MỤC LỤC

Nội dung

Trang

1.MỞ ĐẦU

1

1.1.Lí do chọn đề tài.

1

1.2.Mục đích nghiên cứu

1

1.3.Đối tượng nghiên cứu

1

1.4. Phương pháp nghiên cứu

1

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1.MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài.
Dạy toán ở trường phổ thông ngoài mục đích cung cấp tri thức toán cho
học sinh,còn phải chú ý dạy cho học sinh biết phương pháp phân tích, nghiên
cứu, tìm tòi đào sâu khai thác, tìm mối liên hệ giữa các đại lượng, các biểu thức
có trong bài toán để có cách giải quyết tốt nhất. Đồng thời phát triển bài toán để
tổng quát hoá, khái quát hoá kiến thức nhằm phát huy tính sáng tạo,năng lực tư
duy,tạo điều kiện để các em lớn lên có thể nhanh chóng hội nhập với sự phát
triển của khoa học kĩ thuật.
Trong quá trình giảng dạy toán ở trường THCS Cẩm Tú-Cẩm Thủy, bản
thân tôi thấy phương trình vô tỷ là mảng kiến thức quan trọng và khó với học
sinh kể cả học sinh khá giỏi môn toán.Có nhiều dạng phương trình vô tỷ khác
nhau và cũng có nhiều phương pháp để giải phương trình vô tỷ .Tuy nhiên một
bộ phận lớn các phương trình vô tỷ được giải bằng phương pháp dùng ẩn phụ,
nhiều bài toán trong các đề thi học sinh giỏi toán các cấp phải dùng ẩn phụ để
giải,trong khi đó thời lượng học chính khóa về vấn đề này rất ít và chỉ đòi hỏi ở
mức độ đơn giản, chủ yếu là giải phương trình vô tỷ bằng các phương pháp
thông thường như: Nâng lên lũy thừa, đưa phương trình vô tỷ về phương trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối.Do đó nhiều học sinh gặp khó khăn về phương pháp
giải cũng như cách suy nghĩ dẫn đến không thích học toán .Vì vậy, tôi đã nghiên
cứu đề tài: " Hướng dẫn học sinh khá giỏi môn toán lớp 9 trường THCS Cẩm Tú
-Cẩm Thủy giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ "
1.2.Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài: " Hướng dẫn học sinh khá giỏi môn toán lớp 9
trường THCS Cẩm Tú -Cẩm Thủy giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp
đặt ẩn phụ “ giúp học sinh hiểu được:
Các phương trình có dấu hiệu nào thì dùng phương pháp đặt ẩn phụ để
giải ?
Cách tìm mối liên hệ giữa các biểu thức có trong phương trình để đặt ẩn
phụ?

đặc biệt khi các em học lên các cấp học cao hơn.Năm học 2017-2018, tôi khảo
sát 20 học sinh khá,giỏi khối 9 trường THCS Cẩm Tú-Cẩm Thủy một số bài
toán về giải phương trình vô tỷ bằng cách dùng ẩn phụ ,kết quả như sau:
Tổng
số HS
20

Loại giỏi

Loại khá

trung bình

Loại yếu

Số
lượng

%

Số
lượng

%

Số
lượng

%


phương trình.
Bước 2:Nhận dạng xem phương trình vô tỷ có thể dùng ẩn phụ để giải không
bằng cách xem xét mối liên hệ giữa các biếu thức có trong phương trình
3


Chỉ có những phương trình mà các đại lượng tham gia có một mối liên hệ
nào đó (được biểu hiên bằng các hệ thức toán học) mà nhờ mối liên lệ này đại
lượng này được biểu diễn qua đại lượng kia (hoàn toàn hoặc không hoàn toàn)
mới có khả năng dùng được ẩn phụ.
Bước 3: Đặt ẩn phụ (hoặc biến đổi để xuất hiện các đại lượng liên quan có thể đặt
ẩn phụ) và đặt điều kiện cho ẩn phụ
Có phương trình vô tỷ ẩn phụ xuất hiện ngay từ đầu song phần lớn các
phương trình ẩn phụ thường xuất hiện qua một số phép biến đổi, có những mối
liên hệ của các đại lượng tham gia trong bài toán lại "ẩn nấp" khá kín đáo đòi hỏi người
giải toán cần có cái nhìn tinh vi, linh hoạt, sáng tạo mới phát hiện ra những điều mà các
đại lượng tham gia trong bài toán "muốn nói".
Sau khi đặt ẩn phụ chuyển một bài toán từ ẩn ban đầu thành một bài toán
với ẩn phụ thì một việc quan trọng không thể quên đó là: Tìm điều kiện cho ẩn
phụ-đây chính là miền xác định của bài toán.Việc tìm điều kiện cho ẩn phụ phải
linh hoạt,tùy từng ẩn phụ,tùy từng bài toán mà việc chuyển điều kiện cho ẩn phụ
phải hợp lí và chính xác.
Bước 4: Giải phương trình để tìm ẩn phụ, sau đó tìm ẩn ban đầu rồi kết luận
nghiệm
Khi đã đặt ẩn phụ và đưa phương trình về các dạng phương trình quen thuộc thì
việc giải phương trình để tìm ẩn phụ rồi tìm ẩn ban đầu trở nên rất dễ dàng song khi kết
luận nghiệm cần lưu ý đối chiếu với điều kiện của ẩn phụ và điều kiện của phương trình
2.3.2.Một số dạng phương trình vô tỷ giải bằng cách đặt ẩn phụ
Có nhiều dạng phương trình vô tỷ giải được bằng cách đặt ẩn phụ và cũng có
nhiều cách đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ nhưng với học sinh trung học cơ sở đề

