www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 1 -
I/ PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm):
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính
chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu 2 (1 điểm):
Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác.
Câu 3 (1 điểm):
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
Câu 4 (1 điểm):
- Tìm giới hạn.
- Tìm ngun hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Câu 5 (1 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vng góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh
của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện

Câu 8b (1 điểm):
Phương pháp tọa độ trong khơng gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 9b (1 điểm):
- Số phức.
- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lơgarit.
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.

Theo Tốn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 2 -
1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị:
- Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải của 3 dạng hàm số sau:

- Lƣu ý khi vẽ đồ thị:
+ Khơng đƣợc vẽ đồ thị ra ngồi mặt phẳng tọa độ.
+ Nét vẽ đồ thị phải trơn, khơng có chỗ gấp khúc. Thể hiện sự “uốn” của đồ thị tại các điểm uốn.
+ Đánh dấu tọa độ của các giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ; các điểm cực đại, cực tiểu; điểm uốn
(nếu có).
2. Phƣơng trình lƣợng giác:

- Ứng dụng các định lí về quan hệ vng góc, quan hệ song song trong khơng gian để tạo đƣợc mối liên
hệ giữa độ dài các cạnh và các góc, qua đó tính đƣợc độ dài các cạnh và số đo của các góc chƣa biết.
6. Bất đẳng thức, cực trị:
- Nắm vững các bất đẳng thức thơng dụng, đặc biệt là BĐT Cơ-si và BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki.
- Với một số bài tốn tìm cực trị của hàm nhiều biến, ta nên quy về cực trị của hàm 1 biến rồi dùng ứng
dụng của đạo hàm trong việc tìm min, max của hàm số.
7. Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong khơng gian: Nên ghi định hƣớng làm bài (sơ đồ
giải) trƣớc khi giải.
8. Số phức: Một số bài tốn có thể ứng dụng cơng thức Moa-vrơ nếu có thể đƣa các số phức về dạng
lƣợng giác của các góc đặc biệt.

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 4 -

Vấn đề 1: Tìm cực trò của hàm số 16
1. Qui tắc 1: Dùng định lí 1. 16
2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2. 16
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 16
Vấn đề 3: Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị 16
Vấn đề 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ 17
1. Định nghĩa: 17
2. Chú ý: 17
Vấn đề 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 17
1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng) 17
Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) 18
1. Dạng 1:F(x, m) = 0  f(x) = m (1) 18
2. Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2) 18

Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc 20
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 5 -
Vấn đề 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C
1
): y = f(x) và C
2
): y = g(x) 21
Vấn đề 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song
hoặc vng góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc 21
Vấn đề 14: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với
đồ thị (C): y = f(x) 21
Vấn đề 15: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp
tuyến đó vng góc với nhau 21
Vấn đề 16: HỌ ĐỒ THỊ 22
Vấn đề 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C
m
): y = f(x, m) 22
Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng có đồ thị nào của họ đồ thị (C
m
): y = f(x, m) đi qua 22
Vấn đề 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (C
m
): y = f(x, m) đi qua 22
Vấn đề 20: TẬP HỢP ĐIỂM 23
1. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M. 23
2. Dạng 2: 23

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos 28
Dạng asinx + bcosx = c (1) ( a
2
+ b
2
 0 ) 28 2.1.
3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 29
Đối với một hàm số lượng giác: 29 3.1.
Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx 29 3.2.
Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx: 29 3.3.
4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 30
Tổng bình phương : 30
4.1.
Đối lập : 30 4.2.
Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC 30
1. Phƣơng pháp 1: Dùng các cơng thức lƣợng giác đƣa về phƣơng trình dạng tích. 30
2. Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác về phƣơng trình đại số: 31
3. Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác về việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác bằng
cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. 31
4. Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số 32
Vấn đề 4: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC 36
1. Tam giác thường ( các đònh lý) 36
Chú ý: 37 1.1.
2. Hệ thức lượng tam giác vuông: 37
Vấn đề 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ 37
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Ax = B 39
39 1. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PT VÀ BPT ÔN THI ĐẠI HỌC:
Vấn đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 39
40 1. MỘT SỐ VÍ DỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC:
Phƣơng pháp đƣa về dạng tích 42 1.1.

