TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
KHOA TOÁN
=================
BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
ỨNG DỤNG SUY LUẬN QUY NẠP TRONG
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
Người thực hiện : Nguyễn Xuân Nam
Lớp : Toán K4 – Bắc Giang
Giáo viên hướng dẫn : Th.S NGUYỄN VĂN HÀ
PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
I) SUY LUẬN TOÁN HỌC
1) Suy luận là gì?
Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra
mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của suy luận. Mệnh đề
mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả.
Ký hiệu: X
1
, X
2
, ..., X
n

⇒
Y
Nếu X
1
, X
2,
..., X
n


Y X
⇒
⇒

- Quy tắc hoán vị tiền đề:
( )
( )
X Y Z
Y X Z
⇒ ⇒
⇒ ⇒
- Quy tắc ghép tiền đề:
( )
X Y Z
X Y Z
⇒ ⇒
∧ ⇒
-
X Y Z
X Y
⇒ ∧
⇒

X Y Z
X Z
⇒ ∧
⇒
3) Suy luận quy nạp:
Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ
cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy luận quy nạp là không

1 ,
A
2 ,
A
3 ,
A
4 ,
A
5
... A
n
là 1 số phần tử của A
Kết luận: Mọi phần tử của A là B
b) Phép tương tự:
Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để
rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tương đó. Kết
luận của phép tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và
nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d
B có thuộc tính a, b, c
Kết luận : B có thuộc tính d .
c) Phép khái quát hóa:
Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào đó có
chứa đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là
nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
c) Phép đặc biệt hóa:
Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn
chứa trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng,
trừ các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng,
có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình
bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông.

2) Phương pháp chứng minh phân tích đi lên:
Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng
minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã
cho trước hoặc đã biết nào đó.
Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận.
Sơ đồ: X
⇐
Y
⇐
...
⇐
B
⇐
A
Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lôgíc của X ; ..... ;
A là tiền đề lôgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước;
Vai trò và ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì
mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng
minh, hay mệnh đề kết luận.
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rát dài dòng vì
thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác
nhau làm tiền đề logic của nó.
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi
trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán
ở trường phổ thông.
Ví dụ: Bài toán

phải thuộc AO. Ta gọi I là giao của AO và đường
tròn tâm O. Ta dự đoán rằng I là điểm cố định
cần tìm.
Chứng minh: Gọi K là trung điểm của AH.
Ta dễ dàng chứng minh được rằng OMHK là
hình bình hành.
Suy ra OK // MH. Mặt khác dễ thấy OK // HI ( vì OK là đường trung bình của
∆HAI ). Do đó suy ra H, M, I thẳng hàng.
Ví dụ 2: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó:
'' Cho ∆ABC vuông cân tại A. Điểm M chạy trên BC.Từ M kẻ ME, MF lần
lượt song song với AB, AC. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M vuông góc
với EF luôn đi qua một điểm cố định ''.
Hd:
- Dự đoán :
Khi M ≡ B : EF trùng với AB. Suy ra d trùng
với đường thẳng vuông góc với AB tại B.
Khi M ≡ C : EF trùng với AC. Suy ra d trùng
với đường thẳng vuông góc với AB tại B.
Vậy ta có thể dự đoán rằng: Điểm cố định
phải tìm là giao điểm D của hai đường thẳng này.
Dễ thấy giao điểm D là điểm đối xứng với A qua
BC, từ đó ta thấy ngay tứ giác ACDB là hình vuông.
- Chứng minh: Ta chứng minh rằng đường thẳng d đi qua điểm D.
Kéo dài EM cắt CD tại E', kéo dài FM cắt BD tại F'. Dễ thấy tứ giác MFCE' và
MEBF' là 2 hình vuông và tứ giác ME'DF' là hình chữ nhật.
Mà theo kết quả của 1 bài toán đã biết: Với 2 hình vuông MFCE' và MBEF'
dựng trên 2 cạnh của ∆MEF, khi d vuông góc với EF thì d sẽ đi qua trung điểm
của E'F'.
Mặt khác ta đã biết ME'DF' lại là hình chữ nhật, do đó MD đi qua trung điểm
của E'F'.

1 điểm cố định."
Hd:
Khi M ≡ B: M
1
M
2
trùng với
đường cao hạ từ B xuống AC.
Khi M ≡ C: M
1
M
2
trùng với
đường cao hạ từ C xuống AB.
Vậy dự đoán điểm cố định
phải tìm là trực tâm H của ∆ABC.
Chứng minh:
Ta đã biết 1 tính chất hình học là lấy đối xứng trực tâm H qua 3 cạnh của
tam giác được 3 điểm H
1
,

H
2
,

H
3
đều thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Mà ta lại có A, H

=
BHM
1
∧
.
Do đó suy ra:
BHM
1
∧
+
CHM
2
∧
=
BAM
∧
+
CAM
∧
=
BAC
∧
.
Dễ thấy
BAC
∧
+
BHC
∧
= 180

A
B
C
H
2
H
3
H
M
B
1
C
1
M
1
M
2
A
B
O
x
y
y'
K
I
E
F