MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình toán phổ thông, các bài toán liên quan đến bất đẳng
thức luôn là bài toán hấp dẫn, lôi cuốn tất cả người học Toán và làm toán. Các
bài toán này rất phong phú và đa dạng vì vậy các bài toán về bất đẳng thức
thường xuyên có mặt trong các kỳ thi phổ thông trung học, cũng như trong các
kỳ thi học sinh giỏi và các kì thi đại học, cao đẳng.
Để giải quyết nó đòi hỏi người học Toán và làm toán phải linh hoạt và vận
dụng một cách hợp lý trong từng bài toán. Tất nhiên đứng trước một bài toán về
bất đẳng thức thì mỗi người đều có một xu hướng phát triển riêng cuả mình. Nói
như vậy có nghĩa là có rất nhiều cách để đi dến kết quả cuối cùng của bài toán
này. Điều quan trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu
của bài toán. Thật là khó nhưng thật thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn
để giải quyết nó.
Với những lý do trên cùng với sự đam mê của bản thân và cùng với sự
hướng dẫn tận tình của thầy giáo - Thạc sỹ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn
thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình với đề tài: “ Ứng dụng của bất đẳng
thức vào giải một số bài toán và sáng tạo một số dạng toán đại số sơ cấp ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bất đẳng thức
và sáng tạo bất đẳng thức.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức.

Dương Thị Phúc

1


4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, nghiên cứu tài liệu.


2

2

2

n

2

1

2

2

n

1 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2


b1

2 2

an



và

b ; b ;...; b



1

2

n



bn 


b2

Ta được bất đẳng thức:
 a2
1


 b1

2 2

a 2   a1  a2  ...  an


b
1 0 bnên
2
n
(3) btương
đương với

thì
a2

Đặt
n bi  ai .ci , i  1,

a2
a



1

1

b1

ai .ci

i

ci

Bài 1.1.1: Cho hàm số f  x; y; z 


1

2



, với

 0, i  1, n

2

2

x y z



1



xy

1



x
z
zx
y



1

 1 1
xy yz  zx

9
xy  yz  zx

Suy ra :   x; y; z   D ta có:
1
2

2

x y z

Hay   x; y; z   D

2



1

1
2

2

x y z

1


2

1



xy  yz  zx



xy  yz  zx

3
3

x

2

(6)


x

2

 y2  z2   xy  yz  zx2

2

2

x  y  z  2 xy  yz  zx
3



 xyz
3
3

2



1

Và 3 xy  yz  zx   x  y  z 2  1

(9)



D

Bài 1.1.2: Tìm giá trị lớn nhất của shàm số f  x; y; z  
xyz



D  x  0; y  0; z  0; 1
1 y 11 z  2
1



1 x




Lời giải:

(8)

trên


Lấy  x; y; z  tùy ý thộc D . Khi đó từ định nghĩa của D ta có:
1
1 x



1
1 y

 2.

1y
1
1 z

 2.



1
1z

 2.

xz

1 x  1 z 
xy
1 x 1 y 

yz

1 y  1 z 

(10)




2 2 2
 2 2 2  8


nên max f  x; y; z  

1

8

D



Nhận xét: bài toán trên có thể phát biểu dưới dạng tổng quát hóa. Chứng minh
rằng:
max f  x1; x2 ;...; xn 


1 ,  x ; x ;...;
 1 2
n
1
  n xn

 D




1  ... 

1
 n 1

x2

xn





Bài 1.1.3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f  x; y; z 


z
x
y
 1 x 1 y  1 z 


x

y 1
y  z 1 x  z  1



Vì x  y  z và x  0, y  0, z  0 nên ta có:
y
1 y  z
z
1yz

y
 1 z  x

(15)

z
 1 y  x

(16)

Cộng từng vế (14), (15), (16) ta có:
1   1 x 1  y  1 z  

x
1y
z

y
z
 1 z  x  1 x  y

Hay f  x; y; z   1,   x; y; z   D
Do 1;1;1  D mà

YZ

2

3

x

3

yz


y

3

2

 z  x


z

3

2X


 xy

2
2
Với F  X ;Y ; Z   2  X  Y  Z 


 YZ


XY 

ZX

D '   X ;Y ; Z  : X  0,Y  0, Z  0; XYZ  1 .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:   X ;Y ; Z   D ' thì:
X2



YZ
4 X

Y
ZX
ZY2  4 Y
ZX
2

Z
XY

Vậy min f  x; y; z  3 .
 x; y;zD

Bài 1.1.5: Cho hàm số f  x; y; z   x2  y 2  z 2
xét trên miền
D   x; y; z  : x  0, y  0, z  và x
0

