PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình mũ cơ bản a x = b ( a  0, a  1)
•

Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b  0

•

Phương trình vô nghiệm khi b  0

2. Biến đổi, quy về cùng cơ số

a

f ( x)

=a

g ( x)

0  a  1
 a = 1 hoặc 
 f ( x ) = g ( x )

3. Đặt ẩn Phụ

f  a g ( x )  = 0

g( x)


f ( x)

+ ? = 0 , trong đó a.b = 1 . Đặt t = a f ( x ) , t  0 , suy ra b f ( x ) =

f ( x)

= .b 2 f ( x ) = 0 . Chia hai vế cho b

2 f ( x)

a
và đặt  
b

1
.
t

f ( x)

=t 0

4. logarit hóa
•

0  a  1, b  0
Phương trình a f ( x ) = b  
 f ( x ) = log a b

•


➢

Bước 1: vẽ đồ thị các hàm số y = a x

➢

Bước 2: kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
o

Tính chất 1: Nếu hàm số y = f ( x ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) thì số nghiệm của
phương

trình

trên ( a, b )

f ( x) = k

không

nhiều

hơn

một

và


  f ( x)  g ( x)
 a g ( x)  0  a  1

 f ( x)  g ( x)



– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


a f ( x)  a g ( x)

Tương tự với bất phương trình dạng:  a f ( x )  a g ( x )
a f ( x)  a g ( x)


a M  a N  (a − 1)(M − N )  0

•

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

•

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
+ Đưa về cùng cơ số
+đặt ẩn phụ

= 9  3x

2

− 4 x +5

x =1
= 32  x 2 − 4 x + 5 = 2  x 2 − 4 x + 3 = 0  
x = 3

Suy ra 13 + 33 = 28 . chọn đáp án A.
Câu 2: Cho phương trình 3x

2

−3 x +8

= 92 x −1 . Khi đó tập nghiệm của phương trình là:

A. S = 2;5

 −5 − 61 −5 + 61 
;
B. S = 

2
2




= 34 x − 2  x 2 − 3 x + 8 = 4 x − 2  x 2 − 7 + 10 = 0  
x = 2

Vậy S = 2;5
x

1
Câu 3: Phương trình 31− x = 2 +   có bao nhiêu nghiệm âm?
9

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Hướng dẫn giải
x

x

3
1
1
1
= 2 +    3.   = 2 +  
x
3

x

Vậy phương trình có một nghiệm âm.

 1 
Câu 4: Số nghiệm của phương trình 9 + 9. 

 3
x
2

A. 2

2 x+2

− 4 = 0 là:

B. 4

C. 1

D. 0

Hướng dẫn giải
1
Phương trình tương đương với 3x + 9.  
3

x +1



= 16x

2

−1

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
B. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
D. Phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn giải

2

28
x+4
3

= 16

x 2 −1

 x  1 x  1
 x=3
28

2

C. -7

D. -5

Hướng dẫn giải
8− x2 =10−9.105−5 x

( 2.5)

 108− x = 102−5 x  8 − x 2 = 2 − 5 x  x = −1; x = 6
2

ta có: -1+6=5. Chọn đáp án A.
Câu 7: phương trình 9 x − 5.3x + 6 = 0 có nghiệm là:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5


A. x = 1, x = log3 2

B. x = −1, x = log3 2

C. x = 1, x = log 2 3 D. x = −1, x = − log3 2

Hướng dẫn giải
Đặt t = 3x (t  0) ,khi đó phương trình đã cho tương đương với

 x = log3 2

Hướng dẫn giải
Đặt t = 4x (t  0) , khi đó phương trình đã cho tương đương với

 t=4
t 2 − 3t − 4 = 0  
 x =1
t = −1( L)
Chọn đáp án A.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


Câu 10.

Cho phương trình 9 x

2

+ x −1

− 10.3x

2

+ x−2

+ 1 = 0 . Tổng tất cả các nghiệm của phương trình


=
 3


3
 x = −1
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng -2.
Câu 11.

Nghiệm của phương trình 2 x + 2 x +1 = 3x + 3x +1 là:
A. x = log 3
2

3
4

C. x = 0

B. x = 1

D. x = log 4
3

2
3

Hướng dẫn giải
x

3

3 2

C. x −1;0

D. x 0;1

Hướng dẫn giải

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

7


2x

x

3
3
6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 0  6   − 13   + 6 = 0
2
2
x
 3 
3
  =
2
 x =1
2



2
3

C. log 3

3
2

D. − log3 6

Hướng dẫn giải
9 x − 5.3x + 6 = 0

(1)

(1)  (32 ) x − 5.3x + 6 = 0  (3x ) 2 − 5.3x + 6 = 0 (1’)

t = 2( N )
Đặt t = 3x  0 . Khi đó: (1')  t 2 − 5t + 6 = 0  
t = 2( N )
Với t = 2 = 3x = 2  x = log 3 2
Với t = 3 = 3x = 3  x = log 3 3 = 1
Suy ra 1 + log3 2 = log3 2 + log3 2 = log3 6
Câu 16:

Cho phương trình 21+ 2 x + 15.2 x − 8 = 0 ,khẳng định nào sau đây đúng?
A. Có một nghiệm

B. Vô nghiệm

1
1
1
= 2 x =  x = log 2  x = −1
2
2
2

Phương trình 5x + 251− x = 6 có tích các nghiệm là:
 1 + 21 
A. log 5 

 2 

 1 − 21 
B. log 5 

 2 

C.

5

 1 + 21 
D. 5log 5 

 2 

Hướng dẫn giải
5x + 251− x = 6 (1)


 1 + 21 
1 + 21
1 + 21
= 5x =
 x = log 5 

2
2
 2 

 1 + 21 
 1 + 21 
Suy ra: 1.log 5 
 = log 5 

 2 
 2 

Câu 18:

(

Phương trình 7 + 4 3

) + (2 + 3)
x

x


 t=2
t2 + t − 6 = 0  
 x = log 2+ 3 2
( )
t = −3( L)
x

Câu 19:

1
Tập nghiệm của bất phương trình    32 là:
2

B. x  ( −;5)

A. x  ( −; −5)

C. x  ( −5; + )

D. x  ( 5; + )

Hướng dẫn giải
x

−5

x

1
1 1

x

)  ln1  x ln 4 + sin x ln 3  0
2

Chọn đáp án A.
Câu 21:

tập nghiệm của bất phương trình 2 x + 2 x +1  3x + 3x −1
A. x  [2; +)

B. x  (2; +)

C. x  (−; 2)

D. x  (2; +)

Hướng dẫn giải
x

4
3 9
2 x + 2 x +1  3x + 3x −1  3.2 x  .3x      x  2
3
4
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

10

Câu 23:

2x
2x
 1


+ 2x  0  2x 
+ 1  0
x +1
x +1
 x +1 

 x  −2
 x  −2
2 x( x + 2)
0
. kết hợp với điều kiện => 
x +1
 −1  x  0
 −1  x  0

Tập nghiệm của bất phương trình 16 x − 4 x − 6  0 là;
A. x  log 4 3

B. x  log 4 3

C. x  1

D. x  3


0


 x
x
x
3 −2
3 −2
 x  log 3 2
3  2

Câu 25:

Tập nghiệm của bất phương trình 11
A. −6  x  3

B. x  −6

x +6

 11x là:
C. x  3

D. 

Hướng dẫn giải

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1
1
 x+1
là;
3 + 5 3 −1
x

B. x  −1

C. x  1

D. 1  x  2

Hướng dẫn giải
Đặt t = 3x (t  0) , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

 3t − 1  0
1
1
1


  t  1. .
t + 5 3t − 1
3
3t − 1  t + 5

Câu 27:

5

5
 
7

2 x −1

 x 2 − x + 1  2 x − 1  x 2 − 3x + 2  0  1  x  2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1;2) . Chọn đáp án A.
Câu 28:

Tập nghiệm của bất phương trình 4 x − 3.2 x + 2  0 là:
A. x  ( −;0)  (1; + )

