Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email: [email protected]
Website: www.caotu.tk
1
Chương I :Nhị thức Niu tơn
1. Hoán vị
. 1 2.1
n
P n n
2. Chỉnh hợp
!
1 1
!
k
n
n
A n n n k
nk
0
! 1, 1
n
OA
0 kn
4. Nhị Thức nưu tơn
00
. . . .
kn
n
k n k k k k n k
nn
kk
a b C a b C a b
Tồng có n+1 số hạng .bậc của mỗi số hạng là n-k+k=n
Số hạng tổng quát
1
k n k k
kn
T C a b
Bài tập
Dạng 1 Giải phương trình bất phương trình
x x x
C C C
0 5&x x N
2
14 33 0xx
Bài 3.Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mã phương
trình
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
5n
nZ
xx
x
x x x
xx
Bài 4. Tìm số tự nhiên thỏa mãn
2 2 2 3 3 3
. 2 100
nn
n n n n n n
C C C C C C
(1)
1
n
nn
n n n n
n n n n
n n n
x C C x C x C x
x C C C
Bài 6.Giải hệ phương trình
2 5 90
5 2 80
yy
xx
yy
xx
AC
AC
x=5 ,y=2
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email: [email protected]
Website: www.caotu.tk
2
3
n
7
)4
2
bn
Bài 8. Giải bất phương trình
4
4
4
34
1
143
)1
2 ! 4
24
)2
23
n
n
n
n
nn
5 11x
Bài 10. Giải bất đẳng thức
2 2 3
2
16
10
2
x x x
A A C
x
4x
Chứng minh một số đẳng thức
Bài 1. Chứng minh
1
1
mm
n m m n
m
CC
n
1nn
C C n
Bài 5. Cho n≥2 và n nguyên .Chứng minh
2 2 2
23
1 1 1 1
1
n
n
A A A
=T
2 2 ! 3 2 ! 2 !
2! 3! !
1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 1
n
T
n
T
n n n
1 2 3 2 3
23
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
Bài 3. Cho
4 kn
.Chứng minh rằng
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
Bài 4 .Cho
1 mn
.Chứng minh rằng
1 1 1 1
n n n
C C C
11
2 1 2
m m m
n n n
C C C
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email: [email protected]
Website: www.caotu.tk
3
………………
1
1
m m m
m m m
C C C
Khai triển một biểu thức hoặc ,hai biểu thức bằng hai cách kác nhau sau đó đồng nhất hệ số
Bài 1 .Chứng minh rằng
0 1 1 6 6
6 6 6 6
. . .
k k k k
n n n n
C C C C C C C
6
1 . 1
n
xx
6
1
n
x
so sánh
k
n
là
2 2 2
01
n
n n n
C C C
2
2
2
0
1
n
n
kk
n
k
x C x
Hệ số x
k
là
2
k
Bai 4.
2 2 2 2
21
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 0
n
n
n n n n
C C C C
Xét
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
1 . 1 . 1
nn
n n k
k k k k
nn
k o k o
Ta lại có
21
2 1 2 1
2
1 . 1 1
n
nn
x x x
có hệ số của x
2n+1
bằng o vì đều chứa lũy thừ bậc chẵn
của x vậy
2 2 2 2
21
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 0
p
trong khai triển
1
mn
x
là
Dùng
2
,
nn
x a x a
Chọn x thích hợp a có sẵn
Bài 1.
