Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
1
Lê Tuấn Anh
MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ 3
Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên của hàm số. 3
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên
từng khoảng xác định) 3
Vấn đề 3: Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 5
Vấn đề 4: Tiệm Cận. 11
Vấn đề 5: Các Vấn Đề Liên Quan Đến Tiếp Tuyến 13
Vấn đề 6: Tương Giao Đồ Thị 18
Vấn đề 7: Sử Dụng Tính Chất Đơn Điệu Của Hàm Số Để Giải Phương Trình, Bất Phương
Trình, Hệ Phương Trình. 23
Vấn đề 8: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC
TRỊ VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 31
CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 32
A-Phương trình lượng giác đưa về dạng đơn giản: 33
B-Phương trình lượng giác có điều kiện: 37
CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 40
*Cần nhớ lại các dạng Hệ phương trình cơ bản: 40
A- GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ. 42
B-GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH MỚI 48
C- GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG . 52
D-HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ. 54
CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 58
A-ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO GIẢI ĐƯỢC 58
B-ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỚI 61
A-Phương trình mặt phẳng: 139
B-Phương trình đường thẳng: 140
C- MẶT CẦU 145
CHUYÊN ĐỀ 10. SỐ PHỨC 148
I)Định nghĩa: 148
II) Hai số phức bằng nhau: 148
III) Biểu diễn số phức z=a+bi trên mặt phẳng tọa độ: 148
IV) Môđun của số phức, số phức liên hợp: 148
V) Các phép toán: 148
VI) Phương trình bậc hai với hệ số thực: 148
VII) Dạng lượng giác của số phức: 149
VIII) Các dạng toán: 149
CHUYÊN ĐỀ 11. ĐẠI SỐ TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEW-TƠN 155
A-Quy tắc đếm: 156
B-Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển: 157
C-Chứng minh hệ thức và tính tổ hợp: 158
D-Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình: 159
Tuyển tập Hệ phương trình hay (Lê Nhất Duy) 160
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
3
Lê Tuấn Anh
CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ
I) Định nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K (x
1
, x
2
c) Nếu f(x) = 0, x I thì f không đổi trên I.
Chú ý: nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên của hàm số.
Để xét chiều biến thiên của hàm số y=f(x), ta thực hiện các bước sau:
Tìm TXĐ của hàm số.
Tính y' , tìm các điểm mà tại đó y'=0 hoặc y' không tồn tại (điểm tới hạn).
Lập bảng xét dấu y', từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f(x).
Ví dụ : Xét chiều biến thiên của hàm số sau:
2
4)( xxfy
-Tập xác định: D=[-2;2]
2
4
'
x
x
y
Cho
00' xy
-Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;0),hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
mmm
Vậy các giá trị m cần tìm là:
50 m
b) Hàm số đã cho đồng biến trên
);1[
khi và chỉ khi:
);1[;01)12(2'
2
xmxmxy
.
Điều này tương đương với:
);1[;
14
2
)(0)14(2
2
2
xm
x
xx
xgxmxx
hay:
mxg
x
Bảng biến thiên:
x
1
g’(x)
-
g(x)
5
1 0
Ta thấy
5
1
)1()(max
);1[
gxg
x
. Do đó các giá trị m cần tìm là
5
1
m
.
c) Hàm số đã cho nghịch biến trên (0;1) khi và chỉ khi:
1
;0)0(;
]1;0[
2
1
]1;0[1
0
)14(
224
)('
2
2
ggg
)2(
344
'
2
2
2
xmxxxgx
x
mxx
y
Vì g(x) liên tục tại x=0 và x=1 nên:
]1;0[;434)(
2
xmxxxg
hay:
mxg
x
4)(min
]1;0[
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
5
Lê Tuấn Anh
Bài 2: Tìm các giá trị của m đề hàm số
1)23(
3
1
23
xmmxxy
đồng biến trên khoảng (1;2)
Đáp số:
5
1
m
.
Vấn đề 3: Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều
kiện cho trước
Một số kiến thức cần nhớ:
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm
0
x
, có đạo hàm trên
}{\);(
0
xba
, và có đạo hàm
khác 0 tại
0
x
, khi đó:
- Nếu f'(x) đổi dấu khi đi qua
0
x
.
