20 BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số  C  : y  mx  x 2  2 x  2 có
tiệm cận ngang?
A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

x 1

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 

2

m  x  1  4

có hai

tiệm cận đứng:
A. m < 0.

B. m = 0.

m  0
C. 
.

C. T = -11.

D. T = 7.

12  4 x  x 2

có đồ thị (Cm). Tìm tập S tất cả các giá trị của tham số
4 x 2  bx  9
thực m để (Cm) có đúng hai tiệm cận đứng.
A. S = [8;9).

 9
B. S   4;  .
 2

 9
C. S   4;  .
 2

Câu 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y 

D. S   0;9 .

1 x 1
2

x  mx  3m

có đúng hai



x 1
có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc (C) cắt 2 đường
1  x
tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác. Tính diện tích của tam giác đó.

Câu 8: Cho hàm số y 

A. 2.
Câu 9: Đồ thị hàm số y 
A. 3.

B. 1.

5x  1  x  1
x2  2x

C. 4.

D. 8.

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 0.

C. 1.

D. 2.

mx 2  1  x 2

đúng bốn đường tiệm cận.
A. m   4;5 \ 3 .

B. m   4;5 .

C. m   4;5 \ 3 . D.  4;5 \ 3 .
3 x  mx 2 1

Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  e
2 tiệm cận ngang?
A. 2016.

B. 2019.

C. 2017.

x

 2018 m  x 2 1 có

D. 2018.

Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y 

1 x 1
x 2  1  m  x  2 m

có hai tiệm cận đứng?
A. 3.


x  f 2  x   2 f  x 



có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 6.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Câu 17: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R \ 1 và có bảng biến thiên như sau:

x
y'
y



-2
0

+

1
+


có đúng hai

tiệm cận là:
A. m = 1.

B. m = -1.

C. m = 1,m =2.

D. mọi m.

1  3x
có đồ thị (C). Điểm M nằm trên (C) sao cho khoảng cách từ M
3 x
đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). Khoảng cách từ M
đến tâm đối xứng của (C) bằng:

Câu 19: Cho hàm số y 

A. 3 2.

B. 2 5.

C. 4.

D. 5.

x 2
có đồ thị (C). Tiếp tuyến d của đồ thị (C) tạo với hai tiệm cận
x 1


5.B
15.C

6.B
16.D

7.C
17.B

8.C
18.C

9.D
19.B

10.A
20.B

Phương pháp:
Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm
số y  f  x  nếu lim f  x   y0 hoặc lim f  x   y0
x 

x 

Cách giải:
2

y  mx  x  2 x  2 

m  x  1  4

có hai tiệm cận đứng thì ta cần tìm sao cho tồn tại x0, x1 sao cho

lim y, lim y, lim y, lim y nhận một trong hai giá trị , .

x  x0

x  x0

x  x1

x  x1

Trường hợp 1.
Nếu m = 0. Khi đó y 

a 1
x 1
  nên không có tiệm cận đứng nào.
. Ta có   lim y 
2
2
x a

Trường hợp 2.
4


x 1




m  
m 
m
m

Xét giới hạn

lim
2 

x  1


m


Nếu 1 

2
m

1



y

2 

x  1

lim

x 1

x 1
  x  1 x  1

 lim

x 1

x 1
1 x

 0 do đó x = -1 không là tiệm

cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Nếu 1 

2
m

 1  m  1.

Khi

đó

lim
2 


2 
2 
m  x  1 
 x  1 

m 
m  


minh

được

 .

là một tiệm cận đứng của hàm số đã cho.

5


Trường hợp

lim
2 

x  1


m



x  1

2




2 
2 
m  x  1 
  x 1

m  
m  


.