1
) 2
o n n
n n n
a C C C
0 1 1
)9 9 9 10
o n n n
n n n
b C C C
n n n n
n
C C C C
(1)
1 1 2 2
1 5 5 5 6
n o n n n n
n n n n
C C C C
0 1 1 1
1
n
n n n n
n n n n
x C x C x C x C
Chọn x=5
1 1 2 2
5 5 5 6
2004 0 2003 1 1 2003 2003 2004 2004 2004
2004 2004 2004 2004
)3 3 3 4
) 3 3 .4 3.4 4 7
a C C C C
b C C C C
a)
2004
1 x
.Chọn x=3
b)
2004
ab
.Chọn a=3,b=4
Bài 6. Chứng minh rằng
0 1 1 1 1 1
2 2 .7 2.7 7 9
n n n n n n n
n n n n
C C C C
Bài 7. Chứng minh rằng
x
Trong khai triển
28
3
15
n
x x x
Tìm số hạng không chứa x biết
12
79
n n n
n n n
C C C
Bài 2. Tìm số hạng x
31
, Trong khai triển
32
1
x
x
Bài 5.Biết trong khai triển
1
3
n
x
Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 Hãy tính số hạng
đứng giữa trong khai triển
Bài 6 Cho khai triển
3
32
3
n
x
x
Bài 8. Tìm hệ số x
8
trong khai triển :
5
3
1
n
x
x
Biết
1
43
73
nn
nn
C C n
Bài 9. Biết tổng các hệ số trong khai triển
Bài 12.Trong khai triển
12
2
3
xy xy
Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y
Là các số nguyên dương
Bài 13.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển
19
3
32Bài 14.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong
Khai triiển
124
4
35
Bài 15.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển
Bài 17. Cho khai triển :
1
3
2
22
n
x
x
Biết
31
5
nn
CC
và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tùm x và n
Bài 18. Trong khai triển :
3
3
n
ab
ba
1
101
101!
!. 101 !
101!
1 ! 102 !
k
k
k
k
kk
TC
TC
kk
1
102
1 0 51
k
k
T
k
k
Tk
Bài 4.Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của
Khai triển
40
12
33
x
Xác suất của biến cố
Bài 1
1.
{Tập các kết quả có thể của phép thử T}
2.
A
={Tâp các kết quả thuận lợi của A }
3.A và B là hai biến cố xung khắc A xáy ra thì B không xảy ra và ngược lại
A .Nhân và quy tắc cộng
a) Từ tập A có thể lập đựoc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho các
số này không bắt đầu bằng 16 và chữ số cuối không chia hết cho 5
b) Từ tập A có thể lập đựoc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác sao cho các số này
lớn hơn 600001
Bài 6.Cho tập
0,1,2,3,4,5,6A
a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho số này
Không bắt đầu bằng
246
?
b) Từ tập A có thể lâp được bao nhiêu số gồm 5 chừ số sao cho chữ số cuối cùng chia
Biờn son: Cao Vn Tỳ Trng: H CNTT&TT Thỏi nguyờn Email: [email protected]
Website: www.caotu.tk
7
ht cho 5
Bi 7. Cho tp
0,1,2,3,4,5,6A
a) T tp A cú th lp c bao nhiờu s gm 5 ch s ụi mt khỏc nhau sao cho hai ch s
2 v 5 khụng ng cnh nhau
b) T tp A cú th lp c bao nhiờu s gm 5 ch s ụi mt khỏc nhau sao cho cỏc s
ny chia ht cho 9
Bi 8. Cho tp
1,2,4,5,6,8,9A
Ny chia ht cho 4
Bi 3 .Cho tp
1,2,3,4,5,6A
a) Cú th lp c bao nhiờu s gm 5 ch s ụi mt khỏc nhau v không bắt đầu từ 345 ?
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
2 luôn có mặt đúng một lần
c) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số chẵn đôi một khác nhau sao cho chữ số 2
luôn có mặt đúng một lần
Bài 4. Cho tp
0,1,2,3,4,5,6A
a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm chữ số đôi một khác sao cho các số này đều lẻ ?
Bài 5. Cho tp
0,2,4,5,6,9A
a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau các số đều chẵn
Bài 6. Cho tp
0,1,2,3,4,5,6,7A
a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho2
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
2 có mặt đúng một lần
Bài 7 Cho tp
chữ số số 0 và 1
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có ít nhất
Hai số chẵn ?
Bài 11. Cho
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A
a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 1
Và 3 luôn đứng cạnh nhau ?
