Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đỗ Tùng đã nhiệt tình
hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là
thầy cô giáo trong tổ Bộ môn Phương pháp dạy học đã tham gia giảng dạy
trong suốt thời gian tôi học tập và hoàn thành khóa luận.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường
THPT Phương Xá, Cẩm Khê đã nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình tôi thực tập tại trường và tiến hành thử nghiệm sư phạm.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè – những người
luôn luôn động viên, cổ vũ tôi để tôi hoàn thành tốt khóa luận này.
Tuy đã rất cố gắng nhưng khóa luận chắc chắn không tránh khỏi những
thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Việt Trì, ngày 20 tháng 04 năm 2016
Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Kim Mai

MỤC LỤC



BẢNG CỤM TỪ VIẾT TẮT DÙNG TRONG KHÓA LUẬN
Viết tắt
PH&GQVĐ
GV
HS
PPDH
SGK
Vtcp

Trong những năm gần đây, trước những thách thức mới của yêu cầu
phát triển xã hội, đòi hỏi nhà trường phải đào tạo ra những con người có năng
lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong học tập cũng như trong thực tiễn cuộc
sống. Hình thành và bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho
HS trở thành yêu cầu bắt buộc đối với các nhà trường để người học có khả
năng tìm tòi, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, độc lập và sáng tạo
trong quá trình học tập.
Dạy học PH&GQVĐ là một trong những PPDH tích cực đã và đang
được quan tâm và áp dụng trong giảng dạy ở các trường phổ thông. Vận
dụng phương pháp này trong dạy học cho các môn học nói chung và môn
toán nói riêng ở các trường phổ thông hiện nay với mục đích tập dượt cho
HS biết phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong học tập,
trong cuộc sống của cá nhân, gia đình và cộng đồng. Từ đó HS có được một
năng lực thích ứng với một xã hội đang phát triển nhanh, cạnh tranh gay gắt
như hiện nay.
Trong chương trình môn Toán ở phổ thông, nội dung Hình học, thực sự
là một thử thách đối với phần lớn HS, đặc biệt là phần Hình học không gian.
Phương pháp tọa độ trong không gian là một trong những công cụ giải toán
không gian quan trọng nó cho phép học sinh tiếp cận những kiến thức hình
học phổ thông có hiệu quả, tổng quát, đôi khi không cần đến vẽ hình. Nó có
tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lực
phân tích, tổng hợp... Hơn nữa, chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không
gian” có vai trò quan trọng trong hình thành kiến thức toán phổ thông cho HS.
Tuy nhiên, chủ đề này có tính trừu tượng cao, lượng kiến thức và kĩ năng
nhiều vì phải tiếp thu, kế thừa kiến thức hình học phẳng, hình học không gian
mà các em đã được học trước đó.


5




6

Hệ thống hóa, làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận của năng lực phát hiện
giải quyết vấn đề trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Đưa ra năng lực thành
tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh. Nghiên cứu nội
dung chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” trong chương trình Hình
học lớp 12
-

Đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực phát hiện giải quyết vấn
đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không
gian” hình học 12.
Dựa vào đặc điểm và yêu cầu dạy học của chủ đề “Phương pháp tọa độ
trong không gian” để định hướng và đề xuất các biện pháp sư phạm. Tiếp đó,
thực hành và làm rõ một số nội dung trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa
độ trong không gian” nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề cho học sinh.

-

Tổ chức thử nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các
biện pháp đã đề xuất.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu các tài liệu về lý luận và dạy học bộ môn toán như: giáo
trình PPDH môn Toán, Các văn kiện Nghị quyết, chỉ thị của Đảng và Nhà
nước để xác định phương hướng của đề tài.
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài như: SGK hình học


•

Phạm vi: Chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian” Hình học 12.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài đưa ra các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề của học sinh, các cấp độ của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
và xây dựng được 3 biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng cho học
sinh năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.
Đề tài bước đầu kiểm nghiệm được tính khả thi bằng thử nghiệm sư
phạm ba biện pháp đã xây dựng.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
khóa luận được trình bày trong 3 chương:


8

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng năng lực phát hiện và
giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa
độ trong không gian” Hình học 12
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm.


