BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Trần Thị Mỹ Dung

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN
TRONG DẠY HỌC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ở LỚP 10 Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
LỜI CẢM ƠN
GK
CB
: Sách giáo khoa toán đại số 10 cơ bản hiện hành
GK
NC
: Sách giáo khoa toán đại số 10 nâng cao hiện hành
BT
9
: Sách bài tập toán đại số 9 – tập 2 hiện hành
BT
CB
: Sách bài tập toán đại số 10 cơ bản hiện hành
BT
NC
: Sách bài tập toán đại số 10 nâng cao hiện hành
GV
9
: Sách giáo viên toán đại số 9 – tập 2 hiện hành
GV
CB
: Sách giáo viên toán đại số 10 cơ bản hiện hành
GV
NC
: Sách giáo viên toán đại số 10 nâng cao hiện hành
TCTH : Tổ chức toán học
OD : Tổ chức didactic
Hệ (m, n) : Hệ gồm m phương trình và n ẩn số
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
PTTT : Phương trình tuyến tính

Tìm và học được một tri thức cho bản thân mình quả thực có ý nghĩa, nhưng khai
sáng tri thức cho nhiều người còn ý nghĩa hơn hàng vạn lần. Là giáo viên giảng dạy
toán, điều
mà chúng tôi mong muốn nhất là có một bài giảng thật hay gắn với đối
tượng tri thức nhắm đến. Một bài giảng không phải là bài thuần lý thuyết mà là để sau
đó, học sinh còn có thể thấy được sự cần thiết phải học tri thức ấy, phải thấy rằng biết
được tri thức ấy là hé mở ra một chân trời cho nhiều ứng dụng, ích lợi cho thực tế cuộc
sống. C
hính vì vậy, chúng tôi muốn nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học
hệ PTTT.
Tri thức phổ thông là nền tảng cơ bản để từ đó mỗi người có thể tự mình tìm đến
miền tri thức cao hơn, xa hơn. Với ý nghĩa đó, chúng tôi chọn thời điểm nghiên cứu
thực hành của GV trong dạy học hệ PTTT là ở lớp 10 – lớp cuối cùng mà hệ PTTT
chính thức được dạy.
Như vậy, ngoài câu hỏi Q1’, chúng tôi còn tìm kiếm những yếu tố trả lời thích

đáng cho các câu hỏi sau:
Q2’: Gắn với đối tượng hệ phương trình tuyến tính, chương trình toán phổ thông
hiện hành quy định dạy những gì và dạy như thế nào? Có sự khác biệt gì so với tri
thức toán học? Có những yếu tố nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng nó đã không được xây
dựng?
Q3’: Trong thực tế dạy học, giáo viên đã giảng dạy tri thức ấy như thế nào? Có

sự khác biệt, tương đồng nào giữa tri thức toán học, tri thức trình bày trong s
ách giáo
khoa (SGK) và tri thức được dạy?
Q4’: Những sự lựa chọn của chương trình, SGK phổ thông và của giáo viên đã

động tác nghiệp của giáo viên. Trong những công cụ đó, chúng tôi giữ lại các khái
niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học khi tìm kiếm các yếu tố trả lời cho bốn câu
hỏi trên. Các khái niệm đó là: Chuyển đổi didactic, Tổ chức toán học, Quan hệ thể
chế, Tổ chức didactic, Quan hệ cá nhân.
Dưới đây chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra tính t
hỏa đáng cho sự lựa chọn phạm vi lý
thuyết của mình.

