ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
_______________________

DƢƠNG MAI HƢƠNG

PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2010

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

DƢƠNG MAI HƢƠNG

PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10



3


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
C/m

Chứng minh

Đpcm

Điều phải chứng minh

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

Mp

Mặt phẳng

Nxb

Nhà xuất bản

THPT

10. Cấu trúc luận văn......................................................................................................................... 4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN........................................................... 5
1.1. Tư duy.............................................................................................................................................. 5
1.2. Tư duy sáng tạo........................................................................................................................... 6
1.3. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo.............................................................. 10
1.3.1. Tính mềm dẻo......................................................................................................................... 11
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn............................................................................................................... 11
1.3.3. Tính độc đáo............................................................................................................................ 12
1.3.4. Tính hoàn thiện....................................................................................................................... 13
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề......................................................................................................... 13
1.4. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo................................. 13
1.5. Tiềm năng của hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho
học sinh.................................................................................................................................................... 14
1.6. Kết luận chương 1..................................................................................................................... 16
Chƣơng 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH
HỌC THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH.............................................................................................................................. 17
2.1. Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán hình
học không gian..................................................................................................................................... 18

5


2.2. Xây dựng bài toán mới từ bài toán đã biết................................................................... 31
2.3. Liên hệ các vấn đề tương tự giữa hình học phẳng và hình học không
gian............................................................................................................................................................. 43
2.4. Kết luận chương 2..................................................................................................................... 50
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM....................................................................... 51
3.1. Mục đích thực nghiệm............................................................................................................ 51
3.2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm.................................................................................... 51

học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”.

Những qui định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục
hiện nay nhằm đào tạo những con người có đủ trình độ và kĩ năng tham gia
quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước. Xã hội ngày nay đang phát
triển với tốc độ chóng mặt, lượng thông tin bùng nổ. Cùng với đó, nó đòi hỏi
con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát
triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống … Như vậy rèn luyện
khả năng sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết của nhà
trường phổ thông.
Mặt khác, Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và
nghiên cứu các môn học khác. Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển
của các ngành khoa học kĩ thuật. Nó liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng
rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống.

1


Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quan
trọng trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến
vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong cuốn "Sáng tạo toán
học” [17], Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán , quá
trình sáng tạo toán học và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân.
Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc năng lực toán học
của học sinh và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho
học sinh trong cuốn “Tâm lí năng lực toán học của học sinh” [11].
Ở nước ta cũng có nhiều công trình của các giáo sư Hoàng Chúng [3],
Nguyễn Cảnh Toàn [22] … nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh.

Thời gian: Năm học 2009 – 2010.
4. Mẫu khảo sát
Học sinh các lớp 11A7, 11A8 trường trung học phổ thông Trần Hưng
Đạo, Nam Định.
5. Vấn đề nghiên cứu
Dạy bài tập hình học không gian lớp 11 trung học phổ thông theo hướng
nào thì phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ?
6. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu dạy bài tập hình học không gian lớp 11 trung học phổ thông theo các
biện pháp đề xuất trong luận văn này thì sẽ phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
7.

Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng

của tư duy sáng tạo.
-

Đề xuất các biện pháp dạy học bài tập hình học không gian nhằm rèn

luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh.
-

Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập hình học không gian lớp 11

phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
-



trường phổ thông
-

Đề xuất được ba biện pháp dạy học giải bài tập hình học không gian theo

hướng phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh (kèm theo hai giáo án cụ thể).
-

Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả

-

Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồng

nghiệp và sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm và cho những ai quan
tâm đến dạy học bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
10.

Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham

khảo và mục lục, luận văn trình trình bày trong ba chương:
-

Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn

-

Chương 2. Một số biện pháp dạy học giải bài tập hình học không

niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.”
Từ đó, ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tư duy như sau:
-

Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản

ứng tích cực thế giới khách quan.
-

Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể

hiện qua ngôn ngữ.

5


-

Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng

được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con
người nhằm phản ánh đối tượng.
-

Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.

-

Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ


sáng tạo cần thiết cho bất kì lĩnh vực hoạt động nào của xã hội loài người.

Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một
quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là
một năng lực của con người.
Có nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo. Trước đây, các học
giả thường định nghĩa sáng tạo thông qa sản phẩm sáng tạo. Ngày nay, tính
sáng tạo thường được xem xét như là một quá trình sáng tạo. Nhà tâm lí học

6


Henry Glêitman định nghĩa: “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp
mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích” [5]. Nhà tâm lí học
Karen Huffman cho rằng người có tính sáng tạo là người tạo ra được giải pháp
mới mẻ và thích hợp để giải quyết vấn đề [8].
Theo nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học, sáng tạo là thành phần
không thể thiếu trong mô hình cấu trúc tài năng. Năm 1993, tại hội thảo
Tôkyô, Renzuli J.B. đã đưa ra mô hình cấu trúc chung của tài năng [21].
I: Inteligence (thông minh)
C: Creativity (sáng tạo)
M: Motivation (sự thúc đẩy –

I

có thể hiểu là niềm say mê)
G:

Gift (năng khiếu, tài năng)


Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải
pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi
cá nhân đã tạo ra nó” [10, tr. 18].
Trong tác phẩm “Sáng tạo Toán học”, G. Polya cho rằng: “Một tư duy gọi
là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể
coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán
sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng
lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí
dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được những phương thức giải áp
dụng cho những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một
cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng
tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả” [2].

Parnes đã so sánh một cách đầy hình ảnh rằng tư duy sáng tạo “như một
chiếc kính vạn hoa mà khi ta xoay nó sẽ tạo ra biết bao hình ảnh rực rỡ sắc
màu của những ý tưởng mới lạ” [16].
Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu
họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà học
chưa từng biết. Như vậy, lời giải một bài toán cũng được xem như là mang

8


yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải không bị những mệnh lệnh nào đó chi
phối (từng phần hoặc hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật
toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước. Nhà
trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo
theo nội dung vừa trình bày.
Như vậy nếu hiểu theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất, tư
duy sáng tạo là tư duy tạo ra cái gì đó mới. Tư duy sáng tạo dẫn đến những tri

dạng tư duy, cho thấy điều kiện cần của tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và tư
duy tích cực [12, tr.66 - 70].
Tư duy tích cực

Tư duy độc lập
Tư duy sáng tạo
Hình1.1. 2
9


Ông làm sáng tỏ mối quan hệ của ba dạng tư tuy bằng ví dụ sau: Một
học sinh chăm chú nghe thầy chứng minh định lí, cố gắng để hiểu được tài liệu
– đó là tư duy tích cực.
Trong trường hợp học sinh tự đọc và phân tích định lí, hiểu phần chứng
minh, tự nghiên cứu sách giáo khoa – đó là tư duy độc lập (và tất nhiên cũng
là tư duy tích cực).
Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách
chứng minh mà học sinh đó chưa biết đến.
Như vậy tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới
độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
1.3. Một số yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo
Rubinstein cho rằng tư duy sáng tạo bắt đầu bằng một tình huống gợi
vấn đề [15, tr. 114]. Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm khi các phương pháp lôgíc
để giải quyết các nhiệm vụ là không đủ, hoặc vấp phải trở ngại, hoặc kết quả
không đáp ứng các đòi hỏi đặt ra từ đầu hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn
giải pháp cũ. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu
thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lí, tiết
kiệm, tính khả thi và cả vẻ đẹp của giải pháp.
Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học thì cấu trúc
của tư duy sáng tạo có năm đặc trưng cơ bản sau:

phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc
chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và phán đoán.
Tính mềm dẻo của tư duy có ba đặc trưng nổi bật dưới đây:
Thứ nhất, tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động
trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư
duy khác; vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu
tượng hoá, khái quát hoá, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy
nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác,
điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
Một đặc trưng khác của tính mềm dẻo của tư duy đó là khả năng suy
nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức, kĩ
năng có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tố đã
thay đổi , có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm,
những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước.
Tính mềm dẻo còn thể hiện ở khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều
kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc trưng cơ bản của tư duy
sáng tạo. Do đó, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên có thể tổ
chức cho học sinh giải các bài tập mà thông qua đó có thể rèn luyện được tính
mềm dẻo của tư duy.
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách
nhanh chóng giữa sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn

11


cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lí học coi yếu tố chất lượng của ý
tưởng sinh ra làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng


Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt
động trí tuệ này này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện
cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau
(tính nhuần nhuyễn). Nhờ đó có thể đề xuất được nhiều phương án khác nhau
và tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố này có quan hệ

12


khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy
cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy
sáng tạo - đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.
1.3.4. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành
động, phát triển ý tưởng , kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
-

Khả năng nhanh chóng phát hiện ra vấn đề

-

Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgíc, chưa tối ưu hoá

từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.

Tóm lại, giáo viên cần rèn tư duy biện chứng cho học sinh, từ đó có thể
rèn luyện được tư duy sáng tạo.
1.5. Tiềm năng của hình học trong việc bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh
Ở

trung học phổ thông, học sinh không chỉ được cung cấp những kiến

thức Toán học mà còn được luyện kĩ năng vận dụng Toán học, tính độc lập,
tính độc đáo và khả năng sáng tạo.
Các nhà tâm lí học cho rằng: Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các
phương pháp lôgic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc
kết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải
pháp mới tốt hơn giải pháp cũ.
Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải khai thác và sử
dụng hợp lí nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạo,
biểu hiện ở các mặt như: Khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải
khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả
của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán).