3

hoặc y= − ( loại)
x 2 + 7 x + 7 =1 ⇔ x=-1 hoặc x=-6. Cả hai nghiệm đều thõa mãn

-Với y=1 ta có:
ĐKXĐ
-Kết luận nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình: x2- =3 (2)
(Trích đề thi học sinh giỏi cấp trường năm 2016)
Giải: ĐKXĐ: x≤ -1 hoặc x≥ 1
(2) ⇔ x2-1- -2 =0
Đặt

=t (t≥ 0) ta được phương trình:

t2-t-2=0

⇔ t=2 hoặc t =-1(loại)

Với t=2 ta có =2
⇔ x=- hoặc x=- (cả hai giá trị này thõa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiêm của phương trình đã cho là S=
Song cũng có phương trình ẩn phụ chỉ xuất hiện sau một số bước biến đổi đòi
hỏi người học phải linh hoạt trong việc xem xét mối liên hệ giữa các biểu thức.
Ví dụ 3: Giải phương trình: + =2

(3)

+ y2 = 2
y
⇔ y3 − 2 y + 1 = 0
y =1
⇔
 y = −1 ± 5

2

Chỉ có y=1 là thõa mãn điều kiện y ≥ 1
-Tìm x bằng cách giải phương trình:=1 ta được x=1 ( thõa mãn điều kiên)
-Kết luận nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình: 10 x3 + 8 =3( x 2 − x + 6 )

(4)

(Trích đề thi học sinh giỏi cấp huyện)
Hướng dẫn học sinh :
-Suy nghĩ ta thấy nếu đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế của phương trình ta sẽ được
phương trình bậc 4, việc giải phương trình bậc 4 không dễ dàng nếu phương trình thu
được là các dạng phương trình không “mẫu mực”.
-Tìm mối liên hệ giữa các biểu thức có trong phương trình ta thấy :
x 3 + 8 = ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)
x 2 − x + 6 = ( x + 2) + ( x 2 − 2 x + 4)

Do đó ta biến đổi phương trình (4) thành :
10 x + 2 x 2 − 2 x + 4 = 3 ( x + 2) + ( x 2 − 2 x + 4) 
Vì x2-2x+4 ≥ 0 với mọi x nên chia cả hai vế của phương trình cho x 2-2x+4 ta
được:
10

x − 2x + 4
2

x+2
(y ≥ 0)
x − 2x + 4

Đặt y=

2

ta được phương trình ẩn y: 10y=3(y2+1) ⇔ 3y2-10y+3=0
⇔ y=3 hoặc y=

*Với y=3 ta có:
*Với y=

1
ta có:
3

1
3

x+2
=3 ⇔ 9x2-19x+34=0 (phương trình vô nghiệm)
x − 2x + 4
2

1

<=> = 2(x-1)+x2+x+1
(<=> = 2(x-1)+x2+x+1
<=> =2 +1
7


Đặt=t (t≥ 0) ta được phương trình bậc hai ẩn t: 2t 2-t+1=0 Phương trình này vô
nghiêm nên phương trình đã cho vô nghiệm.
2.3.2.2.Dạng 2: Dùng ẩn phụ chuyển bài toán giải một phương trình ẩn x
thành một hệ nhiều phương trình nhiều ẩn.
Ở cách làm này ta lại đi chuyển từ bài toán một ẩn thành bài toán nhiều
ẩn, từ bài toán một phương trình thành bài toán nhiều phương trình, có vẻ như ta
lại đang làm phức tạp bài toán? Không. Thực chất ta đang chuyển một bài toán
khó thành một bài toán dễ hơn. Để làm được điều này ta phải tìm được mối liên
hệ giữa các biểu thức có trong phương trình . Thông thường sau khi đặt ẩn phụ
từ phương trình ban đầu ta thu được một phương trình của hệ, còn từ mối liên hệ
giữa các ẩn ta thu được một phương trình khác của hệ.
Ví dụ 6: Giải phương trình: 3 x − 2 + x + 1 =3

