Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
NI DUNG ễN TP
MễN THI: TON CAO CP THNG Kấ
(DNH CHO THI TUYN SINH CAO HC NGNH: SINH HC)
PHN I: TON CAO CP
1. Cỏc kin thc ph tr
( thi s khụng hi trc tip vo cỏc vn ny nhng thớ sinh phi nm c vi yờu cu v
bit vn dng chỳng khi gp trong cỏc vn liờn quan khỏc).
1.1. Gii h phng trỡnh tuyn tớnh.
1.2. Cỏc hm s s cp (min xỏc nh, tớnh cht v dng th).
1.3. Tỡm o hm, vi phõn hm mt bin.
1.4. Tỡm gii hn hm s khi x

.
1.5. Tớnh tớch phõn bt nh v tớnh tớch phõn xỏc nh, tớch phõn suy rng loi I.
2. Phng trỡnh vi phõn
2.1. Nghim riờng v nghim tng quỏt
2.2. Gii phng trỡnh vi phõn dng bin s phõn ly, ng cp, tuyn tớnh cp 1, Becnui, vi
phõn ton phn.
2.3. Gii phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 2 h s hng s vi v phi dng e
x
P
n
(x)
(cosx sinx) (phng phỏp tỡm dng nghim riờng) v vi v phi tu ý (phng phỏp bin
thiờn hng s).
2.4. H 2 phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh vi h hng s (trng hp cú v phi).
PHN II: CC KT QU C BN CA XC SUT
1. Hoỏn v, t hp, chnh hp, nh thc Newton
2. Xỏc sut
2.1. Bin c. Quan h gia cỏc bin c.

Tµi liÖu «n thi cao häc chuyªn ngµnh Sinh häc – Biªn so¹n: NguyÔn V¨n C«ng
2. Ước lượng
2.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai và xác suất.
2.2. Ước lượng khoảng cho kỳ vọng, phương sai và xác suất. Độ chính xác ước lượng và cơ
mẫu.
3. Kiểm định giả thiết
3.1. Kiểm định giả thiết:
µ = µo với µ ≠ µo , µ<µo , µ > µo
p = po với p ≠ po , p < po , p > po
µ1 = µ2 với µ1 ≠ µ2 , µ1 < µ2 , µ1 > µ2
p1 = p2 với p1 ≠ p2 , p1 < p2 , p1 > p2
3.2. Kiểm tra sự phù hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm.
3.3. Kiểm tra tính độc lập.
3.4. So sánh nhiều tỷ lệ.
3.5. Tiêu chuẩn phi tham số: Tiêu chuẩn dấu của Wilcoxon, tiêu chuẩn Mann-Whiney.
4. Hồi quy và tương quan
4.1. Hệ số tương quan. Ý nghĩa, cách tính hệ số tương quan mẫu.
4.2. Đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm, sai số.
4.3. Hồi quy phi tuyến tính (trường hợp có thể tuyến tính hoá được).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. P.E Đankô, A.G. Pôpôp…, Bài tập toán cao cấp phần I và II, Nxb “Mir” 1983 (Tiếng
Việt).
2. Nguyễn Đình Trí…, Toán cao cấp (tập 1, 2, 3), Nxb Giáo dục, 1996.
3. Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nxb Đại học Quốc gia 1996, 1997.
4. Nguyễn Đình Cử, Trương Giêu, Bài tập xác suất và thống kê toán, Đại học Kinh tế Quốc
dân, 1992.
Tài liệu 1 và 3 là tài liệu tham khảo chính.
2
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
Phần I Toán cao cấp

22221
11211
=
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
)
- Trong ma trận A, phần tử
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
) là phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận.
- Ví dụ:
A =







B là ma trận cỡ 4x1 gồm 4 số đợc viết thành 4 hàng và 1 cột
C =

















975
462
1170
8511

C là ma trận cỡ 4x3 gồm 12 số đợc viết thành 4 hàng và 3 cột
2. Các dạng ma trận.
2.1. Ma trận vuông cấp n.
- Ma trận cỡ nxn đợc gọi là ma trận vuông cấp n và có dạng:



