MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………1
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………………..1
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………………...1
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………………..1
1.4. phương pháp nghiên cứu………………………………………………………….2
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm..........................................................2
2. NỘI DUNG…………………………………………………………………………3
2.1. Cơ sở lí luận………………………………………………………………………3
2.2. Thực trạng của đề tài……………………………………………………………...3
2.3. Các giải pháp thực hiện…………………………………………………………...3
2.3.1. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích …………….......4
2.3.2. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp đổi biến số……………......5
2.3.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần……………………… ..6
2.3.4. Xác định tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ……………........7
2.3.5. Xác định tích phân của các hàm số lượng giác…………………………………8
2.3.6. Tích phân các hàm số hữu tỉ …………………………………………………....9
2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối……………………….....10
2.3.8.Một số tích phân đặc biệt ...................................................................................11
2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm..................................................................................11
3.KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ ………………………………………………………..14
3.1. Kết luận………………………………………………………………………….14
3.2. Kiến nghị………………………………………………………………………...14
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………15
DANH MỤC…………………………………………………………………………15

1


1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.

1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2


Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm
một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa
nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương pháp và kỹ
thuật giải từng dạng cho học sinh. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một
hướng nhất định nào đó. Do đó các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa khai
thác được hết cách giải. Qua quá trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc
biệt mạng internet tôi nhận thấy việc dạy cho học sinh giải một cách nhanh nhất
một bài toán là rất cần kiến để phù hợp với việc giải toán cho các kỳ thi đặc biệt là
kỳ thi THPT Quốc gia rất cấp bách như hiện nay.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
Khi tôi được phân công dạy môn Toán khối 12 tôi nhận thấy nếu cứ dạy theo sách
giáo khoa học sinh rất mơ hồ, không nhận dạng được các bài toán để giải quyết nhanh
được. Từ đó tôi đã có suy nghĩ là làm cách nào để các em có thể giải quyết nhanh các
bài toán nguyên hàm, tích phân. Trong quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy được
đề tài “Giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc
nghiệm”
2. NỘI DUNG.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Dựa vào định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính
tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh ngiêm.
Học sinh chỉ biết vận dụng định nghĩa, định lí một cách máy móc mà không phân loại
được thành từng dạng.
2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích .
Phương pháp chung:


dx
I =∫
1 +e x

.

Giải: Sử dụng đồng nhất thức:
1 = (1 + ex) – ex.
Ta được:

(

)

1
1+ ex − ex
ex
=
=
1
−
1+ ex
1+ ex
1+ ex

ex 
d 1+ ex

⇒ I = ∫ 1 −

[1]

Nhận xét :
- Nếu học sinh không biết cách phân tích đưa về dạng đã gặp thì bài toán này rất khó
giải quyết.
- Ở ví dụ 2 ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức.
1
a
b
=
+
x − 5x + 6 x − 3 x − 2
2

- Nếu bậc của tử cao hơn bậc của mẫu thì ta có thể chia tử cho mẫu trước rồi mới thực
hiện đồng nhất thức .
Ví dụ 3: Giả sử

π
4

∫ sin 3x.sin 2 xdx = (a + b)
0

A.

−

1
6

là biến đổi tích thành tổng.
2.3.2. Xác định nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân.
Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau.
Định lý1:
4


a.Nếu ∫ f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm thì:
∫ f(u)du = F(u) + C.
b. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với đạo hàm
ϕ’(t) là những hàm số liên tục, ta được:
∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)].ϕ’(t)dt.
Định lý 2:
a. Nếu ∫ f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm trên [a,b] thì:
ϕ (b)

ϕ (b)

(a)

ϕ (a)

f (u )du = F (u )
∫
ϕ

.

b. Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = ϕ(t) xác

( x − a )( b − x )

Hàm có mẫu số

Cách chọn

π
−π
 x = a sin t ,  2 ≤ t ≤ 2 



 x = a cos t , ( 0 ≤ t ≤ π )

a
− π π 

,t ∈ 
, , t ≠ 0
x =
sin t
 2 2


a
π
x =
, t ∈ [ 0, π ], t ≠
cos t
2


dx
x x 2 +1

.

