<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN (P1)</b>
<b>A. LÝ THUYẾT</b>

Công thức nhị thức Newtơn: 0 0

( )<i>n</i> <i>n</i> <i>k</i>. .<i>k</i> <i>n k</i> <i>n</i> <i>k</i>. <i>n k</i>. <i>k</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>a b</i> <i>C a b</i>  <i>C a</i>  <i>b</i>

 _ _

=<i>C a bn</i>0 0 <i>n</i> <i>C a b</i>1 1<i>n</i> <i>n</i> 1 ... <i>C a bnn</i> 1 <i>n</i> 1 1 <i>C a bnn n</i> 0

  

    _.

Hệ quả: (1<i>x</i>)<i>n</i> <i>Cn</i>0<i>C x C x</i>1<i>n</i>  <i>n</i>2 2...<i>C xnn n</i>

0 1 2

2<i>n</i> ... <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

     _{(với x = 1)}

3
2
3

3 <i>n</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

  _{. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khi triển là}

631. Tìm hệ số của số hạng chứa <i>x .</i>5
Đ/s: 673596.

<b>Bài 3.</b> <b> [ĐVH].</b> Tìm hệ số của số hạng chứa <i>x trong khai triển </i>15  

2

2<i>x </i> 3 <i>n</i>

thành đa thức, biết <i>n</i> là số

nguyên dương thỏa mãn hệ thức <i>An</i>3<i>C</i>1<i>n</i> 8<i>Cn</i>249.

     .

Đ/s: Hệ số là <i>C</i>12413 124 8_.

<b>Bài 5.</b> <b>[ĐVH].</b> Với mọi số nguyên dương <i>n</i>, khai triển nhị thức

1
3

<i>n</i>
<i>x</i>

 



 

  _{theo thứ tự số mũ giảm dần,}

tìm số hạng đứng giữa của khai triển biết hệ số của số hạng thứ ba là 5.

Đ/s: Số hạng đó là

5

5 5 5

10

 _{ ,}<i>x </i>0_{bằng 70. Hãy}

tìm số hạng khơng chứa <i>x</i> trong khai triển đó.

Đ/s: Số hạng đó là
7
4 .

<b>Bài 7.</b> <b>[ĐVH].</b> Tìm hệ số của <i>x trong khai triển của </i>5  

4 <i>n</i>

<i>x x</i> <i>x</i>

biết <i>Cn</i>3<i>Cn</i>2 1330_.
Đ/s: 125970.

<b>Bài 8.</b> <b>[ĐVH].</b> Cho khai triển

3 <i>n</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

3

2 <i>n</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

  _{, biết}<i>n</i>_{là số tự nhiên thỏa mãn}

hệ thức 46 2 454

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>nA</i>

   .

Đ/s: 1792 _.

<b>Bài 11.</b> <b>[ĐVH].</b> Tìm hệ số của <i>x trong khai triển: </i>9  



 

  _{thành đa thức, biết}<i>n</i>_là

số nguyên dương thỏa mãn hệ thức <i>An</i>36<i>Cn</i>2 4<i>Cn</i>1 100_.

Đ/s: <i>C</i>154.2112795520_.

<b>Bài 13.</b> <b>[ĐVH].</b> Tìm hệ số của số hạng chứa
1

<i>x trong khai triển </i>

2
3
3
2

<i>n</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

 



 

<i>x</i>

 



 

 _{ thành đa thức, biết}

<i>n</i>_{là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức}<i>Cn</i>63<i>Cn</i>7 3<i>Cn</i>8<i>Cn</i>9 2<i>Cn</i>82.

Đ/s: <i>C</i>156.26 320320_.

<b>C. LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN</b>

<b>Bài 1.</b> <b>[ĐVH].</b> Tìm hệ số khơng chứa <i>x</i> trong khai triển biểu thức

 

3
4
2
3

1

0
<i>n</i>

Với <i>n  ta có số hạng tổng quát: </i>17

 

17

2 3 17 34

3 4 12 3

1 17. . 17. 0 17,

<i>k</i> <i>k</i> <i>_k</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i>

<i>T</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>C x</i> <i>k</i> <i>k</i>







   

 _ _ _ _    

<i>x</i>

 



 

 _{ . Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khi triển là}

631. Tìm hệ số của số hạng chứa <i>x .</i>5

<i><b>Lời giải:</b></i>

Ta có:  

3 13

3 3 2 6

2 2

3 3

0 0

3 3

3 . .