 1, x  0.

y

2

 1

x 1



ta
x 1

chứng


2 
2 
m  x  1 
 x  1 

m 
m  


minh

được

 .

là một tiệm cận đứng của hàm số đã cho. Ta lại có

m

, m  0.
2
m


x3  4 x

 x  1 sinx  sin 2 .
8
x 2 x  x  2 

lim y  lim

x 2

6


sinx
x 2  3x  2
1
. lim

2
x 0 x x 0 x 2  4

lim y  lim

x 0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x = -2.
Câu 4: Chọn A.
Cách giải:

ax 2  x  1

4 1

12 3

a 1 1 1
 .  .
4 3 4 12

1
1
 T  3a  b  24c  3.  12  24.  11.
3
12

Câu 5: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm số có hai tiệm cận đứng  phương trình MS = 0 có hai nghiệm phân biệt không trùng với
nghiệm của tử số và thỏa mãn ĐKXĐ.
Cách giải:

0  x  4
ĐKXĐ:  2
.
 x  6 x  2 m  0
Ta có 12  4 x  x 2  0x

nên để (Cm) có hai tiệm cận đứng thì phương trình

x 2  6 x  2 m  0  x 2  6 x  2 m  0(*) có hai điểm phân biệt thuộc [0;4].


 x1 x2  4  x1  x2   16  0
2 m  24  16  0
 x  4    x  4   0
 x  x   8  0
6  8  0
2
 1
 1 2
9
Kết hợp nghiệm ta có 4  m  .
2

Câu 6: Chọn B.
Phương pháp:
Nếu

lim y    x  x0 là TCĐ của đồ thị hàm số. Hàm số có TCĐ x  x0 khi x  x0 là

x  x0

nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử. Lưu ý điều kiện xác định của hàm số.
Cách giải:
Chọn m = 2, khi đó hàm số trở thành y 

1 x 1
x2  2x  6

Rõ ràng 1  x  1  0x  1.
Khi đó để hàm số y 



Câu 7: Chọn C.
Phương pháp:
Xét hàm số y = f(x).
Nếu lim y  a hoặc lim y  a thì ta nói y = a là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x 

x 

y  f  x .

Nếu lim y  0 hoặc lim y  0 thì ta nói x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x  x0

x  x0

y  f  x .

Cách giải:

 x  3  x  3
Xét phương trình  x 2  4 x  3  0  

 x  1
 x  1
Cả 4 giá trị trên của x đều không là nghiệm của phương trình tử nên đồ thị hàm số có 4 đường
tiệm cận đứng x  3, x  1.
lim y  lim

x 

2
9


Cách giải:
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y=1(d1) và tiệm cận đứng x = 1(d2).
Gọi A  d1  d2  A 1;1 y ' 

1.(1)  1.1

 1  x 


x 1 
M  x0 ; 0
   C  , ta có

1

x

0
x 1
2
y
 x  x0   0  d 
2
x0  1
 x0  1


2
y
 0

x0  1
 x0  1 x0  1

đồ

thị

hàm

số

là

x0  3
x0  1

 x 3
Gọi B  d  d2  B  1; 0

 x0  1 
Cho y = 1  1  

1 




x0  1
x0  1

x 1
 0
 x0  12 x0  1

2 x0

2 x0

 x0  1

2

x 1
 0
1
x0  1

2 x0  x02  1  x02  2 x 0 1

 x0  1

2



4 x0  2



Câu 9: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tiệm cận:
Đường thẳng y = a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  khi một trong hai điều kiện
sau được thỏa mãn lim f  x   a hoặc lim f  x   a.
x 

x 

Đường thẳng x = b là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x  khi một trong các điều kiện sau
được thỏa mãn lim f  x   , lim f  x   , lim f  x   , lim f  x   .
x  b

x  b

x  b

x  b

Cách giải:
Hàm số có dạng y 

f x

g x

với f  x   5 x  1  x  1; g  x   x 2  2 x

*) Do bậc của f  x  nhỏ hơn bậc của g  x   TCN : y  0

(Lưu ý: có thể kiểm tra bằng máy tính)
Do đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận là y = 0 và x = 2.
Câu 10: Chọn D.
Phương pháp:
+) Đường thẳng x  a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số nếu lim f  x   .
x a

