Trường THPT Thanh Bình 2 Giáo viên: Phan Công Trứ
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 1
2 2 2
1 2 3 2 2
3 3
1 1 2 2 3 3
1. ( , , ) 2.
3. , , 4. k.a , ,
5. a 6. a
7. a. . . . 8. a //
B A B A B A B A B A B A
AB x x y y z z AB AB x x y y z z
a b a b a b a b ka ka ka
a b
a a a b a b
a b
b a b a b a b b a
= − − − = = − + − + −
± = ± ± ± =
=


= + + = ⇔ =



 
r
r r r r r r r r
cb,,a .11
đồng phẳng
( )
0.
=∧⇔
cba

cb,,a .12
khơng đồng phẳng
( )
0.
≠∧⇔
cba
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1:






−
−
−
−
−
−
k






++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
16. Véctơ đơn vị :
)1,0,0();0,1,0();0,0,1(
321
===
eee
17.
OzzKOyyNOxxM
∈∈∈
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM
∈∈∈
),0,(;),,0(;)0,,(
19.
2

• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔

[
→→
AC,AB
] ≠
0
r

• S
∆
ABC
=
2
1
→→
AC],[AB
• Đường cao AH =
BC
S
ABC
∆
.2
• S
hbh
=
→→
AC],[AB
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng

⇒

BCD
S
V
AH
3
=
• Thể tích hình hộp :
[ ]
/
.
.;
////
AAADABV
DCBAABCD
=
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp α
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp (α) : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
 Viết phương trình mpα qua M và vuông góc với (d): ta có
d
an
=

3 4 5d i j k
→ → → →
= − +

Bµi 2: Cho ba vect¬
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cđa vect¬ :
→
u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3
→
c
b) Chøng minh r»ng 3 vect¬
→
a
,

( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2a b c
→
→ →
= − = − =
.
T×m täa ®é cđa vect¬: a)
1
4 3
2
d a b c
→ → → →
= − +
b)
4 2e a b c
→ → → →
= − −
Bµi 5: T×m täa ®é cđa vect¬
x
→
, biÕt r»ng: a)
0a x
→ → →
+ =
vµ
( )
1; 2;1a
→
= −
b)

H·y t×m täa ®é träng
t©m G cđa tø diƯn ABCD.
Bµi 8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M:
a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz.
Bµi 9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mỈt ph¼ng Oxy c) Qua Trơc Oy.
Bµi 10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c
®Ønh cßn l¹i.
Bµi 11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M.
a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ?
Phân loại và phương pháp giải Hình học 12 Trang 2
Trường THPT Thanh Bình 2 Giáo viên: Phan Công Trứ
b) T×m täa ®é ®iĨm M.
Bµi tËp vỊ nhµ
Bµi 13 . Cho ba vect¬
( ) ( )
1; 1;1 , 4;0; 1 ,a b
→ →
= − = −

( )
3;2; 1 .c
→
= −
T×m:

2 2 2 2
) . ; ) . ; ) ;a a b c b a b c c a b b c c a
→ → → → → → → → → → → →
   

b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
Bµi 16. XÐt sù ®ång ph¼ng cđa ba vect¬
, ,a b c
→ → →
trong mçi trêng hỵp sau ®©y:

( ) ( ) ( )
) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3a a b c
→ → →
= − = =

( ) ( ) ( )
) 4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1b a b c
→ → →
= = − =

( ) ( ) ( )
) 4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1c a b c
→ → →
= = =

( ) ( ) ( )
) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2; 2;1 .d a b c
→ → →
= − − = = −
Bµi 17. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch ∆ABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh.
d) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa ∆ABC h¹ tõ ®Ønh A. e) TÝnh c¸c gãc cđa ∆ABC.
Bµi 18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).

r
≠
0
r
là véctơ pháp tuyến của α
⇔

n
r
⊥ α
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp
α
:
a
r

b
r
là cặp vtcp của α
⇔
a
r
,
b
r
cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt
n
r
và cặp vtcp

o
) + C(z – z
o
) = 0
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n
r
= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
1
c
z
b
y
a
x
=++
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng :
Giả sử α
1
∩ α
2
= d trong đó: (α
1
): A
1
x + B
1

2
y + C
2
z + D
2
) = 0
8. Vò trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :
°
222111
C:B:AC:B:Acắt
≠⇔βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B

9.Khoảng cách từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0

222
ooo
CBA
D Cz By Ax
++
+++
=
)d(M,
α
10.Góc gi ữa hai mặt phẳng :
21
21
.
.
nn
nn
rr
rr
=
),cos(

) qua M và
⊥
d (hoặc AB)
Phân loại và phương pháp giải Hình học 12 Trang 4
//
Trường THPT Thanh Bình 2 Giáo viên: Phan Công Trứ
°
)....( AB
n
→
⊥
=
d
a vtpt nên (d) Vì
Mqua
r
α
α
Dạng 4: Mp
α
qua M và // (
β
): Ax + By + Cz + D = 0
°
βα
βα
α
n n vtpt nên // Vì
M qua
rr

) qua M,N và
⊥

β
:
■ Mp (α) qua M,N nên
α
aMN
=
■ Mp (α) ⊥ mp (β) nên
αβ
bn
=
°
],[
β
α
n nvtpt
N) (hayM qua
rr
→
=
MN
Dạng 7 Mp(
α
) chứa (d) và đi qua M
■ Mp(
α
) chứa d nên
α

M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3− − =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0− =
r
e,
( ) ( )
M 3;4;5 , n 1; 3; 7= − −
r
f,
( ) ( )
M 10;1;9 , n 7;10;1= −
r
Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2
   
− −