học sinh học và sử dụng phương pháp vec tơ vào
giải bài tập hơn chương trình cũ. Song ngay cả ở sách giáo khoa, sách bài tập và cả
các tài liệu tham khảo cũng chưa đưa ra được phương pháp cụ thể cho từng phần
mà chỉ đưa ra một số ví dụ rồi giải. Do đó học sinh chưa khai thác sâu được
phương pháp này nên chủ yế giải bài tập hình bằng phương pháp thông thường mà
phương pháp này đòi hỏi phải có tư duy , trí tưởng tượng cao và hình vẽ phức tạp.
Trong khi nhiều bài toán hình học không gian nếu giải bằng phương pháp vec tơ thì
lời giải sẽ ngắn gọn và hình vẽ không phức tạp.
Mặt khác các đề thi đại học cao đẳng hằng năm đáp án cho bài hình không gian
không đưa ra cách giải bằng phương pháp vec tơ. Điều đó làm cho giáo viên và học
sinh ít chú trọng cũng như chưa thấy được tính ưu việt của phương pháp này.
Việc sử dụng thành thạo phương pháp véc tơ giúp học sinh có thể làm nhanh
một số bài tập rèn luyện và phát triển tư duy lôgic toán, giúp học sinh lớp 11 có tiền
đề tốt để học phương pháp tọa độ trong hình học giải tích lớp 12, phù hợp với xu
thế học và thi hiện nay.

trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu tài liệu.
- Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy.
- Nghiên cứu một số quan điểm, tư tưởng sáng tạo.
2.Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập
- Nghiên cứu các bài toán khai thác về tri thức cội nguồn.
- Nghiên cứu các bài toán có cấu trúc tương tự.
IV- Thực trạng trước khi thưc hiện các giải pháp của đề tài
1. Thuận lợi
- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập .
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học
và yêu thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề.
- Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến cuả
đồng nghiệp.

2. Khó khăn
5


- Đa số học sinh học yếu hình học đặc biệt là phần vec tơ. Có tư tưởng sợ
học phần này.
- Giáo viên mất nhiêu thời gian để soạn bài
3. Số liệu thống kê
Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến véc tơ và vận dụng phương
pháp véc tơ để giải, số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:
Mức độ
Không
Nhận

Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ
Bước 1: Lựa chọn hệ véc tơ gốc :
- Thường là 3 véc tơ cùng điểm đầu và không đồng phẳng.
- Ưu tiên chọn các véc tơ đã biết độ dài, biết góc giữa chúng.
Bước 2: Chuyển các giả thiết, kết luận hình học của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ
và biểu diễn các vec tơ liên quan theo hệ vec tơ gốc.
2)

Các dạng hình học chuyển đổi cơ bản
Giả thiết hình học
Ngôn ngữ vec tơ (có thể)
M là trung điểm của đoạn thẳng AM =1 AB
2
AB
MA +MB =0
1
OM =
OA +OB
2

(

)

G là trọng tâm tam giác ABC

GA + GB + GC = 0
OM =

(

→


→


→


→



OG = 4  OA + OB + OC + OD 




3)
Các dạng bài tập cơ bản
Bài toán 1: Chứng minh hai đường thẳng song song:
Để chứng minh đường thẳng AB // CD , ta chứng minh :
Bài toán 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:
Để chứng minh đường thẳng AB // (MNP) , ta chứng minh :

→


→


thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia (thực hiện bài
toán 5 hai lần)
Bài toán 7: Các bài toán về góc
→ →
*) Gọi α là góc giữa hai đường thăng a và b. u1 ,u 2 lần lượt là hai vec tơ chỉ
→

→

phương của a và b. Khi đó : cos α = cos(u1 , u 2 ) =

→

→

→

→

u1 . u 2
u1 . u 2

*) Gọi α là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Cách1: Ta đưa bài toán về xác định góc giữa đường thẳng a và đường thẳng a’ là
hình chiếu của a lên (P). Sau đó thực hiện bài toán 7
Cách2: Ta đưa về xác định góc giữa đường thẳng a và đường thẳng trong dó b là
đường thẳng vuông góc với (P)
→

→


→

→

→

→

u1 . u 2
u1 . u 2

Bài toán 8: Xác định khoảng cách ( từ một điểm tói motjomawtj phẳng, hai đường
thẳng chéo nhau) : ta đưa bài toán về tính khoảng cách giữa hai diểm
→

→

→

→

Để tính khoảng cách giữa hai điểm M và N ta biến đổi MN = x a + y b + z c (trong đó
→

→

→

→ → →

a
G
b

MC 1
=
MD 2
Chứng minh : MG //( ABC )

CD sao cho

B

D

I
M

C

Giải:
→

→ →

→

→

→

3

Ở ví dụ này ta chọn hệ véc tơ gốc cùng
điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thiết , kết luận
hình học sang ngôn ngữ vectơ như sau:
Vì

→
MC 1
1 →
= nên CM = CD
MD 2
3

→

→

→
1
2
GM = − AB + AC ⇒ MG //( ABC )
3
3

Ví dụ2 ( Bài tập 4 SGK Hình Học 11 trang 9)
Cho hình hộp ABCD. A / B / C / D / . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và DD / .
Gọi G1 ,G2 lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A / D / MN vµ BCC / D / .
Chứng minh : G1G2 //( ABB / A / ) .


