Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục và Đào tạo
ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009
Môn thi : TOÁN, khối A
Thi thử thứ năm hàng tuần (26.02.2009)
ĐỀ 02
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm )
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
4 4 1y x x x
= + + + .
2.
Tìm trên đồ thị của hàm số
4 2
2 3 2 1y x x x
= − + + những điểm
A
có khoảng cách đến đường thẳng
( )
: 2 1 0d x y− − =
nhỏ nhất.
Câu II: ( 2 điểm )
1.
Giải phương trình :
( )
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x= + −


.S ABCD
. Các mặt bên tạo với đáy góc
β
. Gọi
K
là trung điểm
cạnh
SB
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
( )
AKC
và
( )
SAB
theo
β
.
Câu V: ( 1 điểm ) Cho bất phương trình :
( )
2 3
2 2
2
3 2
4 2
4
m x x
x x
x
− −
≥ − +

60 .
2.
Trong không gian
Oxyz
cho
3
điểm
1 1 1
;0;0 , 0; ;0 , 1;1;
2 2 3
H K I
     
     
     
. Tính cosin của góc tạo bởi mặt phẳng
( )
HIK
và mặt phẳng toạ độ
Oxy
.
Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho
3
số thực dương
, ,a b c
thoả mãn
2 2 2
1a b c
+ + =
. Chứng minh rằng :
2 2 2 2 2 2

sao cho :
SA SB SC+ +
  
đạt giá trị nhỏ nhất.

2.
Viết phương trình đường phân giác trong của
2
đường thẳng :
( )
1
: 2 3 0,d x y+ + =

( )
2
: 2 6 0d x y+ + =
.
Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho
3
số thực dương
, ,a b c
thoả mãn
1
a b c
=
+ +
. Chứng minh rằng :

6a b b c c a+ + + + + ≤
.

2 3 2 1y x x x= − + +
những điểm
A
có khoảng cách đến đường thẳng
( )
: 2 1 0d x y− − =
nhỏ nhất.
Giả sử
( )
4 2 4 2
0 0 0 0 0 0
; 2 3 2 1 2 3 2 1A x y y x x x y x x x∈ = − + + ⇒ = − + +

( )
( )
( )
( )
4 2
4 2
0 0 0 0
0 0
0 0
,
2
2
2 1 2 3 2 1
2 3 2
2 1
5 5
2 1


Vậy
( )
( )
,
7 5
min
40
A d
d
=
khi
2
0 0
3 3
0
4 2
x x− = ⇔ = ±

0 0
3 1 3 1
, 3 ; 3
2 8 2 8
x y A
 
• = − = − − ⇒ − − −
 
 

0 0


+ − >



Phương trình :
( ) ( )
2
2
9 3 3 3 3 3
1
2 log log .log 2 1 1 2 .log log .log 2 1 1 0
2
x x x x x x
 
= + − ⇔ − + − =
 
 

( )
( )
3
3 3 3
3 3
log 0
1
log . log log 2 1 1 0
1
2
log log 2 1 1 0

x
x
x
x
x
x x
x x
x x
=
=
=
=





⇔ ⇔ ⇔ ⇔


=
− =
= + −
= + −







Vì
2
2009
sin sin 2C C+ ≤
nên
( )
2 2 cos .cos .cos 2 cos .cos .cos 0 *A B C A B C+ ≤
⇒
≤
.
Do tam giác
ABC
có
,A B
nhọn , đẳng thức
( )
( )
* cos 0 1C
⇒
≤
.
Mặt khác :
2
2009
0 sin 1 sin sinC C C< ≤
⇒
≤
hay
2 2 2 2 2 2
sin sin sinC A B c a b≤ + ⇔ ≤ +

x x x
π
π
=
−
∫

Cách 1 :
( )
( )
2 2
3 3
1 1 1
sin cos sin 2
sin sin
4
I dx dx
x x x
x x
π π
π π
π
= =
−
−
∫ ∫( )
( )