9

NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

tưởng tượng,... Do đó, khi phân tích hoạt động trí tuệ của HS trong học tập
môn Toán ta cần quan tâm đến hai vấn đề sau đây:


10

a) Các thao tác tư duy cơ bản học sinh thường vận dụng trong học Toán
Phân tích – tổng hợp: Phân tích là sự phân chia đối tượng nhận thức
thành các bộ phận, thành phần, thuộc tính, quan hệ khác nhau để nhận thức nó
sâu sắc hơn. Còn tổng hợp là sự hợp nhất các bộ phận, thành phần, thuộc tính,
quan hệ của đối tượng nhận thức thành một chỉnh thể. Phân tích và tổng hợp
là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng là hai mặt của quá trình thống
nhất.
Trừu tượng hóa – khái quát hóa: Trừu tượng hóa là sự gạt bỏ những
mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ không cần thiết mà chỉ giữ
lại những yếu tố cần thiết để tư duy. Còn khái quát hóa là sự hợp nhất nhiều
đối tượng khác nhau có chung những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ
nhất định thành một loại, một nhóm.Trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái
quát hóa.
So sánh: So sánh là cơ sở của tư duy và mọi sự hiểu biết. Nó là sự xác
định thể hiện rõ sự bằng nhau hay không bằng nhau, sự giống nhau hay khác
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất giữa các sự vật, hiện tượng.
Các thao tác tư duy cơ bản như: Phân tích – tổng hợp, Trừu tượng hóa –
khái quát hóa, so sánh đều có mối quan hệ mật thiết với nhau, chúng hỗ trợ,
bổ sung thống nhất cho nhau theo một hướng nhất định và phụ thuộc vào
chiến lược tư duy hay do nhiệm vụ tư duy quy định. Vì vậy, trong quá trình
dạy học GV cần quan tâm rèn luyện cho HS các thao tác tư duy này.
Ví dụ 1.1: Tìm công thức tính
Ta phân tích làm biến đổi
ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ

ta được công thức. Thao tác phân tích một lần

nữa diễn ra khi ta tách
đổi vế phải ta được

sin 2 x = 1 − cos 2 x

cos 2 x = 1 − 2sin 2 x

cosx − 4cosxsin 2 x

ta được

cos3x = 4cos3 x − 3cos x

và

sin 2 x = 2sinxcosx

. Từ đó biến

. Tiếp tục thao tác phân tích khi tách

4cos3 x − 3cos x

là sự tổng hợp dẫn đến kết quả

.

Có thể minh họa ví dụ trên bằng sơ đồ sau:

4cos3 x − 3cosx


12

Tổng hợp

Ví dụ 1.2: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có ba dạng là:
Phương trình tổng quát:

Phương trình tham số:

ax + by + c = 0

 x = x0 + at

 y = y0 + bt

Phương trình chính tắc:

với

x − x0 y − y0
=
a
b

với

a2 + b2 ≠ 0

a 2 + b2 + c 2 ≠ 0

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

với

a 2 + b2 + c 2 ≠ 0

.

b) Hoạt động trí tuệ trong giải toán của học sinh
Dự đoán: Dự đoán giữ vai trò chủ đạo, trung tâm của hoạt động trí tuệ
trong giải toán. Có nghĩa là ngay sau khi đọc kĩ đề bài toán thì người giải phải
cố gắng dự đoán để tìm kiếm lời giải cho bài toán đó. Dự đoán có thể xuất
hiện xuyên suốt trong quá trình giải toán, không chỉ dự đoán để tìm ra cách
giải bài toán, dự đoán kết quả bài toán mà dự đoán có thể làm thay đổi bản
chất bài toán.


13

Ví dụ 1.3: Cho

A ( 1;2;3)



.

Cũng có thể dự đoán cách giải của bài toán như sau: Vì

A B C D
, , ,

nằm trên mặt cầu nên khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến 4 điểm

D

A B C
, , ,

2
2
2
2
IA2 = IB 2 IB = IC IC = ID IA2 = ID 2
là bằng nhau, tức
,
,
,
. Khi đó chỉ

cần giải hệ phương trình là có thể tìm được tâm và bán kính của mặt cầu.
Tổ chức và huy động kiến thức: Huy động kiến thức là tách ra từ trí nhớ
các yếu tố có liên quan đến bài toán. Còn tổ chức kiến thức là kết nối các yếu
tố có liên quan đến bài toán lại với nhau.