2002

y

2002

z

2002

 3 . Tìm giá trị lớn nhất

của f  x; y; z  trên miền D
. Lời giải:
Lấy  x; y; z   D . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2000 số 1 và 2

x2002 ta

số có:
1  1 ...  1 x

2002

2.y
2002

2002

2000  2.z

2002

2002

y

2

z

2

Cộng từng vế (18), (19), (20) ta có:

(19)

(20)
y2002 
z2002 


2002
 x2  y 2  z 2

D   x; y; z  : x  0, y  0, z 
và x  y  z  1 .
trên miền 0


Lời giải:
Lấy  x; y; z  
D

tùy ý. Ta có:

 1  1  1   1 x 1 y  1 z 
f  x; y; z   1 1 1 




x
y
z
xyz





(22)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 x  x  y  z  x  4 4 x2 yz


max f  x; y; z   64,  x; y; z   D

Chú ý: Để f  x; y; z  

thì các dấu bằng ở (23), (24), (25) xảy ra khi và

64

1
chỉ khi x  y  z . Từ đó ta có:  1 




1 1 1
; ;




333





1
 1
 64  1

i

và x1  x2  ...  xn  1

n

Bài 1.1.7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f  x; y; z   1 x  1 y  1 z

trên miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  0; x  y  1
Lời giải:
Lấy  x; y; z   D . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 x 

1 x 2 
3

3

2

2

2

3

2

(28)

3

3

3 x y z 2
2

2

11


Vì x  y  z  1 

2
3

f  x; y; z   2  f  x; y; z   6

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ở các bất đẳng thức (27), (28), (29) xảy ra
khi và chỉ khi x  y  z 
1 1 1
; ;
D

và


f


n

i

1

2

n

Bài 1.1.8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1 1 1 x y z
f  x; y; z    xyz 1       x  y  z


 x y z
y z x

trên miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  0.
Lời giải:
Ta có

y 
x 
z 1 1 1

f  x; y; z   yz   xy   xz       x  y  z 

 
 

13


1 1 1
f  x; y; z   x  y  z   
x y z
 1  1  1
f  x; y; z   x   y   z   6

 
 

x
y 
z




Như vậy ta có f  x; y; z   6,  x; y; z   D
Vì 1;1;1  D và

f 1;1;1  6

nên ta có min f  x; y; z   6
D

Ta có bài toán tổng quát sau: min f  x1; x2 ;...; xn  

trong đó:


xn  x3 .x4 ...xn

xn
x3
x1
 ... 
 x1  x2  ...  xn
x4 .x5 ...xn
x1.x2 ...xn2  x2 .x3 ...xn1

Và D   x1 ; x2 ;...; xn  : xi  0, i  1, n .
1.1.3. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bài 1.1.9: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x; y; z   x3  y3  z3 và giá trị
lớn nhất của hàm số g  x; y; z   4 
x

4

y



4

z trên cùng một miền

D   x; y; z  : x  0, y  0, z  0; x  y  z  1

Lời giải:

 f  x; y; z    x  y  z
2

2

2

2

(30)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
3  x 2  y2  z2   1.x 1.y 1.z 2  1 hay 3  x  y  z

 1

(31)

Từ (30) và (31) suy ra f x; y; z  1 , x; y; z 





(32)

2

2



1
1
nên min f  x; y; z   ,  x; y; z   D




9
 333 
 333  9

2. Lấy  x; y; z   D . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 dãy số




4

x; 4 y ; 4 z

và 1;1;1 ta có:

3
f

2

 x




y ; z và 1;1;1

ta được:
3 x  y  z 

Do x  y  z  1 nên suy ra  x 


y

 x

y

z



2



(34)

z 2  3.1 
3

Từ (33) và (34) suy ra: f 2  x; y; z   3 3 

 3 3 3 
 max f  x; y; z  
Do 
1
1
1
 ; ;    D
 3 3 3 

4

4

27

Bài 1.1.10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

27

3



x  y  z  t  0

f  x; y; z; t   xy  yz  zt  tx trên miền D   x; y; z;t  : 