,,
12
0 0 0
n
A A A  
. 48
Sử dụng lập phƣơng: 48 1.4.
Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẩu: 48 1.5.
1.5.1. TH1: Mẩu ln dƣơng hoặc ln âm thì ta quy đồng khử mẩu: 48
1.5.2. TH2: Mẩu âm dƣơng trên từng khoảng thì ta chia thành từng trƣờng hợp: 49
Dạng 2: 49 1.6.
Dạng 3: 50 1.7.
Dạng 4: (Đặt ẩn phụ khơng triệt để). 50 1.8.
Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lƣợng giác). 51 1.9.
Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình). 51 1.10.
2. Phƣơng pháp hàm số 52
Vấn đề 8: PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 54
Vấn đề 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 54
Vấn đề 1: BẢNG TÍCH PHÂN 55
1. Công thức NewTon _ Leibnitz : 55
2. Tích phân từng phần : 55
3. Đổi cơ số : 55
4. Tính chất : 55
5. Bảng tích phân : 55
Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 57
Vấn đề 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 58
Vấn đề 4: Thiết lập công thức truy hồi 58
Vấn đề 5: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 58
1. Diện tích hình phẳng 58
2. Thể tích vật thể 59

1. DIỆN TÍCH: 66
2. THỂ TÍCH: 67
Vấn đề 7: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU 67
1. HÌNH TRỤ 67
Diện tích: 67 1.1.
Thể tích: 67 1.2.
2. HÌNH NĨN 67
Diện tích: 67 2.1.
Thể tích: 67 2.2.
3. HÌNH NĨN CỤT 67
Diện tích: 67 3.1.
Thể tích: 68 3.2.
4. HÌNH CẦU 68
Vấn đề 8: GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 68
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 9 -
1. PHƯƠNG PHÁP: 68
2. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
trong khơng gian 68
Vấn đề 1: BẤT ĐẲNG THỨC 73
1. Đònh nghóa : 73
2. Tính chất : 73
3. BĐT Cô Si : 73
4. BĐT Bunhia Côp ski (chú ý) 73
5. BĐT BecnuLi : 73
6. BĐT tam giác : 74

7. Phương trình chính tắc : 77
8. Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) : 77
9. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
, y
0
) đến Ax + By + C = 0 : 77
10. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : 78
11. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
: 78
12. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d
1
và d
2
: 78
Vấn đề 3: ĐƢỜNG TRÕN 79
1. Phƣơng trình đƣờng tròn: 79
2. Sự tƣơng giao giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn: 79
3. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn 79
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 10 -
Dạng 1: Tiếp tuyến của (C) tại M(x
0
;y

Vấn đề 6: HYPEBOL 82
1. Tiếp tuyến của Hyperbol: 82
Vấn đề 7: PARAPOL 82
1. Tiếp tuyến của Parapol (P): y
2
= 2px 83
Vấn đề 1: VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ : 83
Vấn đề 2: Phép toán 83
1. Định nghĩa : 84
2. Tính chất : 84
Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 85
1. Phƣơng trình tham số : 85
2. Phƣơng trình tổng qt : 85
3. Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn : 85
4. Các dạng chính tắc : 85
5. Chùm mặt phẳng : 86
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 11 -
6. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG 86
7. GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 86
8. KHOẢNG CÁCH 86
Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 87
1. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 87
Phƣơng trình của các trục tọa độ : 87 1.1.
Chuyển dạng phƣơng trình tổng qt sang dạng tham số, chính tắc : 87 1.2.
2. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG 87
3. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 88

