1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 2013
Môn: TOÁN – Khối A, A
1
; Thời gian làm bài: 180 phút Câu Đáp án Điểm
a) (1,0 điểm)
1
0
. Tập xác định: }.1{\



2
0
. Sự biến thiên:
* Giới hạn tại vô cực: Ta có
2lim


y
x
và
.2lim




x

* Chiều biến thiên: Ta có .1,0
)1(
3
'
2


 x
x
y
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng


1;



và


.;1




0,5
* Bảng biến thiên:

0
0
0











x
x
x
xM
là tiếp điểm. Theo bài ra ta có
2

MA

hay 41
1
12
2
0
0
2







x
x
x







.2
0
)1(,0)64)(2(
0
0
00
2
000
x
x
xxxxx
0,5

Câu 1.

3
1
 xy

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là
1
3


x
y
và .
3
1
3
1
 xy
0,5

Câu 2.

(1,0
điểm)
Điều kiện: ,0sin

x hay .,



kkx

xxx
xxxxx

0,5
x
'y
y







1


2




+ +



2

x



2
44
2
1
4
cos01sincos kxxxx 














tm.,2
2
ktm,2



kx
kx


3
0)2(232
22
22






x
y
x
y
yxyx

0,5

Câu 3.

(1,0
điểm)
Từ đây ta có 1
2
2

x
y
hay
.2


sin
ta có
txx ddcos

và khi
,
2
1
6
 tx

khi
.1
2
 tx


Khi đó



1
2
1
2
.d
)1ln(
t
t










1
2
1
1
2
1
2
1
1
d
1
11
2
3
ln22ln
)1(
d
)1ln(
1
t
tttt


tại H, vì (1) nên H thuộc đoạn BC. Vì
)()( BCDABC

nên ).(BCDAH


Kẻ
CD
HK

tại K

đường xiên
,
CD
AK

từ giả
thiết
.60
0
 AKH

Sử dụng định lí cosin cho
2
1
cos  ACBABC
AHCACB 
0

29
.
2
1
32
a
SAHV
a
DCBDS
BCDABCDBCD

0,5
A
B
D
C
K
H
'
H

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
3

Kẻ
AK
HH

'

)(,3)(, ACDHdACDBd

. (3)
Từ (2) và (3) suy ra
 
.
2
33
)(,
a
ACDBd 

Chú ý: HS có thể tính
 
.
3
)(,
ACD
ABCD
S
V
ACDBd 
0,5
Từ giả thiết ta có .
1
22
22
xy
yxxy  Đặt
0

xy
yx





1
2
1
1
1
1
22
. (1)
Thật vậy, ,0
)1)(1)(1(
)1()(
)1(
22
2




xyyx
xyyx
đúng do
0
,


(1,0
điểm)
Xét hàm số
tt
tf
21
3
1
4
)(




trên .1;
2
1






Ta có
.1;
2
1
,0
)21()1(

2
1
,
6
7
2
1
)(













 tftf (3)
Từ (2) và (3) ta có
.
6
7
P
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
1

IA


tại H là trung điểm BC.
Giả sử )0(,




nmnIHmIA
222
5, nIHIBBHnmHA 

.85)(
2
1
2
 nnmAHBHAHBCS
ABC
(1)

0,5

Câu
7.a
(1,0
điểm)
Trong tam giác vuông
IBA
có .












).2;4(
)3;1(
4
1
25)4()1(5
22
A
A
a
a
aaIA
0,5
Từ giả thiết suy ra tọa độ D thỏa mãn





.01









.12
6
3
3
|3|
62
6
1
].,[
6
1
t
t
t
tADACABV
ABCD

Suy ra ).13;12;25(),5;6;11(



DD

bab
ba
ibabbia

Suy ra )1(,0)12)(2()1(,)1(2
)1(2
1
22


 bbbbb
b
b







.
2
1
2
1
12
ab
ab

Suy ra

4
21
1
4




 iii
i
i
z
z
*) Với ,
2
1
2
1
iz  ta có .
2
27
1
2
7
1
8
2
1
2
1

1


d
tại M.
Phương trình .21),3;(03:  aIMRaaIyxd
0,5

Câu
7.b
(1,0
điểm)
(C) tiếp xúc với
2

nên








2
3
21

0,5
Mặt phẳng (Q) chứa AB và vuông góc với (P) nên có véctơ pháp tuyến ).1;1;1(],[ 
PQ
nABn
Suy ra .05:)(




zyxQ
Từ giả thiết suy ra C thuộc giao tuyến (Q) và (P). Suy ra tọa độ C thỏa mãn





.052
05
zyx
zyx

0,5

Câu
8.b
(1,0
điểm)
Đặt
).5;0;(
5

],[
2
1
2
C
C
t
t
tttACABS
ABC

0,5
Ta có
 
4
31
)31(31.
)31()31(
1
)31(31
1
22
i
i
i
i
i 






Khi đó
.)
3
sin()
3
cos(
2
)31(31
)1(













i
r
i
zi

Theo bài ra ta có
























.
3
2
2
)1(4)1()1(3
22
3