C

N

c

1
( AA + AD + AM + AN )
4
→

b

→

A/
B/

D/
C/

9


G2 là trọng tâm của tứ diện BCC / D / nên
→
1 → → → →
AG2 = ( AB + AC + AC / + AD / )
4

2
1
4
1 → → → → 1 → → 1 → 1 → → 5 → 1 →
= ( a − c + a − c + a + c + c ) = (5 a − c ) = AB − AA /
4
2
2
8
8
8
/ /
⇒ G1G2 //( ABB A )

Nhận xét :Nếu không sử dụng phương pháp vec tơ trong bài toán này thì việc vẽ
hình để xá định được trọng tâm của hai tứ diện phải vẽ nhiều đường và đương
nhiên việc chứng minh cũng vậy
Ở ví dụ này ta chọn hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thiết , kết luận hình học sang ngôn ngữ vectơ như sau
G1 là trọng tâm tứ diện A / D / MN nên

→

1 →/ →/ → →
( AA + AD + AM + AN )
4
→
1 → → →/ →/
AG2 = ( AB + AC + AC + AD )
4


→

N

B/

c

Giải:

b

Ta có A / B = →a − →c , A / C / = →a + →b

A/

P

D/

→
1 → → 1 → 1 →
/
/
/
/
=
b
+


→
/
→

→

BA / = c − a , BC / = b + c

1 → 1 → → 1 →/ →/
/
/
=
−
a + b + c = ( BA + BC ) ⇒ MP //( A BC ) (2)
MP = MA+ AA + A P
2
2
2
/
Từ (1) và (2) ta suy ra ( MNP) //( A BC / )
A
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đứng ABC. Aa / B / C / có tất cả các cạnh đều bằng
a . M là trung điểm của BB / .
C
B
b
Chứng minh AM ⊥ BC /
c
→

Vì ABC. A / B / C / là lăng trụ tam giác đứng
nên ta có:
→ →

→ →

1 2
a
2

→ →

a . c = 0, b . c = 0, a . b =

1 → → → → →
c − a , BC / = b + c
2
→ →
1 →2 → → 1 2 1 2
/
⇒ AM . BC = c − a . b = a − a = 0
2
2
2
/
⇒ AM ⊥ BC
→

AM =


→

→

→

HK . SC = ( HB + BK ). SC = 0

H

→

HK . BC = ( HA + AS + SK ). BC = 0
⇒ HK ⊥ (SBC )

B

Ví dụ 6:
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4 2 . SA = 2 và
SA ⊥ ( ABC ) . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Tính góc giữa hai đường
thẳng SM và AN .
Giải:
→
→ →
→ →
→
Đặt : AB = a , AC = b , AS = c
→ →

→ →

c

C

b

→

A

N
a

11

M
B


1 → 1 → → 1 →2 1 → →
a ). ( a + b ) = a + a . b = 12
2
2
4
4
α
Gọi là góc của hai đường thẳng SM và AN , thì
→ →

→

điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA . M , N lần lượt là trung điểm của AE
vµ BC . Chứng minh MN ⊥ BD .
Giải:
Gọi O = AC ∩ BD . Khi đó SO ⊥ ( ABCD)
→

→ →

→ →

→

Đặt : OA = a , OB = b , OS = c
→ →

→ →

S

E

→ →

Ta có : a . c = 0, b . c = 0, a . b = 0
M

1 → → 1 →
→
→ → →
=


→ →
→
3→ 1→
⇒ MN . BD = ( − a − c ).(−2 b ) = 0 ⇒ MN ⊥ BD
2
2

Ví dụ 2:
a
SAD đều và
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
S vuông cạnh . Tam giác
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB, BC , CD . Chứng minh: AM ⊥ BP
M
Giải:
Gọi H là trung điểm của AD
c