B. x  ( −;1)  ( 2; + )

C. x  ( 0;1)

D. x  (1;2 )
Hướng dẫn giải

2x  2
 x 1
4 x − 3.2 x + 2  0   x

x  0
2 1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


x

 16  2
3x +1 − 22 x +1 − 12  0  3.9 − 2.16 − 12  0  3.3.  
9
x
2

1
2

x
2

x
2

x

 4 2
−   0
3

x

 4 2
   1 x  0
3

Câu 31:

2
 1  x
1
3
  −1
2

x

3
2.   − 4
2
−1  0
x
3
  −1
2

x

3
x
  −3
2
3


 0  1     3  0  x  log 3 3
x
2


1

D.  −;   ( 0; + )
3


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

13


Hướng dẫn giải
1
1 − 3x
1
2
00 x
 1 nên bất phương trình tương đương với  3 
x
x
3
5

Vì

 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  0; 
 3




1
−
5

0
5

1



 2 x − 4  0
 2 x  4

Tập nghiệm của bất phương trình 2 x − 21−

Câu 34:

B. ( −;0 )

A. −1  x  1

x

 1 là:

C. (1;9 )


 t 1
t 1


 2
1 t  2 1 2
(2)   2
t − t  1 t − t − 2  0

x

 2  0  x 1

VẬN DỤNG
Câu 35:

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4x
A. x −5; −1;1;2

B. x −5; −1;1;3

2

−3 x + 2

+ 4x

2

+ 6 x +5


2

+ 6 x +5

(1 − 4

= 42 x

x + 6 x +5
2

+3 x + 7

2

+ 1  4x

) − (1 − 4

x + 6 x +5
2

2

−3 x + 2

+ 4x

2

)=0

 4 x −3 x + 2 − 1 = 0
 x 2 − 3 x + 2 = 0  x = −1  x = −5



 2
2
x
+
6
x
+
5
=
0
1 − 4 x + 6 x +5 = 0
 x = 1 x = 2

2

Câu 36:

Phương trình

(

A. 1



) = ( 10 )
x

x

x

x

 3− 2  3+ 2
 
 +
 =1
10  
10 


x

 3− 2  3+ 2
Xét hàm số f ( x) = 
 +

10  
10 


x


f '( x) = 3x ln 3 + 2  0, x 

. Do đó hàm số f ( x ) đồng biến trên

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


Câu 38:

Phương trình 2x −3 = 3x

2

−5 x + 6

có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1  x2 , hãy chọn phát biểu

đúng
A. 3x1 − 2 x2 = log3 8

B. 2 x1 − 3x2 = log3 8

C. 2 x1 + 3x2 = log3 54

D. 3x1 + 2 x2 = log3 54
Hướng dẫn giải


−5 x + 6

 ( x − 3) log 2 2 = ( x 2 − 5 x + 6 ) log 2 3  ( x − 3) − ( x − 2 )( x − 3) log 2 3 = 0


x=3

x=3
x=3



 ( x − 3) 1 − ( x − 2 ) log 2 3 = 0  


1
1 − ( x − 2 ) log 2 3
x − 2 ) log 2 3 = 1  x − 2 =
(


log 2 3



x=3
x=3

 x=3

(7 + 4 3 ) + (2 + 3 )
x

(

)

(

)

x

x

(

=6

2
(8)   2 + 3  + 2 + 3



Đặt t = 2 + 3

x

(8)


(

)

x

= 2  x = log 2+ 3 2
( )

Chọn đáp án A.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

16


Câu 40:

Phương trình 33+3 x + 33−3 x + 34+ x + 34− x = 103 có tổng các nghiệm là
A.0

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải
33+3 x + 33−3 x + 34+ x + 34− x = 103


1
 2 3x. x = 2
x
3
3
3

1
1
1
1
1

= t =  3x + x  = 33 x + 3.32 x. x + 3.3x. 2 x + 3 x  33 x + 3 x = t 3 − 3t
3 
3
3
3
3