;j =
n,1
)
- Trong ma trận vuông, các phần tử aii (i =
n,1
) gồm a
11
, a
22
,...,a
nn
đợc gọi là các phần tử chéo,
đờng thẳng xuyên qua các phần tử chéo đợc gọi là đờng chéo chính; đờng chéo gồm các phần tử a
i,n+1-
i
(i =
n,1
) đợc gọi là đờng chéo phụ của ma trận.
- Ví dụ:
A =











[ ]
i
a
1
1xn
trong đó (i
=
n,1
)
- Ma trận cỡ nx1 đợc gọi là ma trận cột và có dạng:












1
21
11
...
n
a
a
a

2.3. Ma trận tam giác.
- Ma trận vuông cấp n có các phần tử a
ij
= 0 với i>j đợc gọi là ma trận tam giác trên và có
dạng:












nn
n
n
a
aa
aaa
...00
............
...0
...
222
11211
hoặc








nnnn
aaa
aa
a
...
............
0...
0...0
21
2221
11
hoặc












a
a
...00
............
0...0
0...0
22
11
hoặc












nn
a
a
a
...
22
11
- Ma trận chéo có các phần tử a
ii






1
...
1
1
2.5. Ma trận chuyển vị.
- Ma trận chuyển vị của ma trận A =
[ ]
ij
a
mxn
là ma trận đợc thành lập từ ma trận A bằng cách
đổi hàng thành cột, cột thành hàng
- Ma trận chuyển vị của ma trận A đợc kí hiệu là A
T
: A
T
=
[ ]
ji
a
nxm
4
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
- Ví dụ: A =


1363
10112
2.6. Ma trận đối.
- Ma trận đối của ma trận A =
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
) là ma trận đợc kí hiệu là - A và đợc
xác định nh sau: - A =
[ ]
ij
a

mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
)
- Ví dụ: A =






nhau, tức là:
+ A =
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
); B =
[ ]
ij
b
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
)
+ a
ij
= b
ij
- Khi A bằng B ta viết A = B
- Ví dụ: A =





ba
A = B

a = 1; b= -5; c = 6; d = 7; e = 8; f = 3; g = -2; h = 9
2.8. Ma trận bậc thang.
- Ma trận A =
[ ]
ij
a
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
) có a
ij
= 0 với

i,j : i>j đợc gọi là ma trận bậc thang.
- Ví dụ: A =











ijij
ba
+
mxn
với c
ij
= a
ij
+ b
ij
, (

i =
m,1
;

j =
n,1
)
- Ví dụ:
A =







41
32

107
b. Tính chất.
A + B = B + A ( A và B cùng cỡ )
A + 0 = 0 + A = A
A + (- A ) = ( - A ) + A = 0
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( A , B , C là các ma trận cùng cỡ )

Chú ý: Gọi M
mxn
là tập gồm các ma trận cùng cỡ mxn, khi đó ( M
mxn
, +) đợc gọi là
một nhóm giao hoán.
3.2. Phép hiệu ma trận.
a. Định nghĩa.
5
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
- Cho hai ma trận cùng cỡ mxn: A =
[ ]
ij
a
mxn
, B =
[ ]
ij
b
mxn
(i =
m,1
;j =

A =







41
32
; B =







32
75

A - B =









;j =
n,1
) và một số thực k ( k

R ), tích của A và k là ma trận
cỡ mxn, kí hiệu là kA và đợc xác định bởi: kA =
[ ]
ij
ka
mxn
(i =
m,1
;j =
n,1
).
- Ví dụ: A =





























276
924
2718
153
b. Các tính chất.
k( A

B ) = kA

kB
( k + h )A = kA + hA
k(hA) = (kh)A
1.A = A; 0.A = 0
3.4. Phép nhân ma trận với ma trận.
a. Định nghĩa.
- Tích của ma trận A =

b
3j
+...+ a
ip
b
pj
=

=
p
k
kjik
ba
1
( ta có thể nói tắt c
ij
bằng hàng i của A
nhân với cột j của B)
- Ví dụ:
(1):
[ ]
2222
21
12
82
123
4.21.2
4.31.3
41
2