⇒ SH ⊥ ( ABCD)
→

→ →

→ →

→

Đặt: HA = a , HN = b , HS = c

→ 1→
BP = BC + CP = −2 a − b
2
2
→ →
→2
→
1
1
⇒ AM . BP = a − b = HA 2 − AB 2 = 0
4
4
⇒ AM ⊥ BP
→

AM =

Ví dụ 3:
Cho hình chóp S. ABCD ó đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = a 2 .
SA ⊥ ( ABCD) , M là trung điểm AD . Chứng minh : ( SAC ) ⊥ ( SMB) .
Giải:
→

→ →

→ →

S

→

BM = − a +

→

b

M

D

→

⇒ BM ⊥ AC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BM ⊥ (SAC ) ⇒ ( SAC )B⊥ ( SMB)

C

Ví dụ 4
∧
∧
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang. ABC
= BAD = 90 0 , BA = BC = a ,
AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A lên SB . Tính khoảng cách từ H đền mặ phẳng (SCD ) .
S

Giải
→

→ →


Gọi I là hình chiếu vuông góc hạ từ H

13
B

C


Lên mặt phẳng ( SCD ) ⇒ d ( H ; ( SCD)) = HI
2 →

→

→

→
→ →
Khi đó : HI
= HS + SI = − 3 SB + x SC + y SD

→
→
2 → x
2
= ( x − ) a + ( + y) b + ( − x − y) c
3
2
3
→2

2 2
3
6
⇒
⇒
 → →
2
2
→
2
 HI . SD = 0 ( x + y ) →
y = − 1
b − ( − x − y) c = 0


 2
3
3
→

HI =

1→ 1 → 1→
1 → 1→ → 2 a
a + b + c ⇒ HI =
(a+ b + c ) =
6
12
6
6

1 → → 1 →
MN = MA+ AC + CN = 2 SD + AC + 2 CB
3→ 1→
1 → → → 1 → →
= ( SO + OD ) + AC + ( CO + OB ) = − a − c
2
2
2
2

→

→


→


→

P


→

→

c

A

→2
3
3 →2 1
 → →
(
y
+
x
)
a
+
(
x
+
1
)
c = 0  x = −1

 PQ. MN = 0

2
2
4
⇒
⇒
 → →

3
2
y=


III Bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,
ACD, ABD . Chứng minh rằng (G1G2G3 ) // (BCD).
Bài 2:Cho hình chóp S. ABCD có đáyy là hình thoi cạnh a tâm O . SO ⊥ ( ABCD) ,
canh bên SB = a . E, F lần lượt là trung điểm của SA, SC . Chứng minh
( BED) ⊥ ( BFD)

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D ( AB < CD, BD ⊥ BC ) , AB = AD = a , SD ⊥ ( ABCD) , SD = a 2 .
a) Tính góc giữa (SBC ) và (SCD ) .
b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SBI ) .

Bài4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A / B / C / . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AA / ,CC / và G là trọng tâm ∆A / B / C / .
a) Chứng minh MG //( AB / N )
b) Chứng minh

( MGC / ) //( AB / N )

Bài 5:Cho tứ diện S. ABC , có SC = CA = AB = a 2 , SC ⊥ ( ABC ) . Tam giác ABC
vuông tại A , các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t .
(0 < t < 2 a )

Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a và t .
Bài 6:hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh 7a , có cạnh SC vuông
góc với mf (ABC) và SC= 7a.
a) Tính góc giữa SA và BC.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

Nhận biết và biết
vận dụng, chưa giải
được hoàn chỉnh
22
38,5

Nhận biết và vận
dụng , giải được
bài tập hoàn chỉnh
20
35,1

V. Giải pháp mới
Bài tập hình học nói chung và bài tập hình học không gian nói riêng rất đa dạng và
phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng
linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo.
Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới,
phát huy sự sáng tạo. Để đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm
nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.

VI. Thực tiễn giảng dạy
1. Quá trình áp dụng
Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ
thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù
hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải.
2. Hiệu quả sau khi sử dụng
Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn,
tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận
dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học và
tự nghiên cứu.

người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Tạ Thị Thúy Chinh

TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1] Đào Tam, Giáo trình hình học sơ cấp 2007, NXB Đại học Sư phạm.
17


[2] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải toán hình học phẳng, NXB Giáo
Dục.
[3] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải toán hình học không gian, NXB
Giáo Dục.
[4] Tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ , NXB Giáo Dục.
[5] Tạp chí toán học nhà trường - tháng 7/ 2015.
[6] B. I. Acgunop- M.B.Ban, Hình học sơ cấp 1977, NXB Giáo Dục.
[7] Lê Thiếu Tráng , Luận văn tiến sĩ , Vận dụng phép biện chứng duy vật nhằm
phát triển năng lực toán học cho học sinh khá giỏi trong dạy học nội dung vec tơ
trong trường phổ thông - 2015.

18