Năng lực là khả năng huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các
thuộc tính tâm lí cá nhân để thực hiện thành công một công việc trong một bối
cảnh cụ thể. Năng lực được chia thành ba mức độ khác nhau là: năng lực, tài
năng và thiên tài. Khác với tài năng biểu thị sự hoàn thành một cách sáng tạo
một hoạt động nào đó hay thiên tài biểu thị ở mức hoàn chỉnh nhất của những
vĩ nhân trong lịch sử nhân loại thì năng lực là mức độ thấp nhất so với tài
năng và thiên tài. Năng lực là một mức độ nhất định của khả năng con người,
biểu thị khả năng hoàn thành, đạt kết quả của một hoạt động nào đó.
Có thể chia năng lực thành hai loại là năng lực chung và năng lực riêng
biệt. Hai loại năng lực này luôn bổ sung, hỗ trợ cho nhau. Năng lực chung là
năng lực cần thiết để con người có thể hoàn thành những hoạt động của mình
một cách hiệu quả dựa vào quan sát, tư duy, tưởng tượng,... Còn năng lực
riêng biệt hay còn gọi là năng lực chuyên biệt hay chuyên môn là sự thể hiện
một cách độc đáo các phẩm chất riêng biệt, đặc biệt riêng của mỗi cá nhân, nó
mang tính chuyên môn nhằm đáp ứng yêu cầu hoạt động của con người đạt
kết quả cao như năng lực toán học, năng lực âm nhạc, năng lực thể dục thể
thao,...


15

Cùng với năng lực thì tri thức, kĩ năng và kĩ xảo là rất cần thiết cho
việc thực hiện một hoạt động nào đó đạt kết quả. Năng lực chính là điều kiện
đủ để có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo trong một lĩnh vực nào đó. Nhưng tri thức, kĩ
năng và kĩ xảo không đồng nhất với năng lực mà có sự thống nhất biện
chứng, có mối quan hệ mật thiết với năng lực. Ngược lại, năng lực giúp cho
việc tiếp thu tri thức, hình thành kĩ năng kĩ xảo tương ứng với năng lực đó
được thực hiện dễ dàng hơn.
Một trong những vấn đề cơ bản của chiến lược giáo dục nước ta hiện
nay là vấn đề phát hiện và bồi dưỡng năng lực cho người học nhằm nâng cao

1.2.2. Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong toán học
a) Năng lực phát hiện vấn đề
Vấn đề: Là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một nhóm để giải
quyết, khi đối mặt với tình huống này họ không thấy được ngay con đường
hoặc các phương pháp để có được lời giải.
Để vận dụng một cách có hiệu quả khái niệm vấn đề trong dạy học thì
người ta thường hiểu khái niệm này như sau: Một vấn đề được biểu thị bởi
một hệ thống những câu hỏi và mệnh đề thỏa mãn hai điều kiện: Một là HS
chưa tự mình trả lời được câu hỏi. Hai là HS chưa được học các quy tắc có
tính chất thuật toán hay quy trình tự thuật toán để trả lời câu hỏi đặt ra. Nếu
hiểu vấn đề theo cách tiếp cận này thì có thể phân biệt rõ vấn đề với bài tập.
Đối với một bài tập được đưa ra, nếu chỉ yêu cầu HS trực tiếp vận dụng các
quy tắc có tính chất thuật toán hay quy trình tựa thuật toán để giải thì bài tập
đó không phải là những vấn đề.
Ví dụ 1.4: Sau khi HS học xong hằng đẳng thức

thì việc khai triển bài toán

dụng hằng đẳng thức

bài toán

( a − b + c)

( x − 4)

( a − b)

( a − b)



2

b−c

thành

 a − ( b − c ) 

2

, sau đó áp dụng

ta được:

= a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2bc + 2ac
.

Phát hiện vấn đề: Là quá trình tìm ra cái mới mà người nghiên cứu
chưa biết và có nhu cầu muốn biết. Có thể hiểu phát hiện vấn đề gần giống
như tình huống gợi vấn đề. Tức một tình huống gợi ra cho HS những khó
khăn mà họ cảm thấy cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải
ngay lập tức mà phải trải qua một quá trình suy nghĩ tích cực, hoạt động để
biến đổi đối tượng hoạt động hay điều chỉnh hệ thống kiến thức sẵn có nhằm
thích nghi với điều kiện hành động mới.
Ví dụ 1.5: GV tạo tình huống gợi vấn đề cho HS phát hiện định lí côsin
trong tam giác như sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A như
hình vẽ. Để tính độ dài cạnh BC ta
dựa vào công thức nào?