; y
0
;z
0
) và vng góc với đƣờng thẳng d 90
4. Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và

(Q) ,

(R) 90
5. Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C khơng thẳng hàng 90
6. Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và

(Q) 91
7. Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;

(Q) và // với dt (d) 91
8. Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. 91
9. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A 91
10. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (

) 91
11. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và


(Q) 91
12. Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h 91
13. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h 91
14. Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc


; y
0
;z
0
) và có VTCP
u
=(a,b,c) 93
2. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B 94
3. Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đƣờng thẳng (

) 94
4. Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và

(P) 94
5. Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vng góc với cả 2 dt (d
1
),(d
2
) 94
6. Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp 94
7. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) 94
8. Dạng 8: Viết pt đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đƣờng thẳng d
1
, d
2
: 94
9. Dạng 9: Viết pt đƣờng thẳng d song song d
1
và cắt cả d
2

1
. 96
17. Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vng góc với d
1
,tạo với d
2
góc
00
(0 ;90 )


(= 30
0
, 45
0
,
60
0
) 96
18. Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d
1
góc
00
(0 ;90 )


. 96
19. Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d
1
góc

()

98
7. Dạng 7. Xác định hình chiếu song song của đƣờng thẳng
1

lên mp
()

theo phƣơng
2

cắt
()

100
8. Dạng 8. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng

qua M và cắt
1

,
2

với
1

,
2


12. Các bài tốn về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất : 103
Dạng 1: Cho 2 điểm
1 1 1 2 2 2
( ; ; ); ( ; ; ).A x y z B x y z
Tìm
( ): 0M P ax by cz d    
để 12.1.
(MA+MB)min. 103
Dạng 2: Cho 2 điểm
1 1 1 2 2 2
( ; ; ); ( ; ; ).A x y z B x y z
Tìm
( ): 0M P ax by cz d    
để 12.2.
MA MB
max. 104
Dạng 3: Cho 2 điểm
1 1 1 2 2 2
( ; ; ); ( ; ; )A x y z B x y z
. Tìm
M 
cho trƣớc sao cho (MA + 12.3.
MB) min 104
Vấn đề 8: CÁC DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦU 105
1. Phƣơng trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R 105
2. Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 105
3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu 105
4. CÁC DẠNG TOÁN 105
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A 105 4.1.
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB 106 4.2.

1.2.1. Đưa về cùng cơ số: 111
1.2.2. Logarit hoá: 111
1.2.3. Đặt ẩn phụ: 111
1.2.4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 111
2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 111
Phương trình logarit cơ bản 111 2.1.
Một số phương pháp giải phương trình logarit 111 2.2.
Vấn đề 5: BẤT PHƯƠNG, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 112
Vấn đề 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 112
Vấn đề 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 112
Vấn đề 1: HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP 113
1. Hoán vò : 113
2. Tổ hợp : 113
3. Chỉnh hợp : 113
Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT 113
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 15 -
1. Ngun tắc đếm 113
Chú ý: 113
1.1.
2. XÁC SUẤT 113
Khơng gian mẫu: 113 2.1.
Xác suất: 113 2.2.
CÁC CƠNG THỨC 113 2.3.
Vấn đề 3: Nhị thức NIUTƠN 114
1. Cơng thức nhị thức Newtơn: 114
2. Các nhận xét về cơng thức khai triển:

www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 16 -

Vấn đề 1: Tìm cực trò của hàm số
1. Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

Tìm f

(x).

Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.

Xét dấu f

(x). Nếu f

(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

Tính f

(x).