4 4
x x
x x x x
π
π π
 
− −
 
 
= =
− −

2
3
cot cot ?
4
I x x dx
π
π
π
 
 
= − − =
 
 
 
 
∫
AKC
và
( )
SAB
theo
β
.
Gọi
O
là tâm hình vuông
ABCD
cạnh
a
. Khi đó
( )
SO ABCD⊥
và
SO h
=
.
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
, ,OA Ox OB Oy OS Oz
≡ ≡ ≡
và
( ) ( )
0;0;0 , ; 0;0 ,O A a

( )

+
 
+
 
 

( )
2
2
2
1 cos
1
2 cos
h
a
β
β
 
−
⇒ =
 
 

Gọi
µ
là góc giữa hai mặt phẳng
( )
AKC
và
( )

−
 
⇒ = =
+ +
   
+ +
   
   
.
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
( )
3
2
3 cos 1
cos
2 1 cos
β
µ
β
−
=
+

Câu V: ( 1 điểm ) Cho bất phương trình :

4
m x x
x x x x x m
x
− −
≥ − + ⇔ − − ≥ −
−

Xét hàm số :
( )
4 3 2
2 5f x x x x= − −
, xác định và liên tục trên khoảng
( )
2;2−
.
Trên khoảng
( )
2;2−
ta có :
( )
3 2
' 4 6 10f x x x x= − −

( )
( )
( )
( )
( )
( )

∈ −
∈ −

 



= ∉ −



( ) ( )
2 2
lim 12, lim 20
x x
f x f x
+ −
→− →
= = −

Lập bảng biến thiên , từ đó suy ra : bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
12 8 4m m> − ⇔ > −

Chú ý : Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của
x
thuộc tập xác định khi và chỉ khi
20 8 28m m− > − ⇔ >

II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ).


( )
2
2
3 4x y− + =
, có tâm là
( )
3; 0I
, bán kính
2R =
.
Vẽ đường tròn trên hệ trục toạ độ
Oxy
, dễ thấy
trục tung không có điểm chung với đường tròn
( )
C
.
Do đó, qua một điểm
M
bất kì trên tục tung luôn kẻ được hai tiếp tuyến của
( )
C
.

Giả sử điểm
( )
0;M m
tùy ý thuộc trục tung.Qua
M


=


=


Vì
MI

là phân giác của

AMB
nên :

0 2
0
(1) 30 2 9 4 7
sin 30
IA
AMI MI MI R m m⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±


0 2
0
2 3 4 3
(2) 60 9
3 3
sin 60
IA R

và mặt phẳng toạ độ
Oxy
.
Mặt phẳng
( )
HIK
có vectơ chỉ phương là
1 1 1 1
; ; 0 , ;1;
2 2 2 3
HK HI
   
= − =
   
   
 
nên có vectơ pháp tuyến là
( )
1 1 3 1
; ; ; 2;2; 9
6 6 4 12
n HK HI
 
 
= = − = −
 
 
 
  
,

 
 
.
Mặt phẳng
( )
: 0Oxy z =

Góc tạo bởi hai mặt phẳng
( ) ( )

0.2 0.2 9
9
, : cos
4 4 81. 0 0 1 89
HIK Oxy
β
+ −
 
= =
 
 
+ + + +
.

Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho
3
số thực dương
, ,a b c
thoả mãn
2 2 2

a b c a b c
a b c

< = =
 

⇒
= = =
⇒
∈



+ + =
 


.
•
Ta thấy mối liên hệ gì của bài toán ?. Dễ thấy
2 2 2
1a b c+ + =
và
2 2 2 2 2 2
, ,b c c a a b+ + +
. Gợi ý ta đưa bài toán
về dạng cần chứng minh :
2 2 2
3 3
2

3
2
1
3
2
1
3
2
1
a
a
a
b
b
b
c
c
c

≥

−


≥

−


≥