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
0 và 7 không đứng cạnh nhau
Bài 12. Cho
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A
a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn có
mặt chữ số 0 và 9
b) Hai chữ số 1 và sáu không đứng cạnh nhau
Bài 13. Cho
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A
a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao luôn có
mặt ba chữ số 0,2,4
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn
có mặt bốn chữ số 1,3,5,7 ?
Bài 14. Cho
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A
a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số thứ
Ba chia hét cho 3 và chữ số cuối cùng chẵn
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
Biờn son: Cao Vn Tỳ Trng: H CNTT&TT Thỏi nguyờn Email: [email protected]
Website: www.caotu.tk
9
đầu chia hết cho 3 và chữ số cuối cùng lẻ
Bài 3 Hoán vị
Bài 1. Cho tập
1,2,3,4,5,6,7,8A
a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ
Không chia hết cho 5
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số
đầu lẻ chữ số đứng cuối chẵn
Bài 2. Cho tập
1,2,3,4,5,6,7A
a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
đứng đầu và cuối cùng lẻ
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số
Này đề chẵn và chữ số đứng giữa chia hết cho 3
Bài 3. Cho tập
1,2,3,4,5,6,7,8A
a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này
đều chẵn và chữ số đầu chia hết cho 4
b) Có tám chữ số khác nhau sao cho các số này có chữ số đầu và cuối đều chẵn
Bài 9. Cho tập
0,1,2,3,4,5A
.Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số .
a) Có 6 chữ số khác nhau sao cho các số này không bắt đầu từ
12
b) Có 7 chữ số khác nhau sao cho các số này số 1 có mặt 2 lần ,các chữ số khác có mặt
Có mặt một lần ?
Bài 4 Tổ hợp
Bài 1.Một hộp đựng 5 viên bi xanh và 7 viên bi vàng .
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi có 2 xanh và 4 bi vàng
Bài 2. Một hộp đựng 5 viên bi xanh 6 bi đỏ,4 bi vàng
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi có 2 xanh nhiều nhất 2 vàng và phải có đủ ba màu
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 9 viên bi có đủ ba màu
Bài 3 Có 8 bi xanh ,5 bi đỏ,3 vàng .Có bao nhiêu cách chọn từ đó 4 viên bi nếu
a) Có đúng 2 bi xanh
b) Số bi xanh bằng số bi đỏ
Bài 4.Một lớp học sinh có 10 học sinh nam và 15 nữ
a) Có bao nhiêu cách chọn một đội gồm 15 ng-ời
b) Chon từ đó ra một đội văn nghệ gồm 13 ng-ời sao cho coa ít nhất 10 nữ và phải có nam
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email: [email protected]
Website: www.caotu.tk
10
Vµ n÷
Bµi 5.Mét líp häc sinh cã 8 nam vµ 12 nò
a) Chän tõ ®ã 6 häc sinh cã ®ñ nam vµ n÷ cã mÊy c¸ch ?
b) Chon tõ ®ã 10 häc sinh sao cho cã Ýt nhÊt 2 nam .Cã bao nhiªu c¸ch
Liên tiếp tức là bộ (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) ….(10 –J-Q-K-A) .Quân A vừ là quân bé nhất
Quân lớn nhất
Giải
5
52
C
Có 10 bộ thỏa mãn bài toán
Mỗi bộ có 4.4.4.4.4=1024 vậy
10240
A
Bài 3. Một bình đựng 16 viên bi ,7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ
a) lấy ngẫu nhiên ba viên bi .Tính xác suất để :
Lấy được 3 viên đỏ
lấy cả ba viên bi không đỏ
Lấy được 1 bi trắng ,1 bi đen ,1 bi đỏ
b) Lấy ngẫu nhiện 4 viên bi .Tình xác suất để
Lấy đứng 1 viên bi trắng
Lấy đúng 2 viên bi tráng
c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi .Tính xác suất lấy được 5 viên bi trắng ,3 bi đen,2 bi đỏ
Giải .