BC

độ dài của vectơ

uuur
AB

bằng tổng bình phương độ dài của véctơ

uuur
AC

và

trừ đi hai lần tích của chúng với côsin góc A xen giữa, tức là:

uuur2 uuur uuu
r 2 uuur 2 uuu
r2
uuuruuu
r
BC = AC − AB = AC + AB − 2 AC AB

(

)

uuur uuu
r uuur uuu
r

).

AC = b

,

AB = c

ta được định lí côsin trong tam giác

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A

.

Qua phân tích hai khái niệm cơ bản là vấn đề và phát hiện vấn đề, nhận
thấy để phát triển năng lực phát hiện vấn đề thì đòi hỏi HS phải biết quan sát,
phân tích, so sánh, suy luận các kiến thức toán học; suy xét vấn đề cần giải
quyết theo nhiều hướng khác nhau trên cơ sở những tri thức, kinh nghiệm của
cá nhân để phát hiện các mâu thuẫn, các điểm chưa hoàn chỉnh của vấn đề đã
đặt ra.
b) Năng lực giải quyết vấn đề


19

Giải quyết vấn đề là một quá trình mà cá nhân vận dụng kiến thức, kĩ
năng và kĩ xảo đã được học để đáp ứng yêu cầu của những tình huống không
quen thuộc.
GQVĐ bao gồm ba bước chính sau đây:
Bước 1: Tìm hiểu vấn đề


1
= 1 + tan 2 x
2
cos x

;


20

sin 2 x =
biết sử dụng công thức hạ bậc:

1 − cos 2 x
2

tìm nghiệm của phương trình bậc nhất có dạng:

cos 2 x =
,

1 + cos 2 x
2

a sin 2 x + bcos 2 x = c

; biết

.

2

. Thay trực tiếp

vào phương trình (1) xem nó có phải là nghiệm của

phương trình đã cho hay không?

Xét trường hợp
trình (1) cho

cos 2 x

cosx ≠ 0

x≠
, tức là

π
+ kπ ,k ∈ ¢
2

. Chia hai vế phương

ta được phương trình mới là gì? Phương trình mới có ở

dạng quen thuộc không? Nếu quen thuộc thì giải phương trình đó như thế
nào?
+ Phương pháp đưa về phương trình bậc nhất đối với


cosx

về một hàm số lượng giác là

. Nếu phương trình chứa các biểu thức bậc cao, ta có thể nghĩ ngay đến

hạ bậc các biểu thức đó.
Trong dạy học cần rèn luyện cho HS kĩ năng GQVĐ, vì kĩ năng GQVĐ
vừa là công cụ nhận thức vừa là mục tiêu để dạy cho HS phương pháp tự học.
1.2.3. Mối quan hệ giữa năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề với năng
lực học toán của học sinh
Từ những công trình nghiên cứu có liên quan tới vấn đề năng lực trong
học Toán và năng lực giải quyết vấn đề, có thể thấy rằng: trong thực tiễn,
năng lực giải quyết vấn đề có những mối quan hệ khác như: có mối quan hệ
với năng lực học Toán, năng lực giải Toán,… chúng đan xen, tương hỗ, gắn
bó với nhau trong quá trình nhận thức nhiều mặt của HS:
+ Nếu hiểu mỗi vấn đề trong Toán học của HS theo nghĩa hẹp (là khái
niệm, định lí, bài toán,…) thì năng lực giải quyết vấn đề là một trong những
thành phần quan trọng hình thành nên năng lực học Toán. Trong Toán học,
năng lực giải quyết vấn đề có thể xem xét, nghiên cứu theo đặc thù từng phân
môn: Đại số, Hình học,… Chúng có những biểu hiện riêng gắn với tính chất
các hoạt động tương ứng ở mỗi phân môn, đồng thời có mối liên hệ chặt chẽ
tương hỗ lẫn nhau, tạo nên năng lực giải quyết vấn đề và năng lực học Toán
thông qua quá trình dạy học Toán (yếu tố giáo dục). Mặt khác, nếu xét theo
các tình huống dạy học điển hình của môn Toán thì có năng lực học khái
niệm, năng lực suy luận chứng minh định lí, giải toán… trong năng lực học
Toán nói chung. Trong đó năng lực giải quyết vấn đề đều có mặt và đóng vai
trò quan trọng ở mỗi năng lực thành phần (nhất là năng lực giải Toán bởi tính



- HS phải được trang bị tốt và kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.


