VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Giải bài tập trang 43, 44 SGK Giải tích lớp 12: Khảo sát sự biến thiên và
vẽ đồ thị của hàm số
Bài 1 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
các hàm số bậc ba sau:
a) y = 2 + 3x - x3 ;
c) y = x3 + x2 + 9x ;

b) y = x3 + 4x2 + 4x
d) y = -2x3 + 5

Lời giải:
a)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 3 - 3x2
y' = 0 => x = ±1
+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 1 ).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: ( 1; 0).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 4).
- Đồ thị:
Ta có x3 + 4x2 + 4x = 0 ⇒ x(x2 + 4x + 4) = 0



- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 3x2 + 2x + 9 > 0 ∀ x ∈ R
=> Hàm số luôn đồng biến trên R và không có điểm cực trị.
+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:
x

0

1

-1

y

0

11

-9


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

d)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:

b) y = x4 - 2x2 + 2

Lời giải:
a)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = -4x3 + 16x = -4x(x2 - 4)
y' = 0 ⇔ -4x(x2 - 4) = 0 => x = 0 ; x = ±2
+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (0; -1).
Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là: (-2; 15) và (2; 15).
- Đồ thị:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:
y(-x) = -(-x)4 + 8(-x)2 - 1 = -x4 + 8x2 - 1 = y(x)


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Do đó đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
Ta có: -x4 + 8x2 - 1 = 0 => x = ±√(4 + √15) ; x = ±√(4 - √15)
+ Giao với Ox: tại 4 điểm
+ Giao với Oy: (0; -1) (vì y(0) = -1)

b)

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).
- Đồ thị:
Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:

d)
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = -4x - 4x3 = -4x(1 + x2)
y' = 0 ⇔ -4x(1 + x2) = 0 => x = 0


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).
- Đồ thị:
Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:

Bài 3 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các

+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:

Vậy x = 2 là tiệm cạn đứng.

Vậy y = -1 là tiệm cận ngang.
+ Bảng biến thiên:


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

- Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; -1/4)
+ Giao với Ox: (1/2; 0)
Xác định một số điểm khác:

c)
- Tập xác định: D = R \ {-1/2}
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2) và (-1/2; +∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 5 chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất. Từ đó
suy ra phương trình x3 - 3x2 + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm.
b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0
⇔ 2x3 - 3x2 = -2

(2)

Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x3 3x2 và đường thẳng y = -2.
Xét hàm số y = 2x3 - 3x2
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 6x2 - 6x = 6x(x - 1)
y' = 0 => x = 0 ; x = 1
+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

- Đồ thị:


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham
số m:
x3 - 3x + m = 0
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số y = -x3 + 3x + 1
- Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = -3x2 + 3 = -3(x2 - 1)
y' = 0 ⇔ -3(x2 - 1) = 0 ⇔ x = ±1
+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (-1; -1).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 3).
- Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; 1).
+ Đồ thị (C) đi qua điểm (-2; 3), (2;-1).


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

b) Ta có: x3 - 3x + m = 0 (*) ⇔ -x3 + 3x = m
⇔ -x3 + 3x + 1 = m + 1
Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C)

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, √2)
c) Với m = 2 ta được hàm số:

Xét hàm số trên ta có:
- TXĐ: D = R \ {-1}
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:

=> Hàm số đồng biến trên D.
+ Tiệm cận:

=> đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

=> đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.
+ Bảng biến thiên:

Hàm số không có cực trị.
- Đồ thị:
Một số điểm thuộc đồ thị:


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Bài 7 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số