Giải: Đổi biến số:
t=

x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx

Ta có:
dx

I =∫
=∫

xdx

=∫

x x +1
x
x 2 +1
tdt
dt
1  1
1 
=∫ 2
= ∫

 +C
2
x +1 +1 

8

Ví dụ 2: Tính tích phân: I =

∫x
3

dx
x2 +1

Giải:
Đặt:
t = x 2 + 1 ⇒ dt =

x
x2 +1

dx =

xdx
tdt
⇒ dx =
t
x

x= 3⇒t =2

3

1  1
1 
1
⇒ I = ∫
−
dt = ( ln t − 1 − ln t + 1 )
2 2  t −1 t +1
2
2
3

1 3
 1 t −1
=  ln
 = ln .
 2 t +1 2 2 2

[2]
6


2.3.3. Tínhnguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần.
Khi gặp các dạng sau thì ta dùng phương pháp tích phân từng phần
Dạng 1: ∫ P(x)axdx, ∫ P(x)sin(ax +b)dx, ∫ P(x)cos(ax + b)dx
đặt: u = P(x)
Dạng 2 : ∫ P(x)logaxdx
Đặt u = loga x
Dạng 3: ∫ eaxsinbxdx, ∫ eaxcosbxdx



⇒ du =
Đặt: 
x
x + x2 +1
dx
dv =

2
x +1

v = x 2 + 1


x
x +1
2

dx.

dx
x2 +1

Đặc biệt: Khi bài toán là bài thi trắc nghiệm
Ví dụ 2 : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex là nguyên hàm của hàm số
f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + 5 )ex . Tính a2 + b2 +c2 +d2
A . 244

B. 247

2

[A(x) + B(x)] + C.

Đối với phương pháp này, điều khác là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao
cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn.
sin x
Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =
.
sin x − cos x
cos x
Hướng dẫn : Chọn hàm số phụ: g(x) =
.
sin x − cos x
Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:
f(x) + g(x) =

sin x + cos x
sin x − cos x

Và tính f(x) - g(x) = sin x + cos x
sin x − cos x

[3]

2.3.5. Xác địnhnguyên hàm, tích phân của các hàm số lượng giác.
Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác ta dùng cá phương pháp sau:
a)Sử dụng các nguyên hàm cơ bản.
b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm số lượng giác.
c ) Sử dụng phương pháp biến đổi các công thức lượng giác.

2

dx.

2

Giải:

Nhận xét
2 sin x(− cos x)
sin 2 x
2 sin x cos x
R (sin x, cos x) =
=
=−
2
2
( 2 + sin x ) ( 2 + sin x )
( 2 + sin x ) 2
= − R(sin x,− cos x)

Từ nhận xét ta đổi biến
Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;

π
⇒ t = -1.
2
Ví dụ 2 : Tìm các hằng số A , B để hàm số f(x) = A.sinπx + B thỏa các điều
kiện:

2
C. 

B = 2

HD: f ' (x) = A.πcosπx ⇒ f ' (1) = - Aπ mà f ' (1) = 2 ⇒A =
2

2

0

0

∫ f (x)dx = ...= 2B mà ∫ f (x)dx = 4 ⇒ B = 2

D.
−

2

A =
π

 B = 2

2
π

[6]

Biến đổi:

1
1
1 1
1 
= 2
=  2
− 2

2
2
x + 4x + 3
x +1 x + 3 2  x +1 x + 3 

(

4

)(

)

Khi đó :
1
1
1  dx
dx 



= dt
2
x
+
1
1
+
tg
t
Suy ra:
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;
π
x = 1 ⇒ t = 4 .a

(

2

π
4

Khi đó:

)

π

I 1 = ∫ dt = t 04 =
0


Suy ra: dx = 3 1 + tg t dt & 2
2
x +3
3(1 + tg t )
3

(

)

2

[3]

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;
x = 1 ⇒t =

π
.
6

Khi đó
1

π
6

∫ dt =
3


I=

b

Để tính tích phân : I = ∫ f ( x, m) dx ta thực hiện theo các bước sau:
a

+) Bước 1: Xétt dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b]. Từ đố phân đoạn [a, b] thành
các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác định, giả sử:
[a, b] = [a, c1] ∪ [c1, c2] ∪… ∪ [ck, b].
+) Bước 2: Khi đó ta có :
c1

c2

b

a

c1

ck

I = ∫ f ( x, m) dx + ∫ f ( x, m) dx + ... + ∫ f ( x, m) dx
1

Ví dụ : Tính tích phân: I = ∫ x x − a dx (a > 0).
0

Giải:

