TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƯ PHẠM VẬT LÝ

Giáo viên hướng dẫn:
ThS. Trần Minh Quý
Giáo viên phản biện:
Nguyễn Thị Thúy Hằng
Trịnh Thị Ngọc Gia

Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Duy Khánh
MSSV: 1070226
Lớp: Sư Phạm Vật Lý K33

Cần Thơ, 05/ 2011


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Minh Quý đã tận tình chỉ dạy,
hướng dẫn và đóng góp những ý kiến quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn
tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến tất cả thầy, cô trong bộ môn Sư phạm
Vật Lý đã cung cấp cho tôi những kiến thức để tôi có thể vận dụng vào thực
hiện đề tài.
Đồng thời, tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến gia đình,

I.2.1. Phương trình vi phân biến số phân ly ........................................................... 4
I.2.2.Phương trình đẳng cấp .................................................................................. 7
I.2.3.Phương trình tuyến tính cấp 1 ..................................................................... 10
I.2.4. Phương trình Bernoulli .............................................................................. 11
I.2.5 Phương trình Riccati ................................................................................... 13
I.2.6. Phương trình vi phân toàn phần ................................................................. 15
I.2.7. Phương trình cấp một chưa giải ra đạo hàm ............................................... 17
I.2.8. Phương trình Lagrange và phương trình Clairaut ....................................... 18
I.3. Bài toán Cauchy ............................................................................................... 19
I.3.1. Điều kiện Lipschits ................................................................................... 19
I.3.2. Tồn tại và duy nhất nghiệm ....................................................................... 20
I.3.3. Cách tìm nghiệm kỳ dị ............................................................................... 20
I.4. Các dạng đặc biệt của phương trình vi phân ..................................................... 20
I.4.1. Phương trình Bessel .................................................................................. 20
I.4.2. Phương trình Legendre.............................................................................. 22
I.5. Phương trình vi phân cấp 2 ............................................................................... 24
I.5.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất....................................... 24
I.5.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất ............................ 24
I.5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số là hằng số.......................... 25
II. ỨNG DỤNG ......................................................................................................... 27
II.1. Tính thời gian vật thể rơi: ................................................................................ 27
II.2. Bài toán dao động tắt dần ................................................................................ 28
II.3. Bài toán 3 ........................................................................................................ 29
II.4. Bài toán 4 ........................................................................................................ 30
II.5. Bài toán dao động tự do của sợi dây hữu hạn .................................................. 31
II.6. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn ....................................................... 36
II.7. Dao động của màng chữ nhật .......................................................................... 39


III. Một số bài tập ứng dụng ....................................................................................... 44

Việc giải phương trình vi phân là rất phổ biến trong vật lý. Phương trình này rất
rộng, vì thế đề tài chỉ điểm lại một cách tổng quan các dạng phương trình thường
gặp

4. Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp tìm tòi và nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, sau
đó hệ thống lại theo cách hiểu riêng
- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp, hệ thống hóa các tài liệu đã nghiên cứu
để đi đến một bài luận văn hoàn chỉnh

5. Các bước thực hiện đề tài
-

Nhận đề tài, xác định nhiệm vụ cần đạt được của đề tài
Tìm tài liệu có liên quan
Lập đề cương chi tiết của luận văn cho giáo viên hướng dẫn
Tiến hành viết đề tài và trao đổi với giáo viên
Sửa chữa hoàn chỉnh luận văn và báo cáo

SVTH: Nguyễn Duy Khánh

Trang 1


GVHD:ThS. Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

PHẦN 2. NỘI DUNG

g

( I.1 )

g

Lấy tích phân (I.1) ta được :
dh
v
dt

 gt

Ÿ ht
vt 

gt 2
2

Hàm (I.2) đạt giá trị lớn nhất tại

( I. 2 )
t

v
g

Ÿ hmax

v2


SVTH: Nguyễn Duy Khánh

Trang 2


GVHD:ThS. Trần Minh Quý

m.

d 2 S t

dt 2

Luận văn tốt nghiệp

mg  D

dS t

dt

( I.4 )

chính là phương trình vi phân cấp 2.
Bài toán 3:
Một thanh kim loại được nung nóng đến 100 0 C đặt trong môi trường luôn có
nhiệt độ không đổi 20 0 C . Tìm quy luật thay đổi nhiệt độ của kim loại
Giải
Gọi T(t) là nhiệt độ thanh kim loại tại thời điểm t. Theo định luật Niutơn về sự

wF
x 0 , y 0
z 0
wy

khi đó tồn tại hàm ẩn y(x) trong lân cận điểm M x0 , y 0
thỏa mãn :

dy
dx

 wF
wx
wF
wy

x Chứng minh: vì hàm F(x,y,c) khả vi trong lân cận điểm M x0 , y 0
nên ta có
dF  x, y, c


wF wF dy

.
wx wy dx

wF
Do
x0 , y 0
z 0 nên suy ra dy



GVHD:ThS. Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

du t

k
dt
du t

ku 2
dt
du t