3

Khi đó: (7 ')  27(t 3 − 3t ) + 81t = 103  t 3 =

103
10
 t =  2( N )
27
3


Phương trình 9sin x + 9cos x = 6 có họ nghiệm là?
2

A. x =

C. x =


4


6

2

+

k
, (k  )
2

B. x =

+

k
, (k  )
2

D. x =

9

+ 9cos x − 6 = 0 (*)
2

2

9cos x

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

17


Đặt t = 9cos x ,(1  t  9) .Khi đó: (8) 
2

9
+ t − 6 = 0  t 2 − 6t + 9 = 0  t = 3
t

Với t = 3  9cos x = 3  32 cos x = 31  2cos 2 x − 1 = 0  cos 2 x = 0  x =
2

Câu 42:

2

(


Với giá trị nào của tham số m thì phương trình

x

= m có hai

nghiệm phân biệt
A. m  2

C. m = 2

B. m  2

D. m  2

Hướng dẫn giải

(

)(

)

(

Nhận xét: 2 + 3 2 − 3 = 1  2 + 3

(

Đặt t = 2 + 3

Xét hàm số f (t ) = t +

Ta có: f '(t ) = 1 −

1
xác định và liên tục trên (0; +)
t

1 t 2 −1
= 2 . Cho f '(t ) = 0  t = 1
t2
t

Bảng biến thiên:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

18


Dựa vào bảng biến thiên:
+ nếu m  2 thì phương trình (1’) vô nghiệm =>pt (1) vô nghiệm.
Câu 8 chọn dáp án A
+nếu m = 2 thì phương trình (1’) có đúng một nghiệm t = 1 = pt (1) có đúng một

(

nghiệm t = 2 + 3

)


tổng hai nghiệm bằng?
A. 0

B. 2

C. -2

D. 1

Hướng dẫn giải

2x

2

+4

= 22( x

2

+1)

+ 2

(

2 x2 + 2


+1

Đặt t = 2x +1 (t  2). , phương trình trên tương đương với
2

8t = t 2 + 4t 2 − 4t + 1  t 2 − 6t −1 = 0  t = 3 + 10 (vì t  2 ).từ đó suy ra

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

19



3 + 10
 x1 = log 2
2
2
2 x +1 = 2 + 10  

 x = − log 3 + 10
2
 2
2

Vậy tổng hai nghiệm bằng 0.
Câu 45:

Với giá trị nào tham số m thì phương trình ( m + 1)16x − 2 ( 2m − 3) 4x + 6m + 5 = 0 có

hai nghiệm trái dấu?


Câu 46:

Cho bất phương trình

1
5

x +1

−1



1
. Tìm tập nghiệm của bất phương trình.
5 − 5x

A. S = (−1;0]  (1; +)

B. S = (−1;0]  (1; +)

C. S = (−; 0]

D. S = (−;0)
Hướng dẫn giải

6 (1 − 5x )
1



  t  1   5 x  1  −1  x  0
5
 5

Vậy tập nghiệm của BPT là S = (−1;0]  (1; +) .
Câu 47:

Bất phương trình 25− x

2

+ 2 x +1

+ 9− x

2

+ 2 x +1

 34.15− x

2

+2 x

có tập nghiệm là:

A. S = (−;1 − 3]  0; 2  [1 + 3; +)


+2 x

5
 
 3

(

)

2 − x 2 + 2 x +1

34  5 (
+ 1  . 
15  3 

)

− x 2 + 2 x +1

0 x2

  x  1− 3
x  1+ 3


Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4 x − m.2 x +1 + 2m = 0 có hai nghiệm

x1 , x2 x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3 ?
A. m = 4


B. m  4

A. m  4

C. m  1

2

2

x

có nghiệm?

D. m  1

Hướng dẫn giải
Chia hai vế bất phương trình cho 3sin

2
 
3

sin 2 x

1
+ 3.  
9


bất phương trình (1) nghiệm đúng x  1
A. m  −

3
2

B. m  −

3
2

C. m  3 + 2 2

D. m  3 + 2 2

Hướng dẫn giải
Đặt t = 3 x
Vì x  1 = t  3 bất phương trình đã cho thành: t 2 + (m − 1)t + m  0 nghiệm đúng

t  3


t2 − t
 −m nghiệm đúng t  3
t +1

Xét hàm số g ( t ) = t − 2 +
trên [3; +) và g (3) =

2