(6)

(Nâng cao và phát triển toán 9- tập 1)
Hướng dẫn học sinh:
-ĐKXĐ: x ≥ -1
-Quan sát ta thấy dạng phương trình vô tỷ này khó giải được bằng các phương
pháp thông thường.
-Xem xét mối liên hệ giữa các biểu thức có trong phương trình ta thấy:
-( 3 x − 2 )3+( x + 1 )2=3
Do đó: Đặt a= 3 x − 2 và b= x + 1 (b ≥ 0) ta được
a + b = 3


Mà

( x 2 − 3 x + 6 )2= ( x 2 − 3x + 6)
8


( x 2 − 3 x + 3 )2= ( x 2 − 3x + 3)
x 2 − 3 x + 3 =a (a ≥ 0) và

Do đó: Đặt

x 2 − 3x + 6 =b (b ≥ 0) ta được hệ phương

a + b = 3

trình: 

(7.1)

2
2
b − a = 3

-Giải hệ phương trình (7.1) ta tìm được a=1 và b=2
2

x =1
 x − 3x + 3 = 1
⇔

x − 5 =b ta có hệ phương trình:  a − b a 3 − b3
=

2
a + b

-Giải hệ phương trình trên ta được a=b hoặc a.b=0
3 7 − x = 3 x +5

-Tìm x bằng cách giải: 

 ( 3 7 − x )( 3 x + 5) = 0

ta được x=5; x=6 hoặc x=7

Ví dụ 9: Giải phương trình: 7 x + 4 - 3x − 5 = 8 x + 1 - 2 x − 2 (9)
Hướng dẫn :
-ĐKXĐ: x ≥

5
3

(9) ⇔ 7 x + 4 + 2 x − 2 = 8 x + 1 + 3x − 5

(9.1)

-Suy nghĩ ta thấy nếu bình phương hai vế của phương trình (9.1) ta vẫn được
phương trình vô tỷ:
9x+2+2 7 x + 4 . 2 x − 2 =11x-4+2 8 x + 1 . 3x − 5 Phương
trình này phức tạp hơn phương trình ban đầu.


a + b = c + d
⇔
(a + b)(a − b) = (c + d )(c − d )

( Vì a ≥ 0; b ≥ 0; a, b không đồng thời bằng 0 nên a+b>0)

7 x + 4 = 8 x + 1 ⇔ x=3 ( thõa mãn điều kiện )

Vậy nghiêm duy nhất của phương trình là x=3
Ví dụ 10: Giải phương trình: ( x + 5 - x + 2 )(1+ x 2 + 7 x + 10 )=3 (10)
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình)
Hướng dẫn:
-ĐKXĐ: x ≥ -2
-Thử các phương pháp thông thường không giải được phương trình này. Song ta
lại thấy giữa các biểu thức của phương trình có mối liên hệ đặc biết, đó là:
(x+5)(x+2)=x2+7x+10
( x + 5 )2-( x + 2 )2=3
Do đó ta đặt

x + 5 =a (a ≥ 0) ;

x + 2 =b (b ≥ 0) ta được hệ phương trình:

(a − b)(1 + ab) = 3
⇔ (a − b)(1 + ab) = a 2 − b 2
 2 2
a − b = 3
⇔ (a-b)(1-a)(1-b)=0
⇔ a=b hoặc a=1 hoặc b=1

(Trích đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Thái Bình)
Hướng dẫn học sinh:
-ĐKXĐ: x ∈ R
-Ta thấy sử dụng các phương pháp thông thường khó để giải được bài toán .
-Quan sát các biếu thức ta thử biến đổi:
(11) ⇔ 2(x2+x+2)-3=(2x+3)( x 2 + x + 2 -1)

(11.1)

Xuất hiện ẩn phụ t= x 2 + x + 2 ( t ≥ 0)
Khi đó (11.1) ⇔ 2t2-3=(2x+3)(t-1)
⇔ 2t2-(2x+3)t+2x=0 .
∆ = (2 x + 3) 2 − 4.2.2 x
= 4 x2 − 4x + 9

