Trần Sĩ Tùng

Đại số & Giải tích 11
Chương IV: GIỚI HẠN
Bài 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I. MỤC TIÊU:
Kiến thức:
 Biết khái niệm giới hạn của dãy số, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh hoạ cụ thể.
 Biết định nghĩa và các định lí về giới hạn của dãy số trong SGK.
 Biết khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó.
Kĩ năng:
 Biết vận dụng định nghĩa giới hạn của dãy số vào việc giải một số bài toán đơn giản liên
quan đến giới hạn.
 Biết vận dụng các định lí về giới hạn để tính giới hạn các dãy số đơn giản.
 Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán
liên quan có dạng đơn giản.
Thái độ:
 Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về dãy số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (3')
1
H. Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) với un = . Biểu diễn dãy số trên trục số.
n
Đ. Dãy giảm.
3. Giảng bài mới:
TL Hoạt động của Giáo viên


un có thể nhỏ hơn một số dương
bất kì, kể từ một số hạng nào đó
trở đi.
 GV nêu định nghĩa 2.

Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có
giới hạn là số a khi n  + nếu
lim (vn  a)  0.
n��

1


Đại số & Giải tích 11

Trần Sĩ Tùng
vn  a
Kh: nlim
��

hay vn  a khi n  +.

10'

10'

Hoạt động 2: Ví dụ minh hoạ định nghĩa giới hạn của dãy số
Đ1.
VD1: a) Cho dãy số (vn) với vn =

n��
n��n
Hoạt động 3: Tìm hiểu một số giới hạn đặc biệt
2. Một vài giới hạn đặc biệt
 GV nêu các kết quả.
Định lí 1:
Đ1.
H1. Tính các giới hạn sau:
1
1
a) lim  0; lim k  0
1
1
n��n
n��n
a) lim
=0
a) lim
n
�

�
n

1
n��n  1
(nZ+)
n
n
n


 Nhấn mạnh:
– Định nghĩa giới hạn hữu
hạn của dãy số.
– Các giới hạn đặc biệt.

4. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
 Bài 1, 2 SGK.
 Đọc tiếp bài "Giới hạn của dãy số".
IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................

2


Trần Sĩ Tùng

Đại số & Giải tích 11
Chương IV: GIỚI HẠN
Bài 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tt)

I. MỤC TIÊU:
Kiến thức:
 Biết khái niệm giới hạn của dãy số, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh hoạ cụ thể.
 Biết định nghĩa và các định lí về giới hạn của dãy số trong SGK.
 Biết khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó.
Kĩ năng:
 Biết vận dụng định nghĩa giới hạn của dãy số vào việc giải một số bài toán đơn giản liên

Định lí 1:
a) Nếu limun = a và limvn = b thì:
 lim(un+vn) = a + b
 lim(un – vn) = a – b
 lim(un.vn) = a.b
un a
 lim  (nếu b �0 )
vn b
b) Nếu un �0 với mọi n và limun =

20'

a thì a �0 và lim un  a
Hoạt động 2: Luyện tập vận dụng định lí giới hạn hữu hạn của dãy số
VD1: Tìm các giới hạn:
 Hướng dẫn HS cách biến 
đổi.
1
3n2  n
3

a)
lim
n
3n2  n lim
1 n2
a) lim
=
=3
1

n
lim
1
2
n
= –1
Hoạt động 3: Tìm hiểu cấp số nhân lùi vô hạn
III. Tổng của CSN lùi vô hạn
 GV nêu khái niệm CSN lùi
 CSN vô hạn (un) có công bội q,
vô hạn.
Đ1.
H1. Cho VD về CSN lùi vô
với q < 1 đgl CSN lùi vô hạn.
hạn ?
1 1 1
1
1
 Cho CSN lùi vô hạn (un) có công
 , , ,..., n ,... (q  )
2 4 8
2
2
bội q. Khi đó:

u
S = u1 + u2 + … = 1  q  1
n1
� 1�
1 q

S=
S = 1    ...  �
 � ,...
1 2
2 4 8
� 2�
1

H3. Nhận xét các số hạng của
3
tổng S ?
Đ3. Các số hạng lập thành
1
CSN lùi vô hạn với q =  .
2
Hoạt động 4: Củng cố

3'

 Nhấn mạnh:
– Cách vận dụng các qui tắc
tìm giới hạn của dãy số.
– Cách tính tổng CSN lùi vô
hạn.

4. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
 Bài 3, 4, 5, 6 SGK.
 Đọc tiếp bài "Giới hạn của dãy số"
IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:
.........................................................................................................................................................

2. Kiểm tra bài cũ: (3')
4n 2  2 n  1
H. Tính lim
.
3n 2  5
4n 2  2n  1 4
Đ. lim
 .
3n 2  5
3
3. Giảng bài mới:
TL Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm giới hạn vô cực
IV. Giới hạn vô cực
 Cho HS quan sát và nhận
1. Định nghĩa
xét về giá trị của un khi n tăng
15' lên vô hạn.
 Ta nói dãy số (un) có giới hạn
+ khi n+, nếu un có thể lớn
 GV nêu định nghĩa giới hạn
hơn một số dương bất kì, kể từ
vô cực.
một số hạng nào đó trở đi.
Kh: limun = +
2
 Xét dãy số (un) với un = n .
hay un + khi n +

a) limnk  � với k  Z+
b) limqn  � với q >1
 Gọi HS tính.

15'

 HS thực hiện.
a) +
b) +

VD1: Tính các giới hạn sau:
n

a) lim12n

3�
b) lim�
��
�2 �

Hoạt động 3: Tìm hiểu một số qui tắc tính giới hạn vô cực
3. Định lí:
 GV nêu định lí, giải thích
a) Nếu limun = a và limvn = 
và nhấn mạnh cách sử dụng
định lí.
u
thì lim n  0 .
vn
b) Nếu limun = a >0, limvn = 0 và

2n  5
n.3n
 lim
=
0
n.3n
b) lim(n2  2n  1)
H2. Tính limn2 và
b)
� 2 1�
lim�
1  �?
� 2 1�
� n n2 �
n2  2n  1 n2 �
1  �
� n n2 �
Đ2. limn2 = +
� 2 1�
lim�
1  �= 1
� n n2 �
 lim(n2  2n  1) = +
Hoạt động 4: Củng cố

3'

 Nhấn mạnh:
– Cách vận dụng các qui tắc
tìm giới hạn của dãy số.

II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về dãy số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (3')
8n  1
H. Tính lim
.
n ��
n
8n  1
8.
Đ. lim
n ��
n
3. Giảng bài mới:
TL Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
II. Định lí về giới hạn hữu hạn
 GV nêu định lí.
7'
Định lí 1:
a) Nếu limun = a và limvn = b thì:
 lim(un+vn) = a + b
 lim(un – vn) = a – b
 lim(un.vn) = a.b
un a

=3
1
1 n2
1
n2

b) lim

2n  1
2

3n  4n  1

2
c) lim 1 4n
1 2n
1 4n2 =
lim
1 2n
d) lim( n2  3n  4  n)

c)
1

10'

1
n

4

1 q
1 1 1
1,  , ,  ,...,�
 � ,...
3 9 27 � 3�
VD2:
1
(q   )
a) Tính tổng của CSN lùi vô hạn
3
H2. Xác định u1 và q ?
1
1
(un) với un = n
Đ2. u1= q =
3
3
b)
Tính
tổng
1
n1
1
1�
S= 3 
S = 1 1  1  1  ...  �

� � ,...
1 2
2


Trần Sĩ Tùng

Đại số & Giải tích 11

9