+) Đường thẳng y = b được gọi là TCN của đồ thị hàm số nếu lim f  x   b.
x 

Cách giải:
11


x  0

ĐK:  x  1
 2
mx  1  0

+) Với m = 0 ta có y 

x2  1
x  x  1 .

x2  1
x2  1
 lim
 1  hàm số có 1 đường TCN.  loại đáp án C.
x  x  x  1 x  x 2  x

m
x

2



1

1
x4
1

1
 1.

x3

 Đồ thị hàm số có 1 đường TCN.
Vậy không có giá trị nào của m để đồ thị hàm số có 2 TCN.
Câu 11: Chọn A.
Phương pháp:
-

Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  :

Nếu lim f  x   a hoặc lim f  x   a  y  a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

-




2
4
4x  2
4
x
 lim
 lim

 1.
22
x  4 x 2  4 x  3  4 x 2  1 x 
4 3
1
4 
 4
x x2
x2

 4x2  4x  3  4x2  1   4x2  4x  3  4x2  1 





lim  4 x 2  4 x  3  4 x 2  1   lim 
 x 
x  

 1.
2  2

Vậy, đồ thị hàm số y  4 x 2  4 x  3  4 x 2  1 có 2 tiệm cận ngang là y = 1, y = -1.
Câu 12: Chọn A.
Phương pháp:
Hàm số y  f  x 
Nếu lim y  a  y  a là TCN của đồ thị hàm số.
x 

Nếu lim y    x  x0 là TCĐ của đồ thị hàm số.
x  x0

Cách giải:

y

x 1

 x  1 

2 x 2  2 x  m  1  x  1   x  1  2 x 2  2 x  m  1  x  1 




2
2
2
2x  2x  m 1 x  2x 1



1
x2
lim y  lim

  2 1
4 m
x 
x 

2

1
1 
x x2

 đồ thị hàm số có 2 đường TCN. Để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải
có 2 đường tiệm cận đứng
Khi đó phương trình mẫu số phải có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình tử.

 điều kiện cần: phương trình x 2  4 x  m  0 xó 2 nghiệm phân biệt.
 y '  4  m  0  m  4  Loại C.
Đến đây việc thử từng đáp án là nhanh nhất.

 x  1 

2 x 2  2 x  2  x  1 

 , phương trình mẫu có 2


x

 2018 m  x 2 1

14


mx 2  1  0
Điều kiện xác định: 
2
 2018  m  x  1  0
3 x  mx 2 1

Đồ thị của hàm số y  e

x

 2018 m  x 2 1 có 2 tiệm cận ngang

 Tập xác định D phải chứa khoảng âm vô cực và dương vô cực.
m  0

 0  m  2018
2018  m  0
3 m 
3 x  mx 2 1

+) lim y  lim e
x 


a

Ta tìm m để tồn tại giá trị của a  R :
TH1: 1  2018  m  0  m  2017.
3 m

Khi đó: lim e

1 2018 m

x 

 a  R.

TH2: 1  2018  m  0  m  2017.
3 m

Khi đó: lim e

1 2018 m

x 

 a  0  R.
3 m 

3 x  mx 2 1

+) lim y  lim e

+) Giải phương trình:

e

3 m

3 m

1 2018 m

1 2018 m



e





3 m
1  2018  m

 





3 m

9081
.
5
3 x  mx 2 1

x   2018  m  x 2 1
 9081 
,
y

e
Vậy, với mọi số nguyên m  0;2018 \ 
hàm
số
luôn có hai tiệm

 5 
cận ngang.

Số giá trị nguyên của m thỏa mãn là: 2019 số.
Câu 14: Chọn C.
Phương pháp:
Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x0 thì x0 là nghiệm của phương trình mẫu mà không là
nghiệm của phương trình tử.
Cách giải:
ĐK: x  1 và x 2  1  m  x  2 m  0
Xét phương trình 1  x  1  0 vô nghiệm.
Xét phương trình x 2  1  m  x  2 m  0(*).
Để đồ thị hàm số đã cho có hai TCĐ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK
x  1.


1 x 1
2

x  3x  4

có tiệm cận đứng x  4  Loại.

x  1 3
Với m  1  x 2  2 x  2  0  
 TXD : D   1;1  3  1  3;  .
 x  1  3

 

Khi đó hàm số có dạng y 

1 x 1
2

x  2x  2



có 2 tiệm cận đứng x  1  3  TM.

x  1
Khi m  0  x 2  x  0  
 TXD : D   1;1   0;   .
x  0


9
2 9 3
a3
17


Dấu = xảy ra  a  3 

a  6
9
2
  a  3  9  
a3
a  0

 M  6;7  , N  0,1  MN  62  62  6 2

Câu 16: Chọn D.
Phương pháp:
Định nghĩa TCĐ của đồ thị hàm số y  f  x  : Nếu lim y    x  a là TCĐ của đồ thị hàm
x a

số y  f  x  .
Cách giải:
x 2  4 x  3

Ta có: y 

x2  x

2

 x  a  m  0  .

f  x   2  0  f  x   2,

phương trình có 3 nghiệm phân biệt

x  1; x  b   3; 1 ; x  c   ; 3 , khi đó f  x   2  n  x  1 x  b  x  c  .
 x   ; 1   0;  

Khi đó điều kiện xác định là:  x  3
 x  b; x  c


x  1 x  3 x 2  x
x  1 x 2  x


y

2
x.m  x  3  x  a  .n.  x  1 x  b  x  c  mn. x.  x  3 x  a  x  b  x  c 
Khi x  a   0;1  Hàm số không xác định.
Vậy đồ thị hàm số có 4 TCĐ là x  0; x  3; x  b; x  c
18


Câu 17: Chọn B.
Phương pháp:

x 1

lim g  x   , lim g  x   

x  x1

x  x 1

lim g  x   , lim g  x   

x  x2 

x  x 2

lim g  x   , lim g  x   

x  x3

x  x 3

lim g  x   , lim g  x   

x  x4 

x  x 4

Vậy, đồ thị hàm số y 

1
có 4 TCĐ: x  x1, x  x2 , x  x3 , x  x4 .

Ta có x 2  3 x  2  0  
y

x 2  3 x  2  x  1 x  2 
x  2
Để đồ thị hàm số y 

xm
x 2  3x  2

có đúng hai tiệm cận thì đồ thị hàm số chỉ có 1 TCN

m  1

.
m  2
Câu 19: Chọn B.
Phương pháp:
+) Xác định đường TCĐ(d1) và TCN(d2) của đồ thị (C) xác định tâm đối xứng của (C) là giao
điểm của hai đường tiệm cận.
 1  3m 
+) Gọi M  m;
  C
 3 m 

+) Tính d  M;  d1   ; d  M;  d2   và sử dụng giả thiết d  M;  d1    2 d  M;  d2   tìm m, suy ra tọa
độ điểm M.
+) Tính IM.
Cách giải:
Đồ thị hàm số (C) có TCĐ x = 3(d1) và TCN: y = 3(d2)

 2 5.
20


Câu 20: Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng công thức S ABC 

p  p  a  p  b  p  c  

1
r.  a  b  c 
2

Cách giải:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm x = a là: y 

3

 a  1

2

 x  a 

a2
d 
a 1



2 AI. BI  2 AI. BI



6
1 2

.

Dấu bằng xảy ra khi AI = BI, suy ra tam giác ABI vuông cân, suy ra khoảng cách từ I tới d bằng
6.

21


22