I/ Định nghĩa về Tập giá trị của hàm số.
1. Định nghĩa thứ nhất về tập giá trị của hàm số :
Cho tập X

R. ánh xạ f : X

R đợc gọi là một hàm số xác định trên X. Tập X
đợc gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f
Tập ảnh f(X)={f(x):x

X} đợc gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số f .
2. Định nghĩa thứ hai về tập giá trị của hàm số :
Cho X

R . Nếu ta có một quy tắc f nào đó mà ứng với mỗi x

X xác định đợc
một giá trị tơng ứng y

R thì quy tắc f đợc gọi là một hàm số của x và viết y=f(x). x
đợc gọi là biến số hay đối số và y gọi là giá trị của hàm số tại x. Tập hợp tất cả các
giá trị y với y =f(x); x

X gọi là tập giá trị của hàm số f.
3. Định nghĩa thứ ba về tập giá trị của hàm số:
Cho

X

R. Một hàm số f xác định trên X là một quy tắc f cho tơng ứng mỗi
phần tử x

).
+ Nếu a< 0 , Tập giá trị của hàm số là T = (-

;-
a4

] .
4.Hàm số y =
x
.
Tập xác định : D = R .
Tập giá trị : T = R
*
+
.
5. Hàm số y =
[ ]
x
.
Tập xác định : D = R .
Tập giá trị : T = Z .
6. Các hàm số l ợng giác :
1
+ y = Sinx , y = Cosx có TGT là T = [ -1 ; 1] .
+ y = Tanx và y = Cotx có TGT là T = R .
7. Hàm số mũ:
y = a
x
; 0 < a 1 :
Tập xác định : D = R .






2
1
.
Với mọi x

D ta có : y =
12
53

+
x
x


y(2x -1) = 3x + 5


( 2y 3) x = y + 5


x =
32
5

+

cbxaxy
++=
2

2
2.Ph ơng pháp 2 :Tìm tập giá trị của hàm số từ điều kiện có nghiệm của phơng
trình : f(x) = y
Từ điều kiện có nghiệm của phơng trình f(x) = y ta đánh giá đợc
y

[a;b] từ đó ta tìm đợc tập giá trị của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm tập giá trị của hàm số y =
1
1
2
2
++
+
xx
xx
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R.
Gọi y là một giá trị của hàm số khi đó phơng trình sau có nghiệm
y =
1
1
2
2
++
+



- 3y
2
+10 y 3

0



3
3
1

y
.
Vậy tập giá trị của hàm số là T =






3;
3
1
.
Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số y =
32
32



2y
2
-5y + 2

0



2
2
1

y
Vậy tập giá trị của hàm số là T =






2;
2
1
.
* Sau đây là một số bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sa
1.
5

xx
xx
y
5.
2coscossin4sin3
1cos4cossin3sin2
22
22
++
++
=
xxxx
xxxx
y
6.
xxxy cossin4sin
2
+=
7.
xxxxy 3sinsin3coscos
33
=
.
Bài 2 : Tìm a và b để tập giá trị của hàm số
1
2
2
+
++
=

22
32
20103
),(
yxyx
yxyx
yxf
++
++
=
trên miền
{ }
0:),(
22
yxyxD
+=

3 /Ph ơng pháp tìm tGT của hàm số bằng cách sử DụNG bất
đẳng thức.
Bằng các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh đợc
Mym

và
chỉ ra đợc dáu = xảy ra khi nào thì ta kết luận đợc tập giá trị của hàm số y = f(x).
VD1: Tìm tập giá trị của hàm số
y =x +
2005
1
16
+

1
8
1
3
=
++
+
+
+
+
++
xx
x
xx
x

x+
11
1
16

+
x
x+
20202009
1
16

VD2: Tìm TGT của hàm số y=
1
+
x
+
x

8
Lời giải: Hàm số có TXĐ là D=[-1;8]
Dễ thấy y
0

Ta có :y
2
=9 + 2
)8).(1( xx
+
9

đẳng thức xảy ra

x=-1 hoặc x=8

y
3

Mặt khác :áp dụng BĐT Côsi ta có:
2
)8)(1( xx
+

y =
1
+
x
+
52
+
x
+
103

x
.
Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số:

yxxyyxyxf 282254),(
22
+++=
.
Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số :

xyz
yx
yxf
+
=
),(
trên miền
{ }
1;0;;:);;(

)2(y
=
2
3
Lim
2
1
2
+
+
x
x
= lim
2
2
1
1
1
x
x
+
+
= -1
x

x

lim
2
1

=
Lời giải:
Ta có
2
3
)(
)1(
),(
y
x
y
x
yxf
+
=
, đặt
t
y
x
=
với
0

t
thì
2
3
)1(
)(),(
t

(t) - 0 +

g (t)
+

+

4
27
Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là : T=






+
,
4
27
.
*Nhận xét: Từ bảng biến thiên của hàm số chúng ta còn kết luận đợc về GTLN,
GTNN của hàm số đồng thời còn có thể biện luận về số nghiệm của phơng trình và
giảI đợc bất phơng trình. Đó là những ứng dụng của tập giá trị của hàm số chúng ta
sẽ xết ở phần sau
Để xét các bài toán ứng dụng đợc tốt , các bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1:Tìm TGT của hàm số :y= (2 +
)3
x2
+(2 -