3
13
3 3 3
16 16 16
1 3 2 2
7 9 7 9
44
b) Tích nhận được là số chẵn
Giải
a) Tích là số lẻ nếu 2 thẻ là số lẻ vậy có
2
22
5
59
2
9
C
C C P A
C
b) P(B) =1-P(A)
Bài 5. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh từ 1,2,3…9 .Rút ngẫu nhiên 5 thẻ .Tính xác suất để
a) Các thẻ ghi số 1,2,3
b) Có đúng 1 trong ba thẻ ghi 1,2,3 được rút
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email: [email protected]
Website: www.caotu.tk
11
c) Không có thẻ nào trong ba thẻ được rút
Giải .
2 1 4 5
6 3 6 6
5 5 5
9 9 9
) ) )
Bài 7.Chọn ngẫu nhiên một vé số số có 5 chữ số tư 0 đến 9 .Tính xác suất trên vé không có
Không có chữ số 1 hoặc chữ số 5 .
Giải .
A là biến cố không có chữ số 1,B là biến cố không có chữ số 5
5
99999
0,9
100000
P A P B
55
2. 0,9 0,8P A B P A P B P A B
Bài 8 Một người đi du lịch mang 3 hộp thịt,2 hộp quả ,3 hộp sữa .Do trười mưa các hộp
bị mất nhãn .Người đó chọn ngẫu nhiên 3 hộp .Tính xác suất để trong đó có 1 hộp thịt
một hộp sữa , một hộp quả
Giải .
1 1 1
3 2 3
3
8
C C C
PA
C
Bài 10.bốn khẩu pháo cao xạ A,B,C,D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu .Biết xác xuất
bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là
1 2 4 5
. , ,
2 3 5 7
P A P B P C P D
.Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng
Giải
Tính xác suất mục tiêu không bị bắn trúng
1 1 1 2 1
. . .
2 3 5 7 105
PH
Vậy xác suất trúng đích
1 104
1
105 105
PD
Bài 11.Gieo một con súc xắc .Hãy tính xác suất các biến cố
a) Mặt 6 chấm xuất hiện
b) Mặt chẵn xuất hiện
c) Mặt i xuất hiện i≤3
Bài 12.Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng .Lấy
ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố
42
42
2
10
.
8
.
45
B
CC
C C P B
C
c) Đ là biến cố 2 viên đỏ ,X là biến cố 2 viên xanh ,V là biến cố 2 viên vàng
Đ ,X,V là các biến cố đôi một xung khắc
2
3
2 1 10 2
D
5 45 15 45 9
C
P C P P X P V
Bài 13.Geo 3 con súc xắc .Tính xác suất để tổng số chấm trên 3 mặt là 9
Giải
9=1+2+6=2+3+4=2+2+5=1+3+5=1+4+4=3+3+3
(1,2,6) Có 3! ,(1,3,5) Có 3! (2,3,4) có 3! ,(1,4,4) có 3 (2,2,5) có 3 (3,3,3) có 1
Vậy
5 103
1
108 108
PE
Bài 15.Gieo hai con xúc xắc một cách vô tư.Tính xác suất của biến cố “Các mặt xuất hiện có số
chấm bằng nhau”
Bài 16. Hai người bắn vào mục tiêu một cách độc lập .Xác suất trúng đích của người thứ nhất
0,6 của người thứ 2 là 0,7 .Tính xác suất để
a) Cả hai người cùng bắn trúng
b) Mục tiêu bị bắn bởi ít nhất 1 người
Giải
a) Gọi A là biến cố nười thứ nhất bắn trúng đích ,B là iến cố người thứ hai bắn trúng đích
H là biến cố cả hai người bắn trúng đích H=AB
P H P A P B
0,6.0,7=0,42
b) G là biến cố ít nhất một người bắn trúng mục tiêu
( ) ( ) ( )G A B A B A B
0,6.0,3 0,4.0,7 0,6.0,7 0,18 0,28 0,42 0,88P G P A B P A B P A B
Bài 17. Gieo ngẫu nhiên 4 đồng xu .Tính xác suất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa
1. SNNN ,SNSN ,SNNS ,SNSS
2. SSNN ,SSSN ,SSNS,SSSS
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email: [email protected]
Xác suất để được đúng 5 lần xuất hiện A và 1 lần không xuất hiện A theo một thứ tự nào đó
5
12
.