C
C
h
h
u
u
y
y
ể
ể
n
nđ
đ
ổ
ổ
i
i

T
T
ổ
ổc
c
h
h
ứ
ứ
c
ct
t
o
o
á
á
n
nh
h
ọ

t
h
h
ể
ểc
c
h
h
ế
ế

Theo quan điểm chuyển đổi didactic, một nghiên cứu tri thức dưới góc độ tri thức
cần dạy trong chương trình, SGK chính là một tiêu chuẩn tham
chiếu để xem xét, đánh
giá tính thỏa đáng của tri thức được giáo viên giảng dạy. Do đó, ta cần phải chỉ ra
quan hệ của thể chế I đối với đối tượng tri thức O. Cụ thể, O chính là hệ PTTT và I là
thể chế dạy học toán bậc THPT hiện hành.
Để nghiên cứu quan hệ thể chế, đòi hỏi ta phải tiếp cận từ góc độ s
inh thái học.
Theo cách tiếp cận này, một đối tượng tri thức O không thể tồn tại lơ lửng mà chúng
phải nằm trong một thể chế I và có mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác.
O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Chevallard đã dùng thuật ngữ
quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc m
à

i
i
c
c
.
.Q
Q
u
u
a
a
n
nh
h
ệ
ệc
c
á
á
3. Mục đích nghiên cứu của luận văn
Trong khuôn khổ của luận văn này, do điều kiện về thời gian nên chúng tôi phải
gác câu hỏi Q4’ lại để tập trung vào giải quyết thỏa đáng cho ba câu hỏi Q1’, Q2’,
Q3’. Và trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, ba câu hỏi này được trình bày lại
như sau:
 Q1: Nhìn từ góc độ một tri thức toán học
Xét trên phương diện đối tượng, có những kỹ thuật nào để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ
thuật nẩy si
nh từ nhu cầu giải quyết những kiểu bài toán nào? Đâu là các yếu tố công
nghệ, lý thuyết của từng kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt nào được sử dụng và nó
mang lại thuận lợi gì?
Xét trên phương diện công cụ, có những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng
công cụ hệ PTTT? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; sự mô hì
nh hóa gắn
với hệ PTTT đã mang lại những thuận lợi gì?
 Q2: Nhìn từ góc độ tri thức cần dạy ở lớp 10
Xét trên phương diện đối tượng, những kỹ th
uật nào đã được khai thác để giải
hệ? Có hay không các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật? Tham
chiếu với tri thức toán học, kỹ thuật nào đã không có cơ hội xuất hiện? Kỹ thuật nào lẽ
ra có thể tồn tại nhưng đã không tồn tại?
Tại sao? Những hệ thống biểu đạt nào đã
được sử dụng và chúng có ảnh hưởng gì? Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa có được
thể chế quan tâm đến hay không?
Xét trên phương diện công cụ, những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng
công cụ hệ PTTT đã được đưa vào? So với tri thức tham chiếu, những kiểu nhiệm vụ
nào đã không được k
hai thác? Những kiểu nhiệm vụ nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã
không tồn tại? Vì sao? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt được tính đến như
thế nào? Vấn đề dạy học mô hình hóa được thể chế quan tâm đến như thế nào?

hành phân tích chương trình toán trung học phổ thông và phân tích các sách giáo khoa
toán lớp 10 hiện hà
nh để trả lời cho câu hỏi Q2. Nghiên cứu này sẽ được trình bày
trong chương 2.
 Nghiên cứu ở hai chương đầu cho phép chúng tôi dự đoán những gì có thể tồn
tại trong lớp học, những điều kiện, ràng buộc trên hoạt động dạy của giáo viên, hoạt
động học của học sinh, sự tiến triển và t
hời điểm quan trọng nhất của việc học, Đây
là cơ sở để tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 – tiến hành phân tích thực hành của
GV. Kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày trong chương 3. Trong chương này, ngoài
việc chỉ ra các TCTH thực sự được GV dạy trong lớp học, chúng tôi cũng sẽ làm rõ tổ
chức didactic mà GV lựa chọn để triển khai các TCTH đó. Cụ thể, dựa vào lý thuyết
sáu t
hời điểm nghiên cứu trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ xác định các
thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà GV đã triển khai. Ngoài ra, từ
quan điểm chuyển đổi didactic, chúng tôi sẽ chỉ ra sự chênh lệch (nếu có) giữa TCTH
được GV dạy trong lớp học với TCTH cần phải dạy.
Q1 Tri thức toán học
Q2 Quan hệ thể chế
Giáo Viên
Q3
 Kết quả nghiên cứu ở ba chương đầu cho phép chúng tôi đưa ra những kết
luận gắn với thực tế dạy học và là cơ sở để phát triển tổ chức didactic. Dựa vào những
kết quả thu được từ chương 3, từ việc đánh giá các tổ chức toán học và tổ chức