2

0 0 1 2 2

0

9 1

3 . 3 . 3. 3 . 631 1 3 631 12

2
<i>k</i> <i>k</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>k</i>

<i>n n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>n</i> <i>n</i>





         



.



 

 

 

   _.

Số hạng chứa <i>x là: </i>5 3 . 12

<i>k</i> <i>k</i>

<i>T</i>  <i>C</i>

<i>Với k thỏa mãn: </i>

6 6

12

13

18 5 6 3 .

6

<i>k</i>

<i>A</i> <i>C</i>  <i>C</i>   <i>n n</i> <i>n</i>  <i>n</i>  

3 ₇ 2 ₇ _{49 0}

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

    

<i>_n</i> ₇<i>_n</i>2 ₇ ₀ <i>_n</i> ₇

     

.

+) Với <i>n  ta có khai triển </i>7        

7 7

7 7 7

3 3 3

7 7

0 0

2 3 <i>k</i>. 2 <i>k</i>. 3 <i>k</i> <i>k</i>.2 . 3<i>k</i> <i>k</i>. <i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>n x</i>
<i>x</i>



 



 

  _biết

rằng <i>n</i> là số nguyên dương thỏa mãn  

1

4 3 7 3

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i> <i>n</i>

     .

<i><b>Lời giải:</b></i>

             



2 14 12

<i>n</i> <i>n</i>

     _.

Ta có:

12

12 12 5 12 60 11

5 5 ₂ 12 ₂

12 12

3 3 3

0 0

1 13 13

12 . . 12 .13 .12 .

<i>k</i>

Ta có:

60 11

8 4

2

<i>k</i>

<i>k</i>



  

, do đó hệ số là <i>C</i>12413 124 8.

<b>Bài 5.</b> <b>[ĐVH].</b> Với mọi số nguyên dương <i>n</i>, khai triển nhị thức

1
3

<i>n</i>
<i>x</i>

 



   

    _.

Hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Theo giả thiết  

2 2

1 !

5 45 90 0 10

9 <i>n</i> 2! 2 !

<i>n</i>

<i>C</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

        



.

<i>n</i>

<i>x</i>

<i>x x</i>

 



 

 _{ ,}<i>x </i>0_{bằng 70. Hãy}

tìm số hạng khơng chứa <i>x</i> trong khai triển đó.

<i><b>Lời giải:</b></i>

Ta có  

6 6 ₂ 16

2 2 5 2 5 5

5

0 0

1 1 1 1

 

 

  _ _  _ _  _.

Hệ số của số hạng thứ tư tương ứng với <i>k  tức là:</i>3

 

3

3_. 1 ₇ ! ₅₆ 3 ₃ 2 ₂ _{336 0} ₈

2 3! 3 !

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>C</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

 

         

 

.

<b>Bài 7.</b> <b>[ĐVH].</b> Tìm hệ số của <i>x trong khai triển của </i>5  

4 <i>n</i>

<i>x x</i> <i>x</i>

biết <i>Cn</i>3<i>Cn</i>2 1330_.

<i><b>Lời giải:</b></i>

Ta có:    

3 2 ! !

3! 3 ! 2! 2 !
<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i>

<i>n</i> <i>n</i>

  

 

          _.

Khi đó ta cần tìm hệ số của <i>x trong khai triển của </i>5  

20

3 1

20

4 2 4

<i>x x</i> <i>x</i> _<i>x</i> <i>x</i> _

  _.