1

[4]

 − x 3 ax 2   x 3 ax 2 
 + −

= 
+
2  0  3
2  a
 3
a3 a3 1 a a3 a3 a3 a 1
=− + + − − +
= − + .
3
2 3 2 3
2
3 2 3

2.3.8.Một số tích phân đặc biệt :
Khi làm các bài toán nguyên hàm tích phân chúng ta thường lúng túng khi gặp một
số bài toán đặc biệt: Sử dụng tính chẵn , lẻ của hàm số .
α

Nếu hàm số y = f(x) là hàm lẻ thì

∫ f ( x)dx = 0

−α

= f ( x)dx
x
+ 1 ∫0

∫α a

−

Ví dụ 2 :

α

f ( x)dx = 2 ∫ f ( x) dx

1

1

x 4 +1
4
∫−1 e x + 1dx = ∫0 ( x + 1)dx

[5]

2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm :
Bài 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn
1

2. f ( x) + 3. f ( x − 1) = 1 − x . Giá trị của tích phân
2


−2

f (0) =

2
f
(
0
)
+
3
f
(
1
)
=
1


5
2
⇒
Từ 2. f ( x) + 3. f ( x − 1) = 1 − x ⇒ 
2 f (1) + 3 f (0) = 0  f (1) = 3

5
1

Vậy

x
e
[
f
(
x
)
+
f
'
(
x
)
]
dx
=
e x f ( x) ' dx = e x f ( x) = e − 1
Lời giải: Ta có ∫
∫
0
0
0

a = 1
⇒ Q = 12018 + (−1) 2018 = 2 . Chọn B
b = −1

Suy ra 

2017


0

2

2 xdx
dt
xdx
⇒
= 2
2
2 x +1
x +1

 x = 0 → t = 0
 x = e 2017 − 1 → t = 2017

Đổi cận: 

1
Khi đó I =
2

2017

∫

f (t )dt =

0

π
2

∫ f ( x) sin 2 xdx
0

A. I = -13
Lời giải. Xét

π
2

∫
0

Khi đó

10 =

π
2

∫
0

⇒

π
2



Bài 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;1], thỏa mãn
1

3 f ( x) + x. f ' ( x) = x

2018

với mọi x trên [0;1]. Tính I = ∫ f ( x)dx
0

13


A. I =

1
1
B. I =
2018.2021
2019.2020

C. I =

1
2019.2021

D. I =

1


1
x 2018
2021

x 2018
1
dx =
. Chọn đáp án C
2021
2019.2021

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
2.4.1. Với hoạt động giáo dục: Tôi đã sử dụng những phương pháp giải các bài
nguyên hàm ,tích phân này vào giảng dạy thấy đa số học sinh hiểu bài và vận dụng
một cách linh hoạt, dễ dàng khi giải toán, kết quả giải bài tập chương này tăng lên rõ
rệt.
Điểm từ 5 đến
Điểm 8 trở lên
Điểm dưới 5
Năm
Tổng
8
Lớp
Số
Số
Số
học
số
Tỷ lệ

2018

2.4.2. Với bản thân : Trong quá trình giảng dạy khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm
vào dạy thì tôi đã dẫn dắt học sinh áp dụng bài tập một cách nhanh chóng, định hướng
.cho học sinh có thể giải nhanh một số bài toán nguyên hàm, tích phân.
2.4.3Với đồng nghiệp : Trong quá trình sinh hoạt chuyên môn tôi cũng đưa ra sáng
kiến kinh nghiệm của mình, đã được đồng nghiệp trong tổ đón nhận và đóng góp ý
kiến để bài dạy được sâu sắc hơn, hoàn thiện hơn.
2.4.4. Với nhà trường: Với sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp trong
trường nói chung và của bản thân tôi nói riêng cũng đã đóng góp một phần nhỏ để
chất lượng nhà trường ngay càng đi lên .
3. Kết luận và kiến nghị:
14


3.1. Kết luận: Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối trong quá
trình dạy và học đối với học sinh THPT và đặc biệt đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với
học sinh trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia hiện hành. Theo tôi khi
dạy phần toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán
và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn
chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho
tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị :
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn
nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng
cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại
các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên
cứu phát triển chuyên đề.

Khoa học tỉnh công nhận
năm học 2013-2014

16