112431
2
3
.41
x
x
x
x
xx
=+=






(3):
2222
23
32
189
1810
4.22.12.41.23.11.4
4.32.22.11.33.21.1
41
23
21
.
214
321






(4):
3333
32
23
11617
13811
749
2.43.11.42.14.41.1
2.23.31.22.34.21.3
2.23.11.22.14.21.1
214
321
.
41
23
21
xx
x
x












- Chú ý:
6
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
+ Muốn nhân AB ( A bên trái, B bên phải) phải có điều kiện là số cột của A bằng số hàng
của B; muốn nhân BA (B bên trái, A bên phải) phải có điều kiện là số cột của B phải bằng số hàng
của A. Do đó khi nhân AB đợc thì cha chắc đã nhân BA đợc và ngợc lại, nhng khi A và B là hai ma
trận vơng cùn cấp thì nhân AB và BA đều đợc.
+ Khi nhân AB và BA đợc thì cha chắc AB = BA và có những ma trận A

0 và B

0 nhng
AB = 0.
b. Chuyển vị của tích hái ma trận.
- Giả sử có ma trận A =
[ ]
mxp
aij
a
và ma trận B =
[ ]
pxn
ij
b
thì ta nhân AB đợc và AB có cỡ là mxn.

t
= B
t
A
t
- Ví dụ: A =
22
41
21
x







; B =
22
13
12
x







Ta có: AB =

x







; B
t
=
22
11
32
x








B
t
A
t
=
22
11




=






++
++
Vậy (AB)
t
= B
t
A
t
=
22
33
144
x






c. Một số tính chất.

aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
(i=
n,1
;j =
n,1
), nếu ứng với mỗi
phần tử a
ij
của A ta bỏ đi hàng i và cột j chứa a
ij
thì ta thu đợc một ma trận con chỉ còn n-1 hàng và
n1 cột, ma trận này đợc gọi là ma trận con ứng với phần tử a
ij
của A và kí hiệu là M
ij
.
- Ví dụ: với A =





=






3331
2321
aa
aa
( ứng với a
12
của A )
7
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
M
13
=






3231
2221
aa
aa
( ứng với a

( ứng với a
22
của A ); M
23
=






3231
1211
aa
aa
( ứng với a
23
của A )
M
31
=






2322
1312
aa

aa
aa
( ứng với a
33
của A )
2. Định thức của ma trận.
2.1. Định nghĩa.
- Định thức của ma trận A là 1 số thực, kí hiệu là det(A) và đợc xác định nh sau:
+ Nếu A là ma trận cấp 1: A =
[ ]
11
a
thì:
det(A) = a
11
.
+ Nếu A là ma trận vuông cấp 2: A =






2221
1211
aa
aa
thì:
det(A) = a
11

a
1n
det(M
1n
)
( a
11
; a
12
...a
1n
là các phần tử của hàng 1 trong ma trận A )
- Chú ý:
(1): Để kí hiệu định thức của ma trận A ngoài det(A) ngời ta còn dùng hai gạch đứng
đặt ở bên trái và bên phải các phần tử của ma trận A. Ví dụ:
A =






2221
1211
aa
aa

det(A) =
2221
1211







+
+
=
)
in
det(M
in
a...)
i2
det(M
i2
a)
i1
det(M
i1
a
1i
1)(det
- Khai triển định thức theo các phần tử nằm ở cột j:
8
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công







=
987
654
321
+ Tính

theo hàng 2:







+

=
+
87
21
6
97
31
5
98
32
4)1(

2.2.5. Tính chất 5: Một định thức có một hàng hay một cột toàn là số 0 thì bằng 0.
2.2.6. Tính chất 6: Khi nhân các phần tử của một hàng hay một cột của một định thức với
một số k thì đợc một định thức mới bằng định thức đó nhân với k.

Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng hay một cột có một thừa số chung ta có thể đa
thừa số chung đó ra ngoài dấu của định thức
2.2.7: Tính chất 7: Một định thức có hai hàng hay hai cột tỉ lệ với nhau thì bằng 0.
2.2.8: Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của một hàng hay một cột có dạng tổng của hai
số hạng thì định thức đó có thể phân tích thành tổng của hai định thức.
2.2.9: Tính chất 9: Nếu một định thức có một hàng hay một cột là tổ hợp tuyến tính của
các hàng hay các cột khác thì định thức ấy bằng 0.
2.2.10: Tính chất 10: Định thức không thay đổi nếu ta đồng thời cộng k lần (k

0) các
phần tử của một hàng vào một hàng khác hay cộng k lần các phần tử của một cột vào một cột khác.
Ví dụ:










516
754
312
21

312










516
754
312
31
CC
+
)1.(










+
+



nn
n
n
a
aa
aaa
...00
............
...0
...
222
11211
= a
11
a
22
...a
nn
;











0:Tính chất 6

Cộng k lần các phần tử của hàng r (hoặc cột r) vào các phần tử tơng ứng ở hàng s
( hoặc cột s): Tính chất 10.
- Bớc 2: Tính giá trị của định thức dạng tam giác thu đợc: Tính chất 11
9
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
b. Ví dụ: Tính

=











162
963
510
- áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng:





+
-










+

614622
510
963
= -


















162
963
510
31
CC

-











261
369
015
21
)5/1( CC
+
-

05/399
005
= - 5.(-39/5).165/39 = 165
2.4. Định thức của tích hai ma trận.
- Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có: det(AB) = det(A).det(B)
- Ví dụ: A =






12
13
; B =







85
31







- Chú ý: nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta còn có: det(kA) = k
n
det(A)
2.5. Định thức con.
- Cho A là ma trận cỡ mxn, định thức con cấp k (1

k

min
{ }
nm,
)của A là định thức đợc
suy ra từ A bằng cách bỏ đi m k hàng và n k cột.
- Ví dụ: Xét ma trận A =
43
2121
4112
2431
x












231


;
211
412
241

;
212
411
243


III. Ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận.
1. Ma trận nghịch đảo.
1.1. Định nghĩa.
- Ma trận A =
[ ]
ij
a
nxn
đợc gọi là ma trận khả đảo (hay khả nghịch) nếu tồn tại ma trận
10
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
B =
[ ]
ij
b
nxn

ij
là
định thức con của ma trận con M
ij
ứng với phần tử a
ij
của ma trận A.
- Ví dụ: xét ma trận A =










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, ta có:
+ Ma trận con ứng với phần tử a
11
của A là: M
11
=

= det(M
11
))
+ Ma trận con ứng với phần tử a
21
của A là: M
21
=






3332
1312
aa
aa


phần bù đại số
của a
21
là c
21
= (- 1)
2+1
det(M
21
) = - (a

đợc xác định một cách duy
nhất bởi công thức:
A
-1
=
t
C
A
.
)det(
1
=












nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc







801
352
321
, tìm A
-1
=?
Ta có:
det(A) = -1

0

A có nghịch đảo A
-1
Ta lại có các ma trận con ứng với các phần tử của A là:
M
11
=






80





80
32
; M
22
=






81
31
; M
23
=






01
21

M

52
21


















==
==
==
==
==
==
==
==
==
1)det()1(

3
12
11
2
11
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc
Mc

C =













137

1
= (-1)













125
3513
91640
=



















801
352
321
, tìm A
-1
bằng phơng pháp Gaus Jordan?
Ta có:
)
(
IA
=










100
010

++
1232
;)2( HHHH















125
012
011
100
310
031

+
23
)3( HH









125
3513
91640
100
010
001

A
-1
=













125

thì:
a. A
-1
cũng khả đảo và (A
-1
)
-1
= A.
b. A
m
cũng khả đảo và (A
m
)
-1
= (A
-1
)
m
với m

Z.
c.

k

0 ta có k.A cũng khả đảo và (kA)
-1
=
k
1

4112
2431
có

(A) = 2 vì các định thức con cấp 3 của A đều
bằng 0 nhng các định thức con cấp 2 khác 0.
- Chú ý: Từ định nghĩa ta suy ra:
+ Mọi định thức con cấp k của A đều bằng 0 thì mọi định thức con cấp cao hơn k của A
cũng đều bằng 0.
+ Nếu

(A) = r

tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của A khác 0 và mọi định thức
con cấp r+1 của A đều bằng 0.
+ Nếu A có cỡ mxn và A

