I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
x
Cx
xx
++−
x
x
+
C
x
x
+−
xxx
++
C
xxx
+++
xx
−
Cxx
+−
Cxx
++
xx
xx
x
x
e
x
−
!
C
a
a
xx
++
!
Ce
x
+
"
+
x
#$
−++
x
x
x
"
#$
6"
&&'&
dxx
∫
−
x
dx
dxx
∫
−
∫
−
x
dx
∫
+
xdxx
∫
+
dxxx
x
x
∫
∫
+
dxex
x
∫
xdxx
∫
dx
x
x
∫
gxdx
∫
x
∫
dx
x
e
tgx
∫
−
dxx
∫
−
x
dx
∫
−
dxxx
∫
+
x
dx
dxxx
∫
+
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
5644&#$**$7892:*$7;<=;+
∫ ∫
−=
dxxuxvxvxudxxvxu ''
>?
∫ ∫
−=
vduuvudv
#@A44"A&A##"A
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
∫
xdxx
∫
xdxx
∫
+
xdxx
∫
++
dxe
x
∫
dx
x
x
∫
xdxxtg
∫
dxx
∫
+
dxx
∫
xdxe
x
∫
dxex
x
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
x x dx+ +
∫
2.
e
x x dx
x x
+ + +
∫
2.
x dx−
∫
3.
x dx+
8.
x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
x
e x dx+ +
∫
10.
x x x x dx+ +
∫
11.
x x x dx− + +
5
2
dx
x 2+ + −
∫
16.
A
( ).
ln
+
+
∫
17.
A
cos .
sin
π
π
∫
18.
+
∫
21.
A
+
∫
22.
A
! !
ln
.
−
+
∫
22.
A
sin
π
+
∫
24.
∫
dxx
28.
dx
xx
∫
+
29.
∫
−
dx
x
xx
30.
−
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
xcos xdx
π
π
∫
2.
xcos xdx
π
π
∫
3.
∫
6.
x x dx+
∫
7.
x x dx−
∫
8.
x x dx+
∫
9.
x
dx
x +
∫
dx
x x
−
+ +
∫
dx
x +
∫
dx
x+
∫
x
∫
20.
x
e cosxdx
π
π
∫
21.
cosx
e xdx
π
π
∫
22.
x
e xdx
+
∫
tgxdx
π
∫
gxdx
π
π
∫
xcosxdx
π
+
∫
x x dx+
∫
30.
dx
x x +
∫
35.
e
x
dx
x
+
∫
36.
e
x
dx
x
∫
37.
e
x x
dx
x
+
∫
38.
cos x+
∫
41.
x
dx
x+ −
∫
42.
x
dx
x +
∫
43.
x x dx+
∫
44.
dx
x x+ +
e
x
dx
x
∫
48.
e
x x
dx
x
+
∫
49.
e
x
e
dx
x
+
∫
50.
e
∫
x xdx
π
54.
x dx−
∫
55.
x dx−
∫
56.
dx
x+
∫
57.
dxe
x
∫
−
+
∫
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
sin x cos x
π
π
+ +
+
∫
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
∫
−
π
dx
x
x
∫
−
−+
+
dx
xx
x
∫
++
−
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
∫
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
e
1
1 ln x
dx
x
+
dx
6 5sin x sin x
π
− +
∫
3
4
0
tg x
dx
cos 2x
∫
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
dx
x
π
+
+
∫
∫
+
∫
π
π
dx
x
tgx
∫
−
π
dxxtg
∫
+
−
∫
+
π
xdxxe
x
∫
−+
dx
x
x
∫
+
e
dx
x
xx
0
1
dx
4 x−
∫
1
2
0
1
dx
x x 1− +
∫
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
2
2
2
3
1
1
dx
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
∫
++
−
xx
dx
∫
++
x
dx
∫
−
−
0
1x x dx+
∫
ln2
x
0
1
dx
e 2+
∫
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
2
2 3
0
IDa
̣
ng 1
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
∫
'
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx
=
=
⇒
=
=
∫
IDa
̣
ng 3:
∫
ax
ax
x
u x e
dx
dv
x
=
=
+
.%
x dx
x −
∫
2J
K
N
*+
dx
x
=
+
∫
.J
O
0D*PQ0D*
N
D2B
R
.;
N
B
N
(M
N
*+
Bài tập
e
x
dx
x
∫
e
x xdx
∫
x x dx
+
∫
e
x xdx
∫
x c dx
π
+
∫
e
x xdx
x
+
∫
x x dx
+
∫
x xdx
π
∫
Tính các tích phân sau
1)
∫
dxex
x
2)
∫
−
π
xdxx
3)
∫
−
π
xdxx
4)
∫
∫
+
dxex
x
10)
∫
π
dxxx
11)
∫
π
dxxx
12)
∫
+
π
dxxxx
Copyright: Tài liệu đại học ©