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m đề hàm số
2
3
1
23
mxmxxy
có hai cực trị
21
;xx
thỏa mãn:
4
21
xx
Giải
Hàm số đã cho có 2 cực trị phân biệt khi phương trình:
032'
2
mmxxy
có 2 nghiệm thực
phân biệt
21
;xx
, tức là:
21
nên (*) tương đương với:
4
1
016124
2
m
m
mm
So với điều kiện ban đầu, kết luận các giá trị m cần tìm là:
1m
hoặc
4m
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số
1
9
50
)12(
2
1
3
1
6
2103
6
2103
0
9
50
.412
2
m
m
m
(*)
Theo đề ta có:
21
2xx
Theo định lý Viet ta cũng có:
3
12
12
221
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
1)1(3)1(3
23
xmxmxy
có hai cực trị, đồng
thời đường thẳng nối hai cực trị đi qua điểm A(0;-3).
Giải
Ta có:
)1(3)1(63'
2
mxmxy
Điều kiện để hàm số đã cho có 2 cực trị phân biệt là:
2
1
023
2
m
m
mm
(*)
Thực hiện phép chia đa thức y cho y’, ta được:
mmxmmy
m
03223
22
m
m
mmmm
So điều kiện ta thấy hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*), vậy có 2 giá trị m thỏa mãn điều
kiện đề bài là: m=-1 và m=3.
Ví dụ 4: Tìm tham số m để hàm số
4)1(
23
xmxy
có 2 điểm cực trị phân biệt đối xứng với
nhau qua đường thẳng (d): x - 2y -3=0.
Giải
4
27
)1(4
3
mm
BA
,gọi
4
27
)1(2
;
3
1
3
mm
I
là trung điểm AB.
1
0
27
)1(4
3
)1(4
1
0.
3
3
mmxmmxxy
3223
133
. Tìm tham số m để khoảng cách từ
điểm cực tiểu đến gốc tọa độ gấp 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ?
Giải
mxy
mx
mx
mxmxmmxxy
66"
1
1
0)1)(1(30)1(363'
22
Dễ thấy: A(m-1;2-2m) là điểm cực đại, B(m+1;-2m-2) là điểm cực tiểu.
.
Đáp số: m=-2
Bài 3: Cho hàm số
23
23
xxy
có đồ thị (C), qua điểm uốn I của đồ thị (C) viết phương
trình đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm A,B khác I sao cho tam giác MAB vuông tại M, trong
đó M là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Đáp số: các đường thẳng qua I lần lượt có các hệ số góc là
2
51
2
k
k
.
Bài 4: Cho hàm số
23
23
xxy
có đồ thị (C), tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
của (C) tiếp xúc với đường tròn:
a
b
thì hàm số có 3 cực trị phân biệt, hơn nữa chúng tạo thành 1 tam giác cân có đỉnh
nằm trên trục Oy.
- Nếu
0
2
a
b
thì hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất A(0;c).
Ví dụ 1: (TSĐH Khối A-2012) Cho hàm số:
Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của 1 tam giác vuông?
Giải
1
0
0)1(4)1(44'
2
23
mx
x
mxxxmxy
. So điều kiện suy ra m=0.
Ví dụ 2: Cho hàm số
12
24
mmxxy
, tìm m để hàm số có 3 cực trị lập thành 1 tam giác
có:
a) Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
b) Có diện tích bằng 1.
Giải
a)Ta có:
mx
x
mxxmxxy
2
23
0
0)(444'
Để hàm số có 3 cực trị phân biệt thì m>0. Tọa độ 3 điểm cực trị là:
1;)1;0(1;
22
mmmCmBmmmA
11
1)1(
11
2
2
2
2
2
2
bm
bm
bmmm
bm
bmmm
-Với m-1-b=1thì:
224
)1(2 mxmxy
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
9
Lê Tuấn Anh
.
b)
*Cách 1: gọi H là trung điểm AC.
11111.2.
2
1
.
2
1
22
mmmmmmmmyyxBHACS
CBCABC
-Khi
1m
thì phương trình tương đương với:
11
2
mmm
(nhận).