2
2
2

2

2

2

2

Vì thế   x; y; z; t   D ta có: 1  f  x; y; z; t   1
 1 1 1 1 
 ; ; ;  
D2 2 2 2 


Do   1 1 1 1 


f
; ; ;
 1


  2 2 2 2 

Lấy  x; y; z; t  
D

 min f  x; y; z;t   1
D



1 1 1 1
; ; ;
 nên max f  x; y; z;t   0
D
0


 2 2 2 2 

Nhận xét : Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên miền D ta không
thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki (cụ thể là thường không tìm
được phần tử  x; y; z; t   sao cho f  x; y; z; t   1)
D


Bài 1.1.11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
3

f  x; y; z  

3

3

y



z




z



x
x  2 y  3z

y  2z  3x

z  2x  3y

x4
y4
z4
 2
 2
x  2xy  3xz y  2zy  3xy z  2xz  3yz



2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai dãy số:
2

y  2 yz  3xy
;




z

;



2


z  2xz  3zy 

2

Ta có:  x2  y2  z 2  5  xy  yz  zx   . f  x; y; z    x2  y2  z 2 2

(37)

Do x2  y2  z2  1 nên từ (37) ta có:
1
f  x; y; z  
1 5  xy  yz  zx

(38)

Mặt khác: xy  yz  zx   x 2  y 2  z 2 2  1
Từ (38) ta có:


D
6

Bài 1.1.12: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f  x; y; z   1 t anx. tan y  1 tan y. tan z  1 tan z. t anx

Trên miền
D



 x; y; z  : x  0, y  0, z  0; x  y  z 




Lời giải:
Lấy  x; y; z  


2

tùy ý. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai

D

dãy số 1;1;1







 2


Nên suy ra f  x; y; z   2 3,  x; y; z   D
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
 f  x; y; z   2 3

 1 t anx. tan y  1 tan y. tan z  1 tan z. t anx

 t anx  tan y  tan
z

2
3 1 t an x  2 3

xyz


6

do  x; y; z   D

Vậy max f  x; y; z   2 3 .
D

Bài 1.1.13: Tim giá trị nhỏ nhất của hàm số: f  x; y  



 1004 2
2
2
2
  sin
x   cos1001   cos y  sin y



x

sin y 
 cos y







Từ đó suy ra:

f  x; y    sin

1004

  sin

1004



(40)

Từ (39) và (40) suy ra:
f  x; y    sin

1004

x  cos

1004

x 2 

1



(41)

2

1
 2 501  

21002

Dấu bằng ở (41) xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng ở (39) và (40) xảy ra
1004


(42)


Từ (41) và (42) ta có kết luận min f  x;
y 

21002

D

Bài 1.1.14: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f  x; y; z;t 


trên

x

y



y  2z  3t

z



z  2t  3x

y  z  2t  3x , z  t  2x  3y ,

,

t

z

x  2 y  3z

t  x  2 y  3z ta được:



f  x; y; z;t  x  y  2z  3t   y  z  2t  3x  z  t  2x  3y   t  x  2 y  3z     x  y  z  t


2

Vì x  0, y  0, z  0, t  nên ta có:
0

 x  y  z  t 2

f  x; y; z;t  

(43)

4  xy  yz  zt  tx  xz  ty 


3

2

Mặt khác chẳng hạn f 1;1;1;1   min f  x; y; z;t  
3

2
3

D

Nhận xét: lập luận tương tự cho kết quả sau:
2

min  x1; x2 ;...; x  
D

x1

f x x
x 
Với  1; 2 ;...; n  x  2x  ...   n 1 x

n

n 1




x1  2x2 ...   n 1 xn1

1.2. Ứng dụng bất đẳng thức trong giải phương trình, bất phương trình
và hệ.
1.2.1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
Với a, b, c, d là các số thực ta luôn có:
Tính chất 1: Nếu a  b  b  a
a  b

ac
Tính chất 2: Nếu
b  c

Tính chất 3: Nếu a  b  a  c  b  c


Tính chất 4: Nếu

a  b  ac  bc
nếu c  0 hoặc ac  bc nếu c  0
a  b
acbd
Tính chất 5: Nếu 
c  d

Tính chất 6: Nếu a  b  0  ac  bd

c  d  0

1

a 2 | a |

Tính chất 2: Với 2 số thực a, b tùy ý
2

2

a  b | a || b |

Tính chất 3: Nếu b  a  b | a | b
a  b

Tính chất 4: Nếu 

a  b

 a | b |

Tính chất 5: Ta có: | ab || a |  | b |
1.2.2.2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ
Với phương trình ta sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu | a  b || a |  | b | ab  0
Tính chất 2: Nếu | a |  | b | a  b  
Tính chất 3: Nếu | a |  | b | a  b  
Dương Thị Phúc

a  0
b  0
a  0
b  0