Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Chứng minh AC’
⊥
(A’BD) và AC’ vuông
góc với mặt phẳng
⊥
(CB’D’)
Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi MNP lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa
hai đường thẳng MP và C’N.
Bài 3: Cho hình hộp lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng 2. Gọi E, F tương ứng là
các trung điểm của các cạnh AB, DD
1
.
a) Chứng minh rằng EF//(BDC
1
) và tính độ dài đoạn EF.
b) Gọi K là trung điểm cạnh C
1
D
1

( )
α
.
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
µ
A
=60
o
và có
1
Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
đường cao SO bằng a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
Bài 10: Cho hình tam giác đều SABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt
phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = a; AD = 2a,
cạnh SA
⊥
mp(ABCD), cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
o
. Trên cạnh SA lấy
điểm M sao cho AM=
3
3
a
, mặt phẳng (BCM) cắt SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp
SBCNM?
Bài 12: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA

Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
c) Góc giữa đường thẳng SA và mp (SCD)
d) Gọi M, N lần lược là trung điểm của SA,SB.TÍnh tỉ số
.
.
S MNAB
S ABCD
V
V
Bài 18: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với nhau.Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng CI
⊥
SB
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BD
d) Tính tỉ số
.
.
I SAB
S ABCD
V
V
Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; các cạnh bên đều bằng
6
2
a
.Gọi
( )
α

c) Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và A
/
D.
3
Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
Bài 24: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp (AB’D’) là trọng tâm
tam giác AB’D’.
b) Tìm khoảng cách giữa hai mp (AB’D’) và mp (C’BD).
c) Tìm góc tạo bởi hai mp (DA’C) và mp (ABB’A’).
Bài 25: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’, cạnh bằng a. Giả sử M, N lần lượt là trung
điểm của BC và DD’.
a) Chứng minh rằng MN// (A’BD).
b) Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng BD và MN theo a.
Bài 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; AD = 2a; AA’ = a.
a) Gọi M là điểm nằm trong AD sao cho
3
AM
MD
=
. Tính khoảng cách từ điểm M
đến (AB’C)
b) Tính thể tích tứ diện AB’D’C.
Bài 27: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Điểm M thuộc AD’ và điểm N
thuộc BD sao cho AM = DN = k
(0 2)k a< <
a) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A’D’BC) khi k biến thiên.
c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của
AD’ và DB và MN song song với A’C.

b) Gọi A’ là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng
3
'
GA
GA
=
Bài 32: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm những điểm M trong không gian sao cho:
2 2 2
MA MB MC
+ +

Bài 33: Cho đường thẳng d:
1
1z
1
2y
2
3x
−
+
=
+
=
−
và mặt phẳng (P):
02zyx
=+++
a) Tìm giao điểm M của d và (P).
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) sao cho ∆ ⊥ d và khoảng cách từ
M đến ∆ bằng

( )
: 2 2 1 0P x y z− + − =
và các đường thẳng
2
z
3
3y
2
1x
:d
1
=
−
−
=
−
và
5
5z
4
y
6
5x
:d
2
−
+
==
−
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d

để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài 38: Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2
2
). Gọi M là
5
Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
Bài 39: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.
a) Chứng minh rằng
' ( ' ')A C AB D⊥

b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp (AB’D’) đi qua trọng
tâm của tam giác AB’D’
c) Tính khoảng cách giữa hai mp(AB’D’) và(C’BD)
d) Tính góc tạo bởi hai mp(DA’C) và (ABB’A’)
e) Tính thể tích của khối đa diện ABCA’B’
Bài 40: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.Các điểm M thuộc AD’ và N thuộc
BD sao cho AM=DN=k ,(
0 2k a< <
)
a) Xác định k để đoạn MN ngắn nhất
b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp (A’D’BC) khi k biến thiên.
c) Khi đoạn MN ngắn nhất chứng minh MN là đường vuông góc chung của AD’ và
BD và lúc đó MN song song với AC.
Bài 41: Trong không gian với hệ tọa độ

đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).
Bài 45: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hai điểm A(-1; 3; -2), B(-3;7; -18) và
mặt phẳng
( )
: 2 1 0P x y z− + + =

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
b) Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
6
Phương pháp dùng hệ tọa độ Oxyz để giải hình không gian
Bài 46: Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có
1
, 2 , 2 5AB a AC a AA a== =
và
o
120BAC
=
∧
.
Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh MB ⊥ MA