33
Vì có 6 cách để biến cố này xuất hiện ,
5
1 2 12
6. .
3 3 729
Vậy xác xuất để A xuất hiện ít nhất 5 lần là
6
12 1 13
729 3 729
Bài 19. Một người bắn liên tiếp vào một mục tiêu khi viên đạn trúng mục tiêu thì thôi (các
Phát súng độc lập nhau ) .Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn như nhau và
bằng 0,6 .Tính xác suất để bắn đến viên thứ 4 thì ngừng bắn
22
37
2
10
CC
P H P A P B
C
Bài 21 .Hai cầu thủ sút phạt đền .Mỗi nười đá 1 lần với xác suất làm bàm tương ứng là 0,8 và 0,7
Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn
Giải .
A là bến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn
B là cầu thủ thứ hai lam bàn
H là biến cố ít nhất 1 trong ai cầu thủ làm bàn
()H A B A B A B
0,8.0,3 0,2.0,7 0,8.0,7 0,24 0,14 0,56 0,94PH
Bài 22. Gieo 3 đồng xu đối xứng và đồng chất .Tính xác suất để có ít nhất có một mặt sấp
xuất hiện
Giải .
B là biến cố “ Có ít nhất một đồng sấp xuất hiện hiện ”
Bài 24.Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi .Mỗi đề thi có 5 câu .Một học sinh học thuộc 80 câu
Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi có 4 câu học thuộc
Giải
Chọn 5 câu làm một đề
5
100
C
Chọn
41
41
80 20
80 20
5
100
A
CC
C C P A
C
Bài 26.Một phòng có 40 thí sinh được xếp vào 20 bàn ,Mỗi bàn có đủ 2 học sinhTính xác suất để
Hai học sinh A và B cùng ngồi một bàn
Giải
Chọn hai học sinh để xếp vào 20 bàn có
2
40
C
Lấy ngẫu nhiên một hộp ,rút hú họa từ hộp đó ra 2 bút
a) Tính xác suất để hai bút mầu xanh
b) Tính xác suất hai bút không có mầu đen
Giải .
a)
i
A
là biến cố rút được hộp thứ i ,i=1,2,3
1
3
i
PA
A là biến cố rút được hộp thư i
1 2 3
A A A A
2
7
C
1 2 3
2
7
1
,0P A P A P A
C
,,
CC
C
P A P A P A
C C C
Vậy có
222
5 4 6
2
7
1 31
3 63
CCC
PC
C
Bài 29.Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 .Tìm các suất sao cho 3 lần sinh
Có ít nhất 1 con trai
Giải
A là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai
A
là xác suất 3 lần sinh toàn con giái
1 1 2
4 5 4
2
9
.C C C
P C P A B P A A
C
=26/36
Cách 2
DẠY CHỦ NHẬT
1. Nhị Thức nưu tơn
2. Xác suất
3. Cấp số cộng,Cấp số nhân
@1.Nhị thức nưu tơn
Bài 1.Chứng minh
0 2 2 4 4 2008 2008 2008 2009
2009 2009 2009 2009
3 3 3 2 2 1C C C C
Hướng dẫn xét .