Gọi số hạng cần tìm là <i>T k</i>  ta có:  

 

3 1 5

20 5

2 4 4

20 20

5

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta có khai triển Niu – tơn:    

3
2

0 0

3 3

1 .3 . , 0

<i>n</i> <i>n</i> <i>n i</i> <i>_i</i> <i>n</i> <i>i</i> <i>_n</i>

<i>i</i>

<i>i</i> <i>i</i> <i>n i</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>i</i> <i>i</i>

<i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>






Khi đó:  

10 10 3 ₁₀

10 ₂

10
0

3

1 .3 . , 0

<i>i</i>
<i>i</i> <i>_i</i> <i>_i</i>

<i>i</i>

<i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>






 

<i>n</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

 



 

  _,<i>x </i>0_{. Biết rằng}<i>n</i>_{là số}

tự nhiên thỏa mãn <i>Cn</i>22<i>An</i>2<i>n</i>112_.

<i><b>Lời giải:</b></i>

Ta có:    

4 4 4 7

3 3

0 0

1 1

2 2 2

<i>n</i> <i>_n</i> <i>k</i> <i>_n</i>

2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>A</i> <i>n</i>  <i>C</i>  <i>n</i>  <i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>

.

Hệ số của <i>x trong khai triển là </i>7 2 .7 7

<i>k</i> <i>k</i>

<i>T</i>  <i>C</i>

 _{ứng với 4.7 7}_ <i>_k</i>_{ }₇ <i>_k</i> _{ }₃ <i>_T</i> _₅₆₀_.

<b>Bài 10.</b> <b>[ĐVH].</b> Tìm hệ số của <i>x trong khai triển biểu thức </i>4

3

2 <i>n</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 



<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>n k</i> <i>k</i> <i>k n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>C x</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 

 

   

    

   

     

Theo bài,      

6 2 2

4

2

1 3<i>x</i> <i>n</i>

; <i>n   , biết </i>* 2 3

2 14 1

3

<i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i> <i>n</i>_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ta có:          

2 2

2

2 2

0 0

1 3 <i>n</i> <i>n</i> 1 <i>k</i> <i>k</i> 3 <i>k</i> <i>n</i> 3 <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>k</i> <i>k</i>

3

2 2

5

<i>n</i>
<i>n</i>
<i>x</i>

 



 

  _{thành đa thức, biết}<i>n</i>_là

số nguyên dương thỏa mãn hệ thức <i>An</i>36<i>Cn</i>2 4<i>Cn</i>1 100_.

<i><b>Lời giải:</b></i>

Ta có:    

3 ₆ 2 ₄ 1 ₁₀₀ ! _6. ! ₄ ₁₀₀

3 ! 2! 2 !

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

0
2

2 .2

5

<i>n</i>

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>
<i>n</i>

<i>A</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>C x</i> 

_  _   

   _.

Số hạng chứa <i>x tương ứng 2</i>8 <i>k</i>  8 <i>k</i> _{ .}4

Vậy hệ số chứa <i>x trong khai triển là </i>8 <i>C</i>154.2112795520_.

<b>Bài 13.</b> <b>[ĐVH].</b> Tìm hệ số của số hạng chứa
1

<i>x trong khai triển </i>

2
3
3

 

   

3 3 2 1

1 1 3

1 !

! !

. . 3

3! 3 ! 2! 3 ! 2 !

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

 

     

Khi đó ta xét khai triển

     

12 ₁₂ ₁₂

12 12

2 2 3 5 36

12 12

3

0 0

3

2 <i>k</i> 2 <i>k</i>. 3 <i>k</i> <i>k</i>2 . 3<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>A</i> <i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>C</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

 



 

 _{ thành đa thức, biết}

<i>n</i>_{là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức}<i>Cn</i>63<i>Cn</i>7 3<i>Cn</i>8<i>Cn</i>9 2<i>Cn</i>82.

<i><b>Lời giải:</b></i>

Áp dụng công thức: 11 1

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i>

 

  _.

Ta có:  

6 ₃ 7 ₃ 8 9 6 7 ₂ 7 8 8 9

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

 

  

      

  _.

Khi đó xét khai triển

15

15 ₁₅ ₁ ₁ ₁₅ _{30 5}

3 3 2 6

15 15

0 0

2



  

.

</div>

<!--links-->

---