an và tư liệu,
chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu gốc trên các tài liệu lịch sử toán học.
Cùng với vài tài liệu lịch sử tìm được, chúng tôi sẽ tìm kiếm câu trả lời cho những câu
hỏi trên trong một số giáo trình dành cho sinh viên toán các trường đại học sư phạm,
tổng hợp, kỹ thuật, kinh tế.
Hệ PTTT là một đối tượng xuất hiện trong nhiều phân m
ôn toán học: đại số tuyến
tính, phương pháp tính và hình học. Chúng tôi sẽ phải xem xét giáo trình của tất cả các
phân môn này. Như thế, hệ thống tư liệu tham khảo của chúng tôi gồm 4 nhóm :
 Nhóm giáo trình đại số tuyến tính: Những giáo trình sau đã được chúng tôi xem
xét :
- Nguyễn Viết Đông – Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ
(2003), Toán cao cấp, tập 2, NXB Giáo dục
- Tạ Văn H
ùng – Nguyễn Phi Khứ - Hà Thanh Tâm (2000), Đại số tuyến tính,
NXB Thống Kê
- Trần Văn Hãn (1996), Đại số tuyến tính trong kỹ thuật, Tủ sách trường Đại
học Đại Cương, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp
- V.V. Voevôđin (1983), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và trung học
chuyên nghiệp, NXB “Mir” Hà Nội – Maxcova. Bản dịch của NXB ĐH và
THCN.

 Nhóm giáo trình hình học: Phân môn Hình học chỉ có trong chương trình dành
cho các trường đại học sư phạm và tổng hợp. Giáo trình mà chúng tôi đã tham khảo là:
- Nguyễn Mộng Hy (2001), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục
 Nhóm giáo trình phương pháp tính:
- Nguyễn Chí Long (2002), Phương pháp tính, NXB ĐHQG TP.HCM
- Trần Văn Trản (2007), Phương pháp số thực hành, tập 1, NXB ĐHQG Hà
Nội
- Lê Văn Hạp – Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp tính và các thuật toán,

1
.
.H
H
ệ
ệP
P
T
T
T
T
T
Tv
v
à
àc
c
á

uđ
đ
ạ
ạ
t
tMột hệ PTTT c
ó thể được biểu thị ít nhất bằng ba ngôn ngữ.
 Một hệ gồm m phương trình của n ẩn số x
1
, x
2
, , x
n



*
m,n  có dạng
(1.1)
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b

n



nj ,1 vào các phương trình của hệ (1.1) ta nhận được các đồng nhất thức trên
K.
 Phương trình ma trận
Bằng cách đưa vào các kí hiệu

11 12 1n
21 22 2n
ij
mxn
m1 m2 mn
a a a
aa a
Aa

a a a












x

x








Cách viết này được gọi là dạng m
a trận của hệ phương trình (1.1).
 Phương trình vectơ
Ta còn có thể viết hệ phương trình (1.1) dưới dạng
mibxa
i
n
j
jij
,1;.
1