Chủ đề hình học không gian chứa đựng tiềm năng to lớn trong việc bồi
dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh việc giúp học
sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các

14


tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ
thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh
phát triển năng lực sáng tạo.
Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú trọng đến việc dẫn dắt học sinh

các biểu tượng không gian khi thay đổi một số sự kiện.
Có thể thấy tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duy
sáng tạo cho học sinh là rất lớn.
1.6. Kết luận chƣơng 1
Trong chương này, luận văn đã làm rõ các khái niệm tư duy, tư duy sáng
tạo, nêu được các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo và vận dụng tư duy
biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo đồng thời nêu được tiềm năng của
chủ đề hình học không gian trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học
sinh.
Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy
học giải bài tập hình học là rất cần thiết, qua đó chúng ta giúp học sinh học tập
chủ động, tích cực hơn, kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học
tập và trong cuộc sống.
Như vậy, trong quá trình dạy học, mỗi giáo viên cần tìm ra các biện
pháp nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Có thể bồi
dưỡng tư duy sáng tạo theo năm thành phần của tư duy sáng tạo.

16


Chƣơng 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC
THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC
SINH
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ?
Có thể rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh :
-

Theo năm thành phần của tư duy sáng tạo

-

viên cần tạo ra không khí giao tiếp thuận lợi giữa thầy và trò, giữa trò và trò
bằng cách tổ chức và điều khiển hợp lí các hoạt động của từng cá nhân và tập
thể học sinh. Tốt nhất là tổ chức những tình huống có vấn đề đòi hỏi dự đoán,
nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược. Những tình huống đó
cần phù hợp với trình độ học sinh. Một nội dung quá dễ hoặc quá khó đều

17


không gây được hứng thú. Người thầy cần biết dẫn dắt học sinh luôn luôn tìm
thấy cái mới, có thể tự giành lấy kiến thức, luôn cảm thấy mình mỗi ngày một
trưởng thành. Để học tập sáng tạo cần tạo tìnhh uống chứa một số điều kiện
xuất phát, từ đó giáo viên yêu cầu học sinh đề xuất càng nhiều giải pháp càng
tố, càng tối ưu càng tốt.
Học tập sáng tạo là cái đích cần đạt. Tính sáng tạo liên quan với tính
tích cực, chủ động, độc lập. Muốn phát triển trí sáng tạo, cần chú trọng để học
sinh tự lực khám phá kiến thức mới, dạy cho các em phương pháp học mà cốt
lõi là phương pháp tự học. chính qua các hoạt động tự lực, được giao cho từng
cá nhân hoặc cho nhóm nhỏ mà tiềm năng sáng tạo của mỗi học sinh được bộc
lộ và phát huy.
2.1. Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán hình
học không gian
Vấn đề này được xây dựng trên cơ sở có nhiều cách nhìn nhận một vấn
đề Toán học theo các góc độ khác nhau. Giải một bài toán theo nhiều cách
khác nhau, điều ấy đồng nghĩa với việc học sinh tiếp cận vấn đề theo nhiều
đường lối, nắm được kiến thức rộng hơn, sâu hơn và giải quyết vấn đề một
cách linh hoạt, nhanh chóng. Không phải bài toán nào học sinh cũng có thể
giải được theo nhiều cách, nhưng hình học không gian, đặc biệt là các bài toán
về hình chóp, tứ diện vuông, hình hộp … thường có nhiều cách giải. Sau khi
trình bày xong một lời giải, giáo viên nên đặt câu hỏi: Có cách nào khác để

⇒A, G, A’ cùng thuộc mp(ABN)
C

Hình 2.1. 1

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD ⇒ MENF là hình bình
hành ⇒ G ∈ EF ⇒ G ∈(ADE )
Mà A ' ∈ DE ⇒ A ' ∈ ( ADE ) ⇒ A, G, A’ cùng thuộc mp(ADE)
Từ (1) & (2) ⇒ A, G, A’ thẳng hàng.
Vậy: đường thẳng AG đi qua trọng tâm A’ của tam giác BCD.
*

Cách 2: Chứng minh AG đi qua A’ bằng cách lấy giao điểm A” của

AG và (BCD) và chứng minh A” ≡ A’.
Trong tam giác ABN gọi A” là giao điểm của BN và AG.
Trong tam giác BMN với ba điểm thẳng hàng A, G, A” ta có:

Lại có:
Mà A"∈ NB ⇒A” là trọng tâm tam giác BCD ⇒ A" ≡ A' .
Vậy AG đi qua A’.