- Khi
10 m
thì phương trình tương đương với:
(*)1)22(
2
1221
2
1
yxyxS
ABC
1112
2
1
);();(
22
22
mmmmmS
mmBCmmBA
ABC
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
2
6
2
24
m
mxxy
có ba điểm cực
4
3
6;
2
;
4
3
6;
4
3
6;
2
;
4
;
2
22
mm
OC
mm
BA
Vì ABOC là hình bình hành nên:
6
4
3
6
4
22
22
)(
)(
2
Nếu điểm
0
x
là cực trị thì giá trị cực trị có thể tính bằng 2 cách:
)('
)('
)(
)(
)(
0
0
0
0
0
xh
xg
xh
xg
xy
Do đó đường thẳng qua 2 cực trị của hàm số là:
)('
)('2
xh
xg
mxx
y
Để hàm số có 2 cực trị phân biệt thì phương trình
0522
2
mxx
có 2 nghiệm thực phân
biệt:
2042' mm
Đường thẳng qua 2 cực trị:
mxy 22
Gọi A(a;-2a+2m) B(b;-2b+2m) là 2 cực trị của hàm số. Khi đó theo định lí Viet ta có: a+b=2 và
a.b=2m+5
Theo đề ta có:
0)(24
0)2)(2(
0222222
022
2
mbamab
mbma
0
xx
được gọi là Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x) nếu một trong các điều
kiện sau được thỏa:
)(lim)(lim)(lim)(lim
0000
xfxfxfxf
xxxxxxxx
- Đường thẳng
0
yy
được gọi là Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất 1trong các
điều kiện sau được thỏa:
00
)(lim)(lim yxfyxf
xx
- Đường thẳng y=ax+b (a khác 0)được gọi là Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất 1
trong các điều kiện sau được thỏa:
0)(lim0)(lim
baxxfbaxxf
xx
)(
thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ 1: Cho hàm số
xm
x
xfy
12
)(
có đồ thị (C),tìm tham số m để đường thẳng x+y=1 tạo
với 2 đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích bằng 2?
Giải
Tiệm cận đứng: x=m, tiệm cận ngang: y=-2, I(m;-2) là giao điểm hai tiệm cận.
Đường thẳng (d) cắt TCĐ tại A(m;1-m).
Đường thẳng (d) cắt TCN tại B(3;-2).
Theo đề ta có:
1
5
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
12
Lê Tuấn Anh
2
0
''.
'.'.
2222
baba
bbaa
Cos
*Cách 2:
mx
xmmx
y
3
2)23(
22
, tìm m để đồ thị hàm số có 2
đường tiệm cận hợp với nhau góc
0
45
?
Giải
Tiệm cận đứng: x=-3m có VTPT:
)0;1(a
,
Tiệm cận xiên: y=mx-2 có VTPT:
)1;( mb
và hệ số góc k=m
Cách 1: Ta có:
1
1
2
1
45
2
x
mxx
y
hợp với 2 trục tọa độ 1 tam giác
có diện tích bằng 4?
Đáp số:
221m
Bài 2: Cho hàm số:
2
1
x
x
y
(C). Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai
tiệm cận là nhỏ nhất?
Đáp số:
31;32
2;1
M
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
13
Lê Tuấn Anh
)()(
xgxf
xgxf
3) Nếu
baxxfyC )(:)(
1
và
hqxpxxgyC
2
2
)(:)(
tiếp xúc với nhau thì phương trình
baxhqxpx
2
có nghiệm kép.
*** Một số dạng toán cơ bản về tiếp tuyến:
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d: y=ax+b thì hệ số góc của (t) là k=a.
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d: y=ax+b (a khác 0) thì hệ số góc của (t) là k=-1/a.
- Tiếp tuyến đi qua điểm M(a;b) thỏa mãn:
)()('
000
xfxaxfb
Giải phương trình tìm tọa độ tiếp điểm.
-Tiếp tuyến hợp với đường thẳng (d): ax+by+c=0 góc
với
x
y
, phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x
0
;y
0
) có dạng:
2
2
)(
)2(
4
:)(
0
0
0
2
0
x
x
xx
x
yd
Từ đó ta viết được 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài: x+y+1=0 và x+y-7=0
Ví dụ 2: (TSĐH KA-2011) Cho hàm số
12
1
x
x
y
có đồ thị (C), chứng minh rằng với mọi m,
đường thẳng (d): y=x+m luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A,B. Gọi
21
,kk
lần lượt là hệ số
góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B, tìm m để tổng
21
kk
đạt giá trị lớn nhất?
Giải
Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình:
(*)0122
12
1
2
mmxx
y
2
2121
2121
2
21
2
2
2
1
21
1)(24
2484
)12(
1
)12(
1
xxxx
xxxxxx
xx
x
y
, phương trình tiếp tuyến tại
))(;(
00
xfxM
có dạng:
2
0
0
2
0
2
0
0
0
2
0
0
1
12
1
2
1
1
1
1;
1
2
2
0
x
n
, I(1;1)
Khoảng cách từ I đến (t) là:
2
0
2
0
4
0
0
4
0
2
0
0
2
0
2
0
x
x
x
x
x
xx
x
d
Để khoảng cách d lớn nhất thì
2
0
2
0
1
4
1
x
x
nhỏ nhất, mặt khác:
4
1
0
2
0
2
0
x
x
x
Ví dụ 4: Cho hàm số
13
23
xxy
có đồ thị (C), tìm 2 điểm A,B thuộc (C) sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A và B song song với nhau, đồng thời
24AB
?
Giải
xxxfy 63)(''
2
, giả sử:
babbbBaaaA )13;(),13;(
2323
Vì tiếp tuyến tại 2 điểm A và B song song với nhau nên:
20)2)((6363)(')('
22
aaa
abababababa
aabbabAB
Vậy A(3;1), B(-1;3)
Ví dụ 5: Cho hàm số
13)(
3
xxxfy
có đồ thị (C), tìm m để đường thẳng (d): y=mx+m+3
cắt (C) tại 3 điểm M(-1;3), N,P phân biệt sao cho tiếp tuyến tại N và P vuông góc nhau?
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
(*)02
1
0)2)(1(
133
2
2
3
mxx
x
mxxx
2
2
22
PNPNPNPN
xxxxxxxx
Áp dụng định lí Viet, ta được:
3
223
0118910)2(219)2(9
22
mmmmm
So điều kiện ta thấy hai giá trị này thỏa mãn.
Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:
296
23
xxxy
tại điểm M
thuộc (C), biết rằng M cùng với hai điểm cực trị của (C) tạo thành một tam giác có diện tích bằng
6.
Giải
.9123'
2
xxy
Đồ thị có 2 điểm cực trị là: A(3;-2) và B(1;2).
Giải sử:
.)4(2
2
1
0
0
0
2
0
3
0
2
0
2
0
3
00
22
x
x
xxx
xxxx
Suy ra: M(0;-2) hoặc M(4;2). Do đó có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu: y=9x-2 và
y=9x-34.
Ví dụ 6: Cho hàm số
xxy 3
3
có đồ thị (C). Tìm những điểm trên đường thẳng y=2 mà từ đó
kẻ đúng ba tiếp tuyến đến (C)?
Thế k từ phương trình thứ 2 vào phương trình đầu của hệ và thu gọn ta được:
(*)023)23(2)(
1
023)23(2)1(
00
2
00
2
xxxxxf
x
xxxxx
Theo đề ta có yêu cầu pt(*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
(**)
3/2
2
0)1(6)1(
012129
0
0
0
0
5
27
;
5
22
);2;0();1;1( CBA
. Viết phương
trình tiếp tuyến (d) với đồ thị (C), biết rằng giao điểm của (d) và đường thẳng y=x+1 chính là
trọng tâm của tam giác ABC.
Giải
Tiếp tuyến của (C) tại M(x
o
;y
0
) có dạng:
1
3
2
1
2
0
3
0
x
xx
xxxxxx
(1)
Tung độ giao điểm tương ứng là:
23
332
;
23
32
5
9
3
5
14
3
5
kiện đề bài là:
2616 xy
và
125
206
25
16
xy
Ví dụ 8: Cho hàm số:
1)13(2
3
1
23
xmmxxy
(C
m
). Viết phương trình tiếp tuyến (t) của
đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm các giá trị của m để giao điểm của (t) và đường thẳng
(d): y=2x cách đều các trục tọa độ.
Giải
Phương trình tiếp tuyến của (C
m
) tại
y
m
m
xxmmx
Giao điểm của (t) và (d) cách đều hai trục tọa độ khi và chỉ khi:
6
1
|16|2|16|
)27(3
212
)27(3
16
mmm
m
m
m
m
Vậy m=1/6.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hàm số
2
32
x
y
có đồ thị (C),gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận, tìm những điểm
M trên (C) biết tiếp tuyến tại M cắt 2 đường tiệm cận tại 2 điểm A và B sao cho đường tròn ngoại
tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất?
Đáp số: M(1;1) và M(3;3)
Bài 4*: Cho hàm số
1
12
2
x
xx
y
có đồ thị (C),tìm 4 điểm trên đường thẳng y=7 sao cho qua
mỗi điểm ta vẽ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến ấy hợp với nhau góc
0
45
?
