Biên son:
Trang : 0
Biên son:
Trang : 2
Vn 2: Phng trình tip tuyn 16
Vn 3: Cc tr ca hàm s 19
Vn 4: Bin lun s nghim ca phng trình bng th 21
Vn 5: Bài toán v cp im i xng 23
Vn 6: th hàm cha giá tr tuyt i 24
Bài tp tng hp 26
Giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s 30
Hàm s ly th a, hàm s m và hàm s lôgarit 33
Vn 1: Phng trình m 34
Vn 2: Phng trình lôgarit 35
Vn 3: