Nguyễn Quốc Thái

Word toán

BÀI TOÁN VẬN DỤNG
VỀ KHỐI NÓN – KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU

 Dạng 129. Bài toán vận dụng về khối nón

Câu 01. Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần
lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của
hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của
hình nón. Tính bán kính đáy r của hình nón đã cho.
A. r =

8a
.
3

B. r = 2a.

C. r = 2 2a .

D. r =

4a
.
3

Lời giải tham khảo
Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là

Câu 02. Một vật N 1 có dạng hình nón có chiều cao bằng 40cm. Người ta cắt
vật N 1 bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một hình

Ghi nguồn tải về khi in

1


Nguyễn Quốc Thái

Word toán

nón nhỏ N 2 có thể tích bằng

1
thể tích N 1 . Tính chiều cao h của hình nón
8

N2 .
A. h = 5 cm.

B. h = 10 cm.

C. h = 20 cm.

D. h = 40 cm.

Lời giải tham khảo

Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của N 1 và N 2 và r1 , r2 lần lượt

= ⇔ h = 20 cm .
8  40 
40 2

Câu 03. Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước.
Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào
16π
(dm3 ) . Biết rằng
9
một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của nón (như hình dưới) và khối trụ
có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Tính diện tích xung quanh
đó một khối trụ và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là

Sxq của bình nước.
A. Sxq =

9π 10
(dm3 ) .
2

3
C. Sxq = 4π (dm ) .

Ghi nguồn tải về khi in

3
B. Sxq = 4π 10(dm ) .

D. Sxq =


- Thể tích khối trụ là V = π r h1 =
=
⇒R=2
9
9
2

-

Đường

sinh

của

hình

nón

là

l = OA = OH 2 + HA 2 = 9R2 + R2 = 2 10
- Diện tích xung quanh Sxq của bình nước
Sxq = π Rl = 4π 10 .

Câu 04. Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng
trống ở dưới đáy hộp để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì
chín. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp mình tôm (hình vẽ chỉ mang
tính chất minh họa). Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng
hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm.

Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một
khoảng (đoạn) xác định:
Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc r . Trước
tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r. Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan
hệ vuông góc và song song, dùng định lí Thales ta sẽ có:
Khi đó V = f ( r ) = π r 2.

h 6− r
18 − 3r
=
⇔ h=
9
6
2

18 − 3r
3π r 3
=−
+ 9π r 2 với 0 < r < 6
2
2

9
f ' ( r ) = − π r 2 + 18π r = 0 ⇔
2

r = 0

r = 4



π
.
3

D. x =

π
.
4

Lời giải tham khảo
h

R

xO

V=

R
B

A

lAB = Rx; r =

O

Rx

vuông góc với SO tại O′ cắt hình nón tròn xoay theo giao tuyến là đường tròn

( C′) . Tìm x

để thể tích khối nón đỉnh O đáy là đường tròn ( C′ ) đạt giá trị lớn

nhất.
A. x =

a
.
2

B. x = a.

C. x =

a
.
3

D. x =

2a
.
3

Lời giải tham khảo
Theo Định lý Ta-lét


Word toán

Xét f ( x) = x ( 2a − x) trên ( 0; 2a ) ta có f ( x) đạt giá trị lớn nhất khi x =
2

2a
.
3

Câu 07. Giá trị lớn nhất Vmax của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có
bán kính R .
A. Vmax =

1 3
πR .
3

B. Vmax =

4 3
πR .
3

C. Vmax =

4 2
π R3 .
9

D. Vmax =

với t =

a
∈ (0;1].
R

) trên ( 0;1 sẽ thu được kết quả.

Câu 08. Một đĩa tròn bằng thép trắng có bán kính bằng R . Người ta phải cắt
đĩa theo một hình quạt, sau đó gấp lại thành hình nón để làm một cái phễu.
Cung tròn α của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để thể tích cái
phễu lớn nhất?
A. α ≈ 66o .

C. α ≈ 12,56o .

B. α ≈ 294o .

D. α ≈ 2,8o .

Lời giải tham khảo
Gọi x là độ dài đường tròn đáy của cái phễu (bằng chu vi đĩa tròn trừ đi độ dài
cung hình quạt bị cắt đi) ⇒ x = 2π r ⇒ r =

x r
( là bán kính đường tròn đáy hình
2π

nón).
Đường sinh của hình nón chính bằng bán kính đĩa là R .

.
3
.360 ≈ 66o
2π R

2π R −

6


Nguyễn Quốc Thái

Word toán

 Dạng 130. Bài toán vận dụng về khối trụ

Câu 09. Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước

(

)

3
sạc có dung tích V cm . Hỏi bán kính R của đáy trụ nhận giá trị nào sau đây

để tiết kiệm vật liệu nhất?
A. R = 3

V
.

+ R2 ÷ = 2π 
+
+ R2 ÷ ≥ 6π 3 2
4π
πR

 2π R 2π R

Dấu “= ” xảy ra ta có R =

3

V
.
2π

Câu 10. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục
tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn
phần của hình trụ là nhỏ nhất. Hỏi muốn thể tích khối trụ đó bằng 2 và diện
tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính R của đáy gần số nào
nhất?
A. R = 0,5 .

B. R = 0,6 .

C. R = 0,8 .

D. R = 0,7 .

Lời giải tham khảo

7


Nguyễn Quốc Thái

Word toán

Câu 11. Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp
đậy với dung tích 10000cm3 . Biết rằng bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản
xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất có giá trị là α . Hỏi giá trị α gần với giá trị
nào nhất dưới đây?
A. a ≈ 11.677 .

B. a ≈ 11.674 .

C. a ≈ 11.676 .

D. a ≈ 11.675.

Lời giải tham khảo

Ta có:
Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần
hình trụ phải là bé nhất

của
a

Diện tích toàn phần của hình trụ là:
Stp = Sxq + 2.Sd

a2

y ' = 0 ⇔ −20000 + 4π a3 = 0 ⇔ a3 =

5000
⇔ a=
π

3

5000
π

Câu 12. Trong ngày trung thu, bố bạn
Nam đem về cho bạn Nam một chiếc
bánh trung thu. Nam rất vui vẻ vì điều
đó, tuy nhiên để kích thích tinh thần
toán học của bạn Nam, bố bạn Nam
đưa ra một bài toán như sau: Giả sử chiếc bánh có hình trụ đứng, đày là hình
tròn đường kính 12cm, chiều cao 2cm. Bạn Nam phải cắt chiếc bánh thành 3
phần bằng nhau, cách cắt phải tuân thủ quy tắc. Nam chỉ được cắt đúng hai

Ghi nguồn tải về khi in

8


Nguyễn Quốc Thái

Word toán

S1 + S∆OAB = SOAB
1
OA 2.π
⇔ 12π + OA.OB.sin α =
.α
2
2π
⇔ 12π + 18sin α = 18α

Sử dụng chức năngSHIFT

SOLVE

trên máy tính ta tìm được giá trị

α ≈ 2,605325675
Khoảng cách 2 nhát dao là x = OA.cos

α
2 ≈ 3,179185015
2

Câu 13. Một hình trụ tròn xoay bán kính R = 1. Trên 2 đường tròn đáy ( O ) và

Ghi nguồn tải về khi in

9


Nguyễn Quốc Thái

Kẻ đường sinh BC thì OO ’ //

( OAC )

( ABC ) .

( ABC )

Vì

vuông góc với

nên kẻ OH ⊥ AC thì OH ⊥ ( ABC ) . Vậy d( OO′, AB) = OH

∆ABC : BC = AB.cos300 = 3; AC = AB.sin 300 = 1,
∆OAC là tam giác đều, có cạnh bằng 1, nên OH =

3
: ( I)
2

đúng.
V = π .R .h  nên ( II ) đúng.
2

Câu 14. Một miếng bìa hình chữ nhật có các kính thước 2a và 4a . Uốn cong
tấm bìa theo bề rộng (hình vẽ) để được hình trụ không đáy. Ký hiệu V là thể
tích của khối trụ tạo ra. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. V =  4π a3 .



Chu vi của đáy bằng 2a = 2π R . Ta tính được R =
được V =

a
. Chiều cao h = 4a, từ đó ta tính
π

4a3
.
π

Câu 15. Một người gò một tấm nhôm hình chử nhật có chiều dài 4mvà chiều
rộng 2mthành một cái thùng hình trụ đặt trên nền nhà để đựng lúa. Nếu gò
tấm nhôm theo chiều dài (Trục đứng là chiều rộng) thì số lúa đựng được như
thế nào so với tấm nhôm được gò theo chiều rộng (Trục đứng là chiều dài)?

2m
4m

Gò theo chiều rộng

Gò theo chiều dài

A. Số lúa đựng được bằng nhau.

B. Số lúa đựng được bằng một

C. Số lúa đựng được gấp hai lần.


π
π 

Ghi nguồn tải về khi in

(m ).
3

Vậy V1 =

1
V .
2 2
11


Nguyễn Quốc Thái

Word toán

Câu 16. Bé Thảo có một tấm bìa có chiều dài 20cm, chiều rộng 1cm. Bé
muốn gấp một cái hộp nhỏ xinh để bỏ kẹp tóc vào hộp đó tặng quà cho mẹ
ngày 20 tháng 10. Anh Phương đã chỉ cho bé hai cách gấp hộp.
Cách thứ nhất: là bé cuốn tấm bìa thành một cái hộp hình trụ không
có 2 đáy có thể tích V1.
Cách thứ hai: là bé gập tấm bìa một hình hộp chữ nhật có thể tích V2
có các kích thước như hình vẽ. Hãy tìm tỉ số thể tích của 2 hộp để
biết được gấp theo cách nào sẽ có thể tích lớn hơn.

A.


10
100 100
.
. Khi đó S1 = π R2 = π . 2 =
π
π
π

Diện tích đáy của hình hộp S2 = 5.5 = 25.
Khi đó

V1 100
4
=
; 25 = .
V2
π
π

Câu 17. Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ
sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp
xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các
đường sinh của lọ hình trụ. Tính diện tích đáy của cái lọ hình trụ.
A. 16π r 2 .

B. 18π r 2 .

C. 9π r 2 .



13,26
16 − ( 3,8)

2

= 8,5

Vậy chiều cao của cốc là: 8,5 + 1,5 = 10cm.
Câu 19. Người ta cần đổ một ống bi thoát nước hình trụ với chiều cao 200cm
và độ dày của thành bi là 10cmvà đường kính của bi là 60cm. Tính lượng bê
tông cần phải đổ của bi đó là.
A. 0,1π m3 .

B. 0,18π m3 .

C. 0,14π m3 .

D. V = π m3 .

Lời giải tham khảo

(

)

2
2
2
2

Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích
142 3
bằng 6 tam giác đều cạnh 14 cm, mỗi tam giác có diện tích là
cm3
4

(

)

Với cột bê tông đã trái vữa hình trụ: Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính 15 cm

(

2
2
nên có diện tích là 15 π cm

)

Số lượng vữa cần trát thêm vào tất cả 17 cột, mỗi cột cao 290 cm là:

142 3 
17.390 152π − 6.
= 1,31.106 cm3 = 1,31m3
÷

÷
4 



V
.
π

Lời giải tham khảo
Ta có : V = π .R2.h ⇒ h =
Xét hàm: f ( x) =

V
2V
; Stp = 2π Rh + 2π R2 =
+ 2π R2
2
R
π .R

2V
+ 2π x2 .
x

Ta có f ( x) đạt Min khi x =

3

V
.
2π

Câu 22. Cho hình lăng trụ tam giác đều có chín cạnh đều bằng a. Tính thể



Nguyễn Quốc Thái

Word toán
2

2

 a  a 
a 21
4 3 7π a3 21
Ta có R =  ÷ + 
Suy
ra
=
.
V = πR =
.
÷
6
3
54
 2  3 
Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có SA = a 2, AB = a, AC = a 3, SA vuông góc với
a 7
. Gọi ( S) là mặt
2
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Tính thể tích V của khối cầu tạo bởi mặt cầu
đáy và đường trung tuyến AM của tam giác ABC bằng

÷ +r =
2



3
.a
2

⇒ Thể tích khối cầu: V = π 6.a3 .
Câu 24. Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật (tổng diện tích
các mặt ), S2 là diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó. Tính
giá trị nhỏ nhất của tỷ số

A.

1
.
2

B.

S2
.
S1
3
.
2

C.

S1 = 2( ab + bc + ca) , S2 = a2 + b2 + c2 . Ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của

S2 π
≥ .
S1 2

S2
π
bằng .
S1
2

ĐÁP ÁN TOÁN THỰC TẾ: NÓN - TRỤ - CẦU
01C

02C

03B

Ghi nguồn tải về khi in

04C

05A

06D

07A


16A

17C

18A

19A

20A

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................