0
thì f

(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
khơng có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x
0
thì f

(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
.
Chú ý:

Hàm số bậc ba
32
y ax bx cx d   
có cực trị

Phương trình y

= có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng hai cách:

Phương trình y

= 0 có hai nghiệm phân biệt khác
'
'
b
a

.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng hai cách:

0
0
0
()
()
()
Px
yx
Qx

hoặc
0
0
0
'( )

; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trị thì:

1 1 1
2 2 2
()
()
y f x Ax B
y f x Ax B

  

  

Các điểm (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2



Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:

'( ) 2
'( )
P x ax b
y
Q x d


.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 17 -
Vấn đề 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
1. Định nghĩa:
 Đƣờng thẳng
0
xx
đgl đƣờng tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
()y f x
nếu ít nhất một trong các điều
kiện sau đƣợc thoả mãn:

0
lim ( )
xx

0
yy
đgl đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
()y f x
nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau đƣợc thoả mãn:

0
lim ( )
x
f x y


;
0
lim ( )
x
f x y



 Đƣờng thẳng
,0y ax b a  
đgl đƣờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
()y f x
nếu ít nhất một trong
các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:

 
lim ( ) ( ) 0

b) Để xác định các hệ số a, b trong phƣơng trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các cơng thức sau:

 
()
lim ; lim ( )
xx
fx
a b f x ax
x
 
  

hoặc
 
()
lim ; lim ( )
xx
fx
a b f x ax
x
 
  Vấn đề 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng)
 Tìm tập xác định của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.

x
A
y = kx
m
(C
M
M
b
1

b
2

d
1

d
d
2

O
Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng)

 Cơ sở của phƣơng pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hồnh độ giao điểm của (C

, … của d, d
1
, d
2
, … để biện luận.
4. Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x
0
) + y
0
(4)
Khi đó (4) có thể xem là phƣơng trình
hồnh độ giao điểm của hai đƣờng:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x
0
) + y
0

 d quay quanh điểm cố định M
0
(x
0
; y
0
).
 Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, … của (C) đi qua M


Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong
đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Vấn đề 8: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba:
32
0ax bx cx d   
(a

0) (1)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba:
32
()y f x ax bx cx d    

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hồnh
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 19 -
x
1

x
A

x
B


x
C

C
(
C
y
CĐ

y
A
o
x
2

x
a > 0
y
CT

B
f(0
)
x
1

x
A


O
x
y
(h.1a)
(C)
A
x
0

x
y
(h.1b)
x
1
o
x
2

y
CT

y
CĐ

1. Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 3
Trƣờng hợp 1: 1.1.
(1) chỉ có 1 nghiệm

(C) và Ox có 1 điểm chung


( .2)
.0
CĐ CT
f có cực trò
h
yy





Trƣờng hợp 3: 1.3.
(1) có 3 nghiệm phân biệt

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt



2
( .3)
.0
CĐ CT
f có cực trò
h
yy






(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ âm


2
.0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
yy
xx
a f hay ad









Vấn đề 9: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG.

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị

f x g x
f x g x






(*)Nghiệm của hệ (*) là hồnh độ của tiếp điểm của hai đƣờng đó.
3. Nếu (C
1
): y = px + q và (C
2
): y = ax
2
+ bx + c thì (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau  phƣơng trình
2
ax bx c px q   
có nghiệm kép. Vấn đề 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng)

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học


(x
0
) = f

(x
0
).


Phương trình tiếp tuyến

là: y – y
0
= f

(x
0
).(x – x
0
)
2. Bài tốn 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trƣớc.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.


Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Tính f


có dạng: y = kx + m.




tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

()
'( )
f x kx m
f x k





(*)


Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của

.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến

có thể được cho gián tiếp như sau:
+

tạo với chiều dương trục hồnh góc


( ; )
AA
A x y
.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.


Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Khi đó: y
0
= f(x
0
), y

0
= f

(x
0
).


Phương trình tiếp tuyến

tại M: y – y
0
= f

0
. Từ đó viết phương trình của

.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

Phương trình đường thẳng

đi qua
( ; )
AA
A x y
và có hệ số góc k: y – y
A
= k(x – x
A
)




tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )
'( )
AA
f x k x x y
f x k

  

+ bx + c thì
(C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau

phương trình
2
ax bx c px q   
có nghiệm kép.