.
Nếu kí hiệu ,




2
A
2
+ + x
n
A
n
= B (1.3) hay .



n
j
jj
BAx
1
“Ta cũng bảo cột tự do B được biểu thị tuyến tính qua hệ n cột


12 n
A , A , , A của A bởi tổ hợp tuyến tính x
1
A
1
+ x
2
A
2
+ + x
n

chúng tôi đã tham khảo đều trình bày khái niệm hệ PTTT bằng ngôn ngữ ma trận.
Lúc này, việc giải một hệ PTTT tương đương với việc giải một phương trình ma
trận. Ở đây, người ta chỉ thực hiện biến đổi trên ma trận số. Như chúng tôi sẽ chỉ ra
trong phần dưới, khi làm rõ những tổ chức to
án học gắn với kiểu nhiệm vụ “giải hệ
PTTT”, chính cách biểu đạt này đã mang lại nhiều lợi thế cho việc tìm các kỹ thuật
giải quyết vấn đề.
Ưu thế của cách biểu đạt hệ PTTT bằng ma trận dường như không còn giữ được
với ngôn ngữ vectơ. Tuy nhiên, loại ngôn ngữ thứ ba này lại cho thấy vai trò công cụ
của hệ PTTT đối với bài toán “biểu t
hị tuyến tính một vectơ qua một hệ hữu hạn
vectơ”. Vấn đề này sẽ được chúng tôi làm rõ hơn trong phần 1.2 (hệ PTTT trên
phương diện công cụ) của chương.
1
1
.
.
1
1
.
.
2
2
.
.V
V
ề

mv
v
ụ
ục
c
o
o
n
nc
c
ủ
ủ
a
ak
k
i
i
ể

“
G
G
i
i
ả
ả
i
ih
h
ệ
ệp
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g


n
h
h
”
”

Luận văn Thạc sĩ “Algorith và tham số trong dạy - học chủ đề phương trình ở
trường THPT. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất
nhiều ẩn” của tác giả Nguyễn
Thùy Trang (2005), ĐHSP Tp.HCM rất gần với vấn đề mà chúng tôi nghiên cứu trong
phần này. Tác giả đã đề cập đến các tổ chức to
án học (TCTH) gắn với hai kiểu nhiệm
vụ: - giải hệ PTTT không chứa tham số và - giải hệ P
TTT có chứa tham số
(R, D tương ứng là chữ cái đầu tiên của hai từ résoudre, discuter trong tiếng Pháp. Ở
đây hai từ này được sử dụng với nghĩa “giải” và “biện luận”). Trong bảng 1.1 và
bảng 1.2 dưới đây, chúng tôi liệt kê lại những kỹ thuật mà tác giả đã chỉ ra để giải
quyết các kiểu nhiệm vụ , . Hệ thống ký hiệu của tác giả đư
ợc chúng tôi giữ
nguyên. Để tránh sự dài dòng không cần thiết, chúng tôi sẽ không nêu ở đây các yếu tố
công nghệ và lý thuyết mà tác giả đã làm rõ.
(m,n)
R
T
(m,n)
RD
T

- Kỹ thuật Cholesky
Rac

- Kỹ thuật căn bậc hai
Orth

- Kỹ thuật trực giao
Ite

- Kỹ thuật lặp đơn
(m,n)
R
T
Giải hệ PTTT
không chứa
tham số
Giải
gián
tiếp
Sei

- Kỹ thuật Seidel

Bảng 1.2: Các kỹ thuật giải hệ PTTT có chứa tham số
Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật
(m,n)
Cr
 - Kỹ thuật đưa về hệ Cramer
Cramer
 - Kỹ thuật Cramer (định thức)

Cramer. Rõ ràng, sự khác biệt ấy nằm ở chỗ hệ phương trình có phải là hệ Cramer hay

không. Vì hai lý do này mà chúng tôi sẽ tách T thành hai kiểu nhiệm vụ con là
C
T
-
“giải hệ phương trình Cramer không chứa tham số”
và
C
T
- “giải hệ không có tham
số và r”
việc nghiên cứu sách giáo khoa cũng
như p

1
1
.
.
1
1
.
.
3
3
không phải là hệ Crame
.
Đối với kiểu nhiệm vụ
ts
T thì thay cho kỹ thuật Cramer (bảng 1.2) chúng tôi sẽ

(n,n)
ts
T
- Giải hệ (n, n) c
ó
tham số .
.