Đáp số:
7;2257;2257;
3
623
7;
3
623
4321
tại 2 điểm A,B phân biệt sao cho
5
2
AB
?
Đáp số: m=0 hoặc m=-48/29
Bài 6: Cho hàm số
1
32
x
x
y
có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
tạo với 2 đường tiệm cận 1 tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất?
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
13
3
xxy
, biết tiếp tuyến tạo với đường
thẳng (d):y=x+3 một góc
sao cho
41
5
cos
Cho phương trình:
0
01
1
1
axaxaxa
n
n
n
n
(*) (n nguyên dương), gọi k
là các ước số của
)(;
0
Zka
, p là các ước số của
)(;
Zpa
n
, khi đó nếu phương
trình (*) có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó là một trong các giá trị:
p
k
. Sau đó dùng lượt
đồ Hooc-ne phân tích thành nhân tử, đưa về phương trình tích.
Ví dụ 1: Đưa các phương trình sau về phương trình tích:
2
mmxxmxBài tâp rèn luyện: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
12)1(2)
212213)
)13()32(2)
24
22223
23
mxmxCc
mxmmmxmmxBb
mxmxmxAa
Ví dụ 2: (TSĐH KA-2010) Cho hàm số
mxmxxxfy )1(2)(
23
(C), tìm m để đồ thị (C) cắt
trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
321
,, xxx
sao cho
4
2
3
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
19
Lê Tuấn Anh
4/1
0
041
0
m
m
m
m
Gọi
32
,xx
là nghiệm của (*), theo đề:
3234
m
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d
m
): y=mx-m cắt đồ thị hàm số
1
12
2
x
xx
y
tại hai điểm A,B phân biệt sao cho tam giác ABC vuông tại đỉnh
2;1C
.
Giải
Đường thẳng d
m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau đây có hai nghiệm
phân biệt khác 1:
01)1(2)1(
1
12
2
2
m
Rm
m
m
mmm
mmm
m
Với điều kiện đó, gọi x
1
;x
2
là các nghiệm của phương trình (*); các giao điểm của d
m
và (C) là:
A(x
1
;mx
1
-m); B(x
2
;mx
2
-m)
Ta có:
1;;1;1
2211
mmxxCBmmxxCA
.1
012211
011110.
2
2
2
2121
2
2121
m
m
mm
mmm
m
m
m
mxxmmxxm
mmxmmxxxCBCA
So điều kiện, ta nhận m=0.
Ví dụ 3: Cho hàm số
32)2(23
23
mxmxxy
(1), tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt (d): y=x-2
tại 3 điểm phân biệt K(1;-1), M,N sao cho tam giác AMN cân tại A và có diện tích bằng
26
, biết
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
m
m
m
Khi đó:
)2;();2;(
2211
xxNxxM
, theo định lí Viet:
2
21
xx
nên dễ dàng thấy được K là
trung điểm MN. Nhận thấy
)3;3( KA
vuông góc với VTCP của (d) nên tam giác AMN vuông
cân tại A.
Ta có:
21
2
12
2
1
12
2
2
mxmx
x
x
mx
(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt vì:
mm ,08
2
Gọi
BA
xx ,
là nghiệm phương trình (*), OH là đường cao của tam giác OAB, ta có:
(**)32
2
1
ABOHABOHS
OAB
Khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) là:
5
m
OH
2
222
vnm
mm
mmmm
Vậy m=2, m=-2.
Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số
12
24
mmxxy
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành
độ
4321
,,, xxxx
sao cho:
20
4
4
4
3
4
2
4
1
xxxx
.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
21
, XX
phân biệt, tức là:
51
01'
01
02
2
m
mm
m
m
10220220
21
2
21
2
2
x
mx
y
. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y=2x-1 cắt đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm A,B phân biệt sao cho OA
2
+OB
2
=14 (với O là gốc tọa độ)
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y=2x-1 và đồ thị hàm số đã cho:
0142
1
12
2
mxx
x
mx
x
Điều kiện để phương trình này có 2 nghiệm phân biệt, khác 1 là: m>-1
Lại có:
1
.
2
m
xx
xx
BA
BA
Suy ra phương trình:
1128145 mm
(thỏa điều kiện).
Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 7: Cho hàm số
1
1
x
x
y
(C) và hai điểm A(3;0); B(-1;2). Tìm điểm M trên đồ thị (C)
sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cũng chính là đường trung tuyến của tam giác MAB
Giải
Trung điểm của AB là I(1;1)
Vì tiếp tuyến của (C) không thể có dạng x=a hoặc y=b nên đường thẳng (d) qua I, tiếp xúc với
(C) có dạng y=a.(x-1)+1 với
M
y
x
x
x
y
xy
Thế vào phương trình (*) ta được m=1 (thỏa điều kiện). Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm m để đồ thị hàm số
2)5(24
23
mxmmxxy
cắt trục Ox tại 3 điềm có hoành độ
321
,, xxx
1
x
x
y
, gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận, tìm m để đường thẳng
y=m(x-1)+2 cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho IA=IB?
Bài 4: Tìm m để trên đồ thị hàm số
mmxxmxy 35)3(26
23
ta có đúng 3 điểm A,B,C phân
biệt, sao cho:
12
12
12
3
3
3
CC
. Viết phương trình đường thẳng
(d) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm P,Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành?
Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số
)1(
3
1
3
xmxy
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt?
Đáp số:
4
9
m
Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số
2
3
mxxy
cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất?
Đáp số: m> -3
Bài 8: Cho hàm số
23
)12( xmxy
(C
m
). Tìm m để đường thẳng
121
22
mxmmy
Đáp số:
4
9
;0)4;6(m
Hội Cựu Học Sinh Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh
23
Lê Tuấn Anh
Bài 10: Cho hàm số
23
3
xxy
(C) có hai điểm cực trị là A và B. Tìm điểm M thuộc (C) sao
cho tam giác MAB cân tại M
Đáp số:
Vấn đề 7: Sử Dụng Tính Chất Đơn Điệu Của Hàm Số Để Giải Phương Trình,
Bất Phương Trình, Hệ Phương Trình.
A-GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nhớ lại tính chất đơn điệu của hàm số:
Hàm số y=f(x) đồng biến trên K
(
x
1
, x
2
K, x
1
< x
2
f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số y=f(x) nghịch biến trên K
(
16
9
2
2
x
x
x
x
Phương trình:
0
65
11169
222
x
xxx
Xét hàm số:
Hàm số đồng biến trên khoảng
);4(
-Nếu x>5 thì f(x)>f(5)=0
-Nếu 4<x<5 thì f(x)<f(5)=0
Vậy x=5 thì f(x)=f(5)=0. Suy ra phương trình có 1 nghiệm duy nhất x=5.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
659)13(553
2
4
3
xxxxx
ĐK:
5x
Xét hàm số:
);5[:659)13(553)(
2
4
3
DTXDxxxxxxfy
Phương trình tương đương với: f(x)=0
5,019
54
1
53
2
xxxx
ĐK:
2/1x
22
22
)5(5)12(12
2510514412(*)
xxxx
xxxxxx
Xét hàm số:
);0[:)(
2
DTXDtttfy
0,02
2
1
' tt
t
y
Hàm số đồng biến trên khoảng
);0(
Hàm số đồng biến trên
);0(
Lập luận như ví dụ trên, suy ra đượcnghiệm của phương trình là: x=2
Ví dụ 5: Giải phương trình:
1)1ln( xe
x
ĐK: x>-1
Xét hàm số:
);1(:1)1ln()( DTXDxexfy
x
Dx
x
ey
x
ey
xx
,0
)1(
1
"
1
1
2: xĐK
212221)22(
1228412(*)
2
2
22
xxxx
xxxxx
Xét hàm số:
);2[:21)(
2
DTXDtttfy
2,0
2
12
1
'
2
t
t
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
yyxx 251252)14(
2
Xét hàm số:
);0[:4)14()(
32
DTXDtttttf
tttfy ,0112)(''
2
Hàm số đồng biến trên D
Phương trình trở thành:
yfxf 25)2(
, suy ra:
2
45
0
4
3
;0:74322
2
5
4)(
2
22
DTXDxxxxgy
)4/3;0(,0
43
4
)34(4
43
4
2
2
5
88'
2
2
2
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm: x=1/2, y=2.
Ví dụ 8: (TSĐH Khối A-2013) Giải hệ phương trình:
)2(016)1(2
)1(211
22
4
4
yyyxx
yyxx
1: xĐK
Copyright: Tài liệu đại học ©