2009
2009
2009
0
11
*
1
n
x
Cho x=2
4
n
x
=…Cho x=1
Bài 3.Chứng minh
1 2 3 1
2 3 .2
nn
n n n n
C C C nC n
Bài 4 Chứng minh
1 2 3
2 3 1 0
n
n
n n n n
4
Bài 8.Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
30
12x
CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN
Bài 1.Giải phương trình
32
14
x
xx
A C x
Bài 2.Cho ba số a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng .Chứng minh
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email: [email protected]
Website: www.caotu.tk
16
2
2
82a bc b c
Bài 3.Cho ba số dương theo thứ tự lập thành một cấp số cộng a,b,c
Chứng minh ba số
3
Rằng 3 số
1 1 1
,,
b c c a a b
cũng lập thành một cấp số cộng
Bài 7.Cho ba số dương a, b ,c lập thành một cấp số cộng .Chứng minh rằng
Ba số
1 1 1
,,
b c c a a b
.Lập thành một cấp số cộng
Bài 8.Cho ba số
2 1 2
,,
b a b b c
Lập thành một cấp số cộng .Chứng minh a,b,c lập thành một cấp số nhân
Bài 9. Ba số a,b,c lập thành một cấp số nhân .Chứng minh
2 2 2
a b c a b c a b c
Bài 10. Ba số a,b,c lập thành một cấp số nhân .Chứng minh rằng
2
2 2 2 2
33
a b b c ab bc
ab bc ca abc a b c
22
17 20 17 20
22
34 31 31 34
) 9& 153
) 0 11& 101
a u u u u
b d u u u u
Tìm d và u
1
Bài 14. Cho cấp số cộng
33
1 15
302094
n
u u u
và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585
Tìm u
1
và d
Bài 15. Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân ;ba số x ,y-4,z theo thứ tự
Cũng lập thành cấp số nhân ;đồng thời các số x,y-4,z-9 theo thứ tự lập thành cấp số
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email: [email protected]
Website: www.caotu.tk
17
DẠY CHỦ NHẬT
4. Nhị Thức nưu tơn
5. Xác suất
6. Cấp số cộng,Cấp số nhân
@1.Nhị thức nưu tơn
Bài 1.Chứng minh
0 2 2 4 4 2008 2008 2008 2009
2009 2009 2009 2009
3 3 3 2 2 1C C C C
Hướng dẫn xét .
2009
2009
0 1 1 2 2 0 1
4 4 4 1 2 2
n
n n n n n n
n n n n n n n
C C C C C C C
*
1
n
x
Cho x=2
4
n
x
=…Cho x=1
Bài 3.Chứng minh
1 2 3 1
2 3 .2
nn
n n n n
C C C nC n
Bài 4 Chứng minh
12
n
x
bằng 6561
Tìm hệ số của x
4
Bài 8.Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
30
12x
CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN
Bài 1.Giải phương trình
32
14
x
xx
A C x
Bài 2.Cho ba số a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng .Chứng minh
2
2
82a bc b c
Bài 3.Cho ba số dương theo thứ tự lập thành một cấp số cộng a,b,c
2 2 2
,,abc
lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 .Chứng minh
Rằng 3 số
1 1 1
,,
b c c a a b
cũng lập thành một cấp số cộng
Bài 7.Cho ba số dương a, b ,c lập thành một cấp số cộng .Chứng minh rằng
Ba số
1 1 1
,,
b c c a a b
.Lập thành một cấp số cộng
Bài 8.Cho ba số
2 1 2
,,
b a b b c
Lập thành một cấp số cộng .Chứng minh a,b,c lập thành một cấp số nhân
Bài 9. Ba số a,b,c lập thành một cấp số nhân .Chứng minh
2 2 2
a b c a b c a b c
Bài 10. Ba số a,b,c lập thành một cấp số nhân .Chứng minh rằng
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email: [email protected]
Website: www.caotu.tk
19
c) Tính các góc của tam giác ABC
d) Bết nửa chu vi tam giác bằng 50 tính các cạnh của tam giác
Bài 13.Cho cấp số cộng (U
n
) biết
22
17 20 17 20
22
34 31 31 34
) 9& 153
) 0 11& 101
a u u u u
b d u u u u
Tìm d và u
1
Bài 14. Cho cấp số cộng
33
1 15
302094
n
u u u
và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585
Tìm u
1
Copyright: Tài liệu đại học ©