V
V
ề
ềc
c
á
á
c
ck
k

y
y
ế
ế
t
tk
k
i
i
ể
ể
u
un
n
h
h
i
i
ệ
ệ
m
m
thành Gauss nguyên thủy, Gauss với phép chọn bán phần, Gauss với phép chọn toàn
phần. Hơn thế, đối với từng kỹ thuật, chúng tôi cũng sẽ cố gắng chỉ rõ nguồ

Cần phải nói thêm rằng, do số trang hạn chế của luận văn, chúng tôi sẽ không
trình bày chi tiết từng kỹ thuật. Ngoài ra, vì các yếu tố công nghệ, lý thuyết của những
kỹ thuật này đều là kiến thức về hệ phương trình tương đương và ma trận nên chúng
tôi cũng sẽ không nhắc lại chúng ở đây. Bạn đọc có thể tìm thấy một phân tích chi tiết
trong luận văn của Nguyễn Thùy Trang.
1.1.3.1. Các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ
C
T (giải hệ PTTT không có tham số
và không phải là hệ Cramer)
Như Nguyễn Thùy Trang đã chỉ ra, gắn với kiểu nhiệm vụ
C
T có 3 kỹ thuật có
thể được sử dụng: kỹ thuật đưa về hệ Cramer , kỹ thuật Gauss – Jordan
Cr

GJ


, kỹ
thuật Gauss .
(m,n)
G

 Kỹ thuật đưa về hệ Cramer
Cr

Xét hệ PTTT viết ở dạng ma trận AX = B. Gọi

Trong lịch sử, có nhiều bài toán thực tế mà lời giải bao hàm một hệ PTTT. Kỹ
thuật đưa về hệ Cramer trong một thời gian dài
được sử dụng vì về nguyên tắc nó cho
phép giải mọi hệ PTTT. Kỹ thuật này có điểm thuận lợi về phương diện nghiên cứu lý
thuyết (
công thức nghiệm đưa ra rõ ràng) nhưng lại bất tiện trên phương diện thực
hành
(phải tính rất nhiều định thức khi hệ phương trình có kích cỡ chỉ mới vừa đủ lớn
(số phương trình hay số ẩn lớn) hay các hệ số là số lẻ).
Chính vì vậy, kỹ thuật này

không được các giáo trình ứng dụng (phương pháp tính, phương pháp số) mô tả. Điều
này cũng xẩy ra trong lịch sử, khi mà những câu hỏi về thiên văn và trắc địa học đã
dẫn đến các hệ phương trình với số phương trình rất lớn
. Hạn chế này của được
khắc phục dần với kỹ thuật Gauss- Jordan và Gauss.
Cr


Kỹ thuật Gauss – Jordan
GJ



Ở đây người ta tìm rank(A) và rank (A ) (bằng cách tính các định thức con) và
làm tương tự như kỹ thuật
. Riêng với trường hợp hệ phương trình có nghiệm,
sau khi đưa được về hệ Cramer đối với r ẩn chính, thay vì dùng công thức Cramer, kỹ
thuật này sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hệ số các ẩn chính về
dạng chính tắc

tr.181). Kỹ thuật này được mô tả như sau :
G


Lập ma trận mở rộng
A
=[A|B]. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
của ma trận
A
để đưa
A
về dạng bậc thang dòng
A'
=[A’|B’].
 Căn cứ vào hạng của A’ và hạng của
A'
để kết luận về số nghiệm của hệ
phương trình. Cụ thể:
 Nếu rank(A’) < rank (A') thì hệ vô nghiệm
 Nếu rank(A’) = rank (A') = n thì hệ có nghiệm duy nhất
 Nếu rank(A’) = rank (A') = r < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n
– r) tham số. Trường hợp này trong dạng bậc thang dòng của A’ tồn tại định thức con

cấp r,
r
D0 , D
r
được gọi là định thức con cơ sở. Tính các ẩn chính theo các tham số
(ẩn tự do) ta được nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho.
Ý tưởng cơ bản của kỹ thuật Gauss là khử dần các ẩn số. Từ trên xuống dưới, số