23

- GV cần tổ chức cho HS tham gia nhiều vào các hoạt động khác nhau
để tạo điều kiện cho các em độc lập trong việc PH và GQVĐ toán học.
1.2.4. Các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
của học sinh
Mỗi năng lực đều có kết cấu riêng gồm nhiều thuộc tính, trong đó các
thuộc tính không chỉ tồn tại bên cạnh nhau một cách đơn giản, mà chúng liên
hệ với nhau một cách hữu cơ, chúng tác động lẫn nhau trong một hệ thống
nhất định. Đặc biệt điều có ý nghĩa quyết định đối với mỗi năng lực không
phải bản thân từng thuộc tính riêng lẻ mà sự kết hợp chúng theo một cấu trúc
nhất định, và năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
của học sinh có thể phân chia thành các thành tố:
a) Năng lực nhận ra mâu thuẫn trong các tình huống để từ đó thấy được nhu
cầu giải quyết vấn đề
Theo Nguyễn Bá Kim [4], thì hoạt động nhận thức một vấn đề Toán
học nói chung bao gồm hai giai đoạn chính: hình thành, xây dựng và củng cố,
vận dụng. Mặt tâm lí của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong hoạt
động này là hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết nên nếu sự hứng thú không
được hình thành thì bản thân sự lĩnh hội kiến thức sẽ diễn ra thấp hơn nhiều
so với tiềm năng sẵn có của HS.
Mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức với trình độ tri thức của HS đã là
hạt nhân của tình huống có vấn đề và là động lực của hoạt động tìm tòi trong
học tập. Động cơ đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung Toán học,
động cơ này lại được cụ thể hoá thành từng nhiệm vụ học tập - là từng đơn vị
(tế bào) của hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề. Để giải quyết nhiệm vụ
đó, nhất thiết HS phải tiến hành một loạt các hành động như huy động và tổ

những hướng giải quyết khác biệt nữa, mà nếu thay đổi đi một dữ kiện nào đó
thì hướng giải khác biệt đó không thực hiện được.
Trong quá trình học tập hình học ở trường phổ thông, HS có rất nhiều
cơ hội để thể hiện năng lực xem xét các sự vật, hiện tượng một cách đầy đủ,
trong tất cả các mặt, các mối quan hệ (bên trong và bên ngoài, trực tiếp và
gián tiếp) trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ
của nó với các sự vật khác, đồng thời cũng tránh được những sai lầm của cách
xem xét chủ quan, phiến diện. Qua đó, thể hiện suy nghĩ một cách sáng tạo


25

trong học Toán, tìm được nhiều hướng hay để giải quyết một vấn đề, tìm được
cách chứng minh tối ưu cho một định lí hay mệnh đề Toán học, hay phát triển
kết quả lên một nấc thang mới, điều mà xã hội luôn mong muốn.
c) Năng lực huy động kết nối kiến thức đã học từ đó biết cách lập luận để tìm
lời giải bài toán
Học sinh có “vốn” kiến thức, kinh nghiệm đầy đủ, các em biết kết nối
“vốn” đã có và tri thức cần tìm; từ đó dùng suy luận, biến đổi Toán học phát
hiện giải pháp GQVĐ. Giải pháp có thể quyết định trực tiếp vấn đề đặt ra,
hoặc thông qua GQVĐ trung gian ( Bài toán phụ) .
Ví dụ 1.7:

2cos 2 x + 2 − cos x + cos x(2 − cos3 x) = 3

Tuy phương trình lượng giác chỉ có một hàm số cosin, một ẩn x nhưng
đây là bài toán khó với nhiều HS lớp 11 Trung học phổ thông vì tính chất
phức tạp của nó. HS nào biết kết nối tri thức giải PT lượng giác với các kiến
thức, kinh nghiệm của các em về giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng
thức,...đã học các em sẽ phát hiện được cách GQVĐ: đặt ẩn phụ hoặc dùng