Vì ∆ không viết được dưới dạng bình phương của một biếu thức nên việc tìm t
theo x khó khăn. Do đó ta phải tìm cách biến đổi khác:
Ta nhận thấy khi đặt t= x 2 + x + 2 ( t ≥ 0) thì t2= x2+x+2 ⇔ x2=t2-x-2
nên ta biến đổi;
(11) ⇔ x2+2x+1+x2=(2x+3)( x 2 + x + 2 -1)
⇔ x2+2x+1+ t2-x-2=(2x+3)(t-1)
⇔ t2-(2x+3)t+ x2+2x+1-x-2+2x+3=0
⇔ t2-(2x+3)t+ x2+3x+2=0. Đây là phương trình ẩn t nhưng vẫn chứa x
∆ = (2 x + 3) 2 − 4( x 2 + 3x + 2) = 1 >0 nên phương trình có 2 nghiệm:
−2

 x2 + x + x = x + 2
x=
t = x + 2


t = 1 − x + x + 1 = 2

Phương trình (10.1) có 2 nghiệm: 
t = 1 − x − ( x + 1) = −2 x
•

Với t=2 ta có x 2 + 2 x − 1 =2 ⇔ x=-1+ 6 hoặc x=-1- 6

•
Với t=-2x ta có
nghiệm

x 2 + 2 x − 1 =-2x

( với -2x ≥ 0) .Phương trình này vô

Vậy phươmg trình đã cho có 2 nghiệm là x=-1+ 6 hoặc x=-1- 6
Ví dụ 13: Giải phương trình : 2x2+2x+1=(4x-1)

x2 + 1

(13)

Hướng dẫn:
-ĐKXĐ: x ∈ R
-Đặt t= x 2 + 1 (t ≥ 1) ta được t2=x2+1.
-Để làm xuất hiện ẩn t2=x2+1 ta biến đổi phương trình (11) như sau:
(13) ⇔ 2(x2+1)+2x-1=(4x-1)

x2 + 1

⇔ xt2+12t-36=0

(14.1)
12


Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (12.1) nên x ≠ 0
Ta có ∆ ’= 62+x.36=36(1+x)=36t2>0 ( vì t>0)
Phương trình có 2 nghiệm t=
*Với t=

−6 + 6t
−6 − 6t
hoặc t=
x
x

−6 + 6t
ta có tx-6t=-6 ⇔ (x-6)t=-6
x

(14.2)

-Nếu x=6 ( không thõa mãn (14) )
-Nếu x ≠ 6 thì từ (14.2) suy ra t=

−6
ta có:
x−6



2− x
x+4
−2
+1 = 0
x+4
2− x

3.3x2+3x-2-2 x 2 + x − 1 =2
4. 3 3x 2 − x + 2007 − 3 3 x 2 − 7 x + 2008 − 3 6 x − 2009 = 3 2008
5. x + 3 + 6 − x − − x 2 + 3 x + 18 = 3
6. 3 ( x + 1) 2 + 3 ( x − 1) 2 + 3 x 2 − 1 = 1
7.

2+ x
2 + 2+ x

+

2− x
2 − 2− x

= 2

8.x2+x+12 x + 1 =36
9.3x+2 1 − x + 1 − x 2 =4 1 + x − 1
10. x 2 − 3x − 2 − x 2 − x + 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 − 2 x 2 − 1
11. - =1
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.


%

Số
lượng

%

20

8

40.0%

7

35.0%

5

25.0%

0

0

Sau khi áp dụng đề tài phần lớn các em đã biết nhận dạng, phát hiện ẩn
phụ, biết xem xét mối liên hệ giữa các biểu thức có trong phương trình vô tỷ đã
cho để biến đổi làm xuất hiện ẩn phụ rồi đặt ẩn phụ giúp giải bài toán một cách
dễ dàng. Các em cũng đã trình bày bài toán chặt chẽ, rõ ràng. Một số em đã nhìn


Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Nguyễn Thị Hiền

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Sách giáo khoa toán 9: Duy thuận, Trần Kiều
2. Nâng cao và phát triển toán 9: Vũ Hữu Bình
3. Toán nâng cao và các chuyên đề đại số: Ngọc Đạm
15


4. 1001 Bài toán sơ cấp: Nguyễn Văn Vình - Nguyễn Đức Đồng
5.Dùng ẩn phụ để giải toán :Nguyễn Thái Hòe
6.Lời giải đề thi học sinh giỏi toán 9: Trần Tiến Tự

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGHÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH
VÀ CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

16


Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hiền
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường trung học cơ sở Cẩm Tú, Cẩm
Thủy

lớp 9 trường THCS
Cẩm Tú dùng ẩn phụ
để giải phương trình
bậc cao và hệ phương
trình .

Ngành giáo
dục huyện
Cẩm Thủy

A

2013-2014

3

Hướng dẫn học sinh
lớp 9 trường THCS
Cẩm Tú dùng ẩn phụ
để giải phương trình
bậc cao và hệ phương
trình .

Ngành giáo
dục tỉnh
Thanh Hóa

C

2013-2014


A

2017-2018

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH CẤP TRƯỜNG
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
17


……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

18


ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH CẤP HUYỆN

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM THỦY

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 9
TRƯỜNG THCS CẨM TÚ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường Trung học cở Cẩm Tú
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018

21