A lần lượt nhân với đại lượng
i1
11
a
a


(giả thiết ) rồi cộng vào dòng thứ i, sẽ khử được biến x
1
trong các PT thứ i (với
11
a0
i2,m
)
- …
- Bằng cách tương tự, ở bước khử thứ k, ta lấy dòng thứ k của ma trận
/
k
A
(ma trận
A
sau bước biến đổi thứ k) lần lượt nhân với
ik
kk
a
a

(giả thiết ) rồi cộng
vào dòng thứ i, ta sẽ lần lượt khử được x
k

k1

cũng lại chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất ở cột hai (từ dòng 2 trở xuống), làm
phép đổi vị trí của dòng chứa phần tử đó với dòng 2
(nếu cần thiết) và thực hiện phép
khử ở bước khử thứ hai như trong kỹ thuật Gauss nguyên thủy. Cứ như vậy, ở tất cả
các bước khử ta đều thực hiện phép chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trên cột
tương ứng và hoán đổi vị trí dòng trước khi tiến hành phép khử.
 Phép biến đổi sơ cấp trong kỹ thuật Gauss với phép chọn toàn phần
a
ij
G


Ở đây, ngay từ bước khử đầu tiên, ta không chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất
trên cột 1 mà chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trong tất cả các phần tử
ij
a(i 1,m,j 1,n) của toàn ma trận. Giả sử đó là phần tử a
pq
nằm ở dòng thứ p và cột
thứ q. Ta gọi dòng p là dòng trội. Lần lượt ta nhân dòng này với thừa số
iq
i
p
q
a
m
a




, ở đó chỉ cần áp dụng công thức
Cramer để tìm nghiệm. Ngoài ra, do ma trận các hệ số của ẩn không suy biến nên
người ta còn có thể giải quyết kiểu nhiệm vụ bằng ba nhóm cá
c kỹ thuật khác:
nhóm kỹ thuật phân rã, nhóm các kỹ thuật trực giao và nhóm kỹ thuật lặp. Chúng tôi
sẽ không trình bày chi tiết các nhóm kỹ thuật này, chỉ giới thiệu ý đồ của chúng. Bạn
đọc quan tâm có thể tìm hiểu qua giáo trình tham khảo
(sẽ được giới thiệu tương ứng).
C
T

Nhóm kỹ thuật phân rã



:
Nhóm kỹ thuật này ra đời từ nhu cầu giải các bài toán thực tế về công nghiệp và
kinh doanh. Ở đây người ta phải giải một chuỗi hệ phương trình có ma trận các hệ số
của ẩn giống nhau: AX = B
1
, AX = B
2
, …, AX = B
p
.
Tư tưởng chung của nhóm kỹ thuật này là phân rã ma trận A thành tích hai ma
trận tam giác đặc biệt S, V. Sau đó, thay vì giải hệ phương trình ban đầu AX = B, ta
chỉ việc giải hai hệ PTTT dạng tam giác đặc biệt : SY= B và VX = Y.



Tương tự như kỹ thuật Cholesky, nhưng phân rã A thành tích 2 ma trận L và U,
trong đó L là ma trận tam giác dưới với các phần tử chéo bằng 1 và U là ma trận tam
giác trên (tham khảo Trần Văn Trản, tr.190).

Nhóm các kỹ thuật trực giao
Đối với một hệ Cramer bất kỳ AX=B, ưu điểm của kỹ thuật Cramer là có thể đưa
ngay công thức nghiệm X=A
-1
B. Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo của một
ma trận A không đặc biệt không phải là đơn giản. Nhưng, nếu A là ma trận trực giao
thì (chuyển vị của ma trận A). Như vậy, nghiệm
1
A

1
AA


T
XAB

của hệ sẽ được tìm
một cách dễ dàng. Kết hợp tư tưởng này với tư tưởng phân rã ma trận hệ số A (nhóm
kỹ thuật phân rã), nhóm kỹ thuật trực giao tiến hành phân tích ma trận hệ số A thành
tích hai ma trận đặc biệt: một ma trận là ma trận trực giao hoặc gần như là trực giao
(có các cột trực giao, các hàng trực giao) và một ma trận tam giác.
 Kỹ thuật trực giao hóa các cột
cot
 :

lại không. Một qui trình lặp có thể ngưng ngay khi nghiệm gần đúng là đủ chính xác
theo ý muốn. Dầu vậy, các phương pháp lặp cũng có thể bị thất bại hoặc thực thi quá
chậm đối với một số bài toán.
Tư tưởng chung của nhóm kỹ thuật này là viết lại hệ phương trình dưới dạng X=
f(X). Nghiệm gần đúng đư
ợc tính bằng cách sử dụng nghiệm gần đúng trước đó.
Nghiệm đúng có được của hệ trong trường hợp này, về phương diện lý thuyết, là kết
quả của một quá trình vô hạn bước lặp. Nhưng trên thực tế, một qui trình lặp có thể
ngưng ngay khi nghiệm gần đúng là đủ chính xác cho công việc thực tế (nằm trong
khoảng sai số cho phép).
Về nhóm
kỹ thuật lặp, bạn đọc có thể tìm thấy trong giáo trình Trần Văn Trản
(tr.204-213), ở đó người ta trình bày chi tiết các kỹ thuật lặp đơn, lặp Jacobi (một
trường hợp đặc biệt của kỹ thuật lặp đơn), lặp theo Seidel, lặp Gauss – Seidel (một
trường hợp đặc biệt của kỹ thuật lặp theo Seidel) và các yếu tố công nghệ, lý thuyết
giải thích cho từng kỹ thuật.
1
1
.
.
1
1
.
.
4
4
.
.
ả
ả
i
iq
q
u
u
y
y
ế
ế
t
tk
k
i
i
ể
ể
u
un
n
h
h
ệ
ệP
P
T
T
T
T
T
Tc
c
ó
ót
t
h
h
a
a

. Các giáo trình đại học không nhấn
mạnh sự khác biệt trong kỹ thuật giải hệ có chứa tham số và không chứa tham số. Tuy
nhiên, về mặt thực hành, việc vận dụng các kỹ thuật vào giải hệ có chứa tham số phức

tạp hơn khá nhiều, đôi khi khó có thể thực hiện được vì phải biện luận quá nhiều
trường hợp của tham số. Trong ba kỹ thuật nêu trên thì kỹ thuật Gauss có ưu thế hơn.

1.1.4.2. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ (Giải hệ (n, n) có tham số)
(n,n)
ts
T
Ba kỹ thuật dùng để giải quyết kiểu nhiệm vụ vừa nêu trên đều sử dụng
được cho kiểu nhiệm vụ
. Ngoài ra, việc giải quyết kiểu nhiệm vụ này đánh dấu
sự xuất hiện của kỹ thuật định thức .
(m,n)
ts
T
(n,n)
ts
T
(n,n)
D


Kỹ thuật định thức :
(n,n)
D

Tính D = det A và các định thức D

nhiệm vụ trên thành các tổ chức toán học sau:
Bảng 1.3: Các tổ chức toán học liên quan đến việc giải hệ PTTT
Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật
Cr

- Kỹ thuật đưa về hệ Cramer
GJ


- Kỹ thuật Gauss - Jordan
a
ii
G
 - Gauss nguyên thủy
a
j
*
G

- Gauss với phép chọn bán phần
C
T
Giải hệ PTTT không
có tham số và không
phải là hệ Cramer

Nhóm kỹ thuật
Gauss
G


G
 - Gauss với phép chọn bán phần

a
ij
G

- Gauss với phép chọn toàn phần
cot
 - Kỹ thuật trực giao cột
Nhóm kỹ thuật
trực giao




hang
 - Kỹ thuật trực giao hàng
Cho
 - Kỹ thuật Cholesky
LU
 - Kỹ thuật phân rã LU
Nhóm kỹ thuật
phân rã





 - Kỹ thuật căn bậc hai



- Kỹ thuật Gauss - Jordan
)n,n(
ts
T - Giải hệ PTTT
có tham số có số PT
và số ẩn bằng nhau
G