0 thì 0<

(A)

min(m,n).
+ Nếu A có cỡ nxn và

(A) = n

det(A)

0.
+ Nếu A có cỡ nxn và

- Cách làm: Tính các định thức con của ma trận từ cấp 2 trở lên:
+ Giả sử ma trận có một định thức con cấp p khác 0, ta tính tiếp các định thức con cấp
p+1, nếu tất cả các định thức con cấp p+1 đều bằng 0 thì kết luận hạng của ma trận là p.
+ Nếu trong số các định thức con cấp p+1 khác 0 thì ta tính tiếp các định thức con cấp
p+2, nếu tất cả các định thức con cấp p+2 đều bằng 0 thì hạng của ma trận là p+1...
- Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A =
43
4101
9423
5321
x










Giải:
13
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
Vì A có cỡ là 3x4

A có các định thức con thuộc các cấp 1; 2 và 3.
Ta có 1 định thức con cấp 2 của A là







411
943
531
= 0;










401
923
521
= 0;















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211

B =
[ ]
ij
b
mxn
=






với b
ij
= 0 và

i > j hay i > p và b
ii


0; i =
p,1
.
+ Vì

(A) =

(B) mà

(B) = số hàng có các phần tử khác 0 của nó (p hàng) nên ta kết
luận:

(A) =

(B) = p .
- Ví dụ: Tìm hạng của A =
54
204841
54252
127962
50231











3234
; HHHH
54
00000
27500
154610
50231
x













2211
22222121
11212111
(1), trong đó:
x
j
(j =
n,1
) là các ẩn số.
a
ij
( i =
m,1
; j=
n,1
) là hệ số ở phơng trình thứ i của ẩn x
j
.
14
Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học Biên soạn: Nguyễn Văn Công
b
i
(i =
m,1
) là vế phải của phơng trình thứ i.
+ Dạng ma trận của một hệ phơng trình tuyến tính: Hệ (1) có thể đợc viết dới dạng ma trận:
AX = B, trong đó:
A =
[ ]
ij

i
b
1
1xm
=












m
b
b
b
...
2
1
=
[ ]
T
m
bbb ...
21

xxx ...
21
- Chú ý:
+ Khi m = n ta có một hệ vuông với n phơng trìnhvà n ẩn.
+ Khi b
i
= 0

i ta có một hệ thuần nhất.
+

(A) của A đợc gọi là hạng của hệ phơng trình (1)
2. Các dạng hệ phơng trình tuyến tính đặc biệt.
2.1. Hệ Cramer.
2.1.1. Định nghĩa.
Một hệ phơng trình tuyến dạng AX = B tính đợc gọi là hệ cramer nếu nó có n phơng trình,
n ẩn và det(A)

0, trong đó:
A =
[ ]
ij
a
nxn
=















n
b
b
b
...
2
1
2.1.2. Nghiệm của hệ Cramer.
- Định lí Cramer: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất và đợc xác định bằng công thức: X = A
-
1
B hay x
i
=
)det(
)det(
A
A
i













321
643
021
, B =










8
30
6
, A
1
=

6303
061
; A
3
=












821
3043
621

det(A) = 44

0, det(A
1
) = - 40; det(A
2
) = 72; det(A
3
) = 152

18
; x
3
=
)det(
)det(
3
A
A
=
44
152
=
11
38
2.2. Hệ tam giác.
2.2.1. Hệ tam giác trên.
Là hệ có dạng:







=
=++
=+++
nnnn
nn

...
...
2.2.2. Hệ tam giác dới.
Là hệ có dạng:







=+++
=+
=
nnnnnn
bxaxaxa
bxaxa
bxa
...
......................................
2211
2222121
1111
với ma trận hệ số A =







=+++
0...
......................................
0...
0...
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
hoặc AX = 0 trong đó A =
[ ]
ij
a
nxn
, X =
[ ]
j
x
1
1xn
, B = O
n1
= 0
2.3.2. Nghiệm của hệ thuần nhất.
a. Nghiệm tầm thờng.

3. Các phơng pháp giải hệ phơng trình tuyến tính.
3.1. Phơng pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đợc hệ tơng đơng.
16