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 21 -
Vấn đề 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C
1
): y = f(x) và C
2
): y = g(x)

1. Gọi

: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
).









Từ (2) và (4)

f

(u) = g

(v)

u = h(v) (5)


Thế a từ (2) vào (1)

b =

(u) (6)


Thế (2), (5), (6) vào (3)

Gọi M(x
0
; y
0
)

(C).

là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f

(x
0
).


Vì

// d nên f

(x
0
) = k
d
(1)
hoặc



)

d.

Phương trình đường thẳng

qua M có hệ số góc k: y = k(x – x
M
) + y
M


tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)
'( ) (2)
MM
f x k x x y
f x k

  




tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
MM
f x k x x y
f x k

  



Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f

(x) + y
M
(3)


Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)

(3) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.


Vấn đề 16: HỌ ĐỒ THỊ

Cho họ đƣờng (C
m
): y = f(x, m) (m là tham số).
M(x
0
; y
0
)

(C
m
)

y
0
= f(x
0
, m) (1)
Xem (1) là phƣơng trình theo ẩn m.
Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (C
m
) đi qua M.
 Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (C
m
) đều đi qua M.
Khi đó, M đƣợc gọi là điểm cố định của họ (C
m


m

y
0
= f(x
0
, m),

m (1)


Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:


Dạng 1: (1)

Am + B = 0,

m

Dạng 2: (1)


2
0Am Bm C  
,

m


Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x
0
; y
0
) của điểm cố định.
Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x
0
, y
0
.
Cách 2:


Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố định (nếu có) của họ (C
m
).
M(x
0
; y
0
)

(C
m
),



Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng có đồ thị nào của họ đồ thị (C
m
): y = f(x, m) đi qua


Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm mà khơng có đồ thị nào của họ (C
m
) đi qua.
M(x
0
; y
0
)

(C
m
),

m

y
0
= f(x
0
, m) vơ nghiệm m (1)

0
0
0
40
AB
C
A
B AC
















(2b)
Chú ý:

Kết quả là một tập hợp điểm.



Am + B = 0 (2a) hoặc
2
0Am Bm C  
(2b)


Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (C
m
) đi qua M.

Vấn đề 20: TẬP HỢP ĐIỂM

Bài tốn: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất .
 Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phƣơng trình của tập hợp điểm đó.
1. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M.
1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M.
2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m.
Có các trƣờng hợp xảy ra:
Trƣờng hợp 1: M
()
()
x f m
y g m






Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:

Trong trƣờng hợp ta khơng thể tính đƣợc toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ thiết lập đƣợc một hệ thức
chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm đƣợc hệ thức dạng F(x, y) = 0.
Chú ý: Nếu bài tốn chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình
F(x, y) = 0 mà khơng cần tìm giới hạn của quĩ tích.

Vấn đề 21: HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng)

Bài tốn: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.
 Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
 Vẽ đồ thị hàm số tƣơng ứng trong các khoảng của miền xác định.
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.
1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
()y f x
.
Đồ thị (C) của hàm số
()y f x
có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:
+ Giữ ngun phần đồ thị (C) ở phía trên trục hồnh.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dƣới trục hồnh qua trục hồnh.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.
2. Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số
 
y f x
.
Đồ thị (C) của hàm số
 
y f x
có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:

()
Px
y
Qx

có toạ độ là những số ngun:


Phân tích
()
()
Px
y
Qx

thành dạng
()
()
a
y A x
Qx

, với A(x) là đa thức, a là số ngun.


Khi đó
x
y



và (C):
f(x) =
1
xm
a

(1)

Tìm điều kiện của m để

cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó x
A
, x
B
là các nghiệm của (1).

Tìm toạ độ trung điểm I của AB.

Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d

I

d, ta tìm
được m

x
A
, x
B

AB
xx
yy





A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b


2
AB
AB
xx
y y b





A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a