- Kỹ thuật Gauss

Ứng với mỗi kiểu nhiệm vụ, ta có một tổ chức toán học bộ phận (organisation
ponctuelle). Các tổ chức bộ phận
(có chung một công nghệ) nhóm lại với nhau thành
tổ chức địa phương (organisation locale). Nhiều tổ chức địa phương
(có chung một lý
thuyết)
kết hợp với nhau thành một tổ chức vùng (organisation régionnale). Yếu tố
công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải hệ PTTT nêu trên có thể chia làm ba nhóm:
nhóm 1 gồm định lý Kronecker - Capelli về điều kiện có nghiệm, định lý Cramer (giải
thích cho

D
 nhóm 2 gồm định lý Kronecker - Capelli về điều kiện có nghiệm,
định lý về hệ phương trình tương đương (giải thích cho
GJ
Cr

, ;)

1
.
.

T
T
C
C
T
T
H
Hg
g
ắ
ắ
n
nv
v
ớ
ớ
i


“
“
b
b
i
i
ể
ể
u
ut
t
h
h
ị
ịt
t
u
u
y
y
ế
ế
n

ơq
q
u
u
a
am
m
ộ
ộ
t
th
h
ệ
ệh
h
ữ
ữ
u

”

 Kiểu nhiệm vụ T
vt
: Trong , cho m vectơ
n

i
a


= (a
i1
, a
i2,
…, a
in
), (i 1, m) và
vectơ = (b
1
, b
2,
…, b
n
) . Hãy biểu thị tuyến tính B

B

 


-
Giải hệ PTTT trên. Nếu hệ có nghiệm (vô nghiệm) thì B

(không) biểu thị
tuyến tính qua m vectơ
i
a

. Nghiệm của hệ chính là các hệ số cần tìm.

Công nghệ : Khái niệm tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ, vectơ bằng nhau,
các phép toán trên vectơ, và công nghệ của kỹ thuật giải hệ PTTT.
vt


Lý thuyết 
vt
: Lý thuyết vectơ, lý thuyết hệ PTTT.
1
1
.
.
2
2
.
.
2

a
n
nđ
đ
ế
ế
n
nv
v
ấ
ấ
n
nđ
đ
ề
ềt
t
ư

c
á
á
c
cp
p
h
h
ẳ
ẳ
n
n
g
g1.2.
2.1. TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ “Xét vị trí tương đối của 2 cái phẳng”
 Kiểu nhiệm vụ T
2p
: Nghiên cứu vị trí tương đối giữa p – phẳng A
p
(có phương
V
p
) và q- phẳng A
q

p
q
A và cũng chính là số nghiệm của (*) A
 Bước 3: Kết luận về vị trí tương đối của p – phẳng và q- phẳng:
thì
 Nếu d = 0:
- và s > 0
p
q
A,Acó 1 điểm chung duy nhất.
- và
s0
thì
p
q
A,A gọi là chéo nhau (hoàn toàn).

 Nếu d0 ,
- và d < p, s > 0 thì giao của chúng là một d – phẳng.
ng c
ó phương
A
q

ới A
q

ới nhau

Công

:
Mỗi m – phẳng tron
ến x
1
, x
2
, …, x
n
và có hạng bằng n-m. Phương trình đó gọi là phương trình tổng
quát của m – phẳng. Và ngược lại.
Trong không gian afin A
n
cho
p p q
p
ương là V . Ta giả sử
pq . Căn cứ vào phương chung
p
q
VV
và điểm chung
p
q
AA ta có vị trí tương đối c hai cái phẳng đó.
ý thuyết 
HH
: Lý thuyết hình học afin, lý th
ủa
 L uyết hệ PTTT, lý thuyết vectơ.
 Trường hợp đặc biệt:

2p
: Tính
12 n
aa a
12
n
b
, , , ,
cc cd

j
i
ij
a
a
ij:
cc
 
thì (P) cắt (Q) (Nếu
i, j 1,n
)
Nếu
12 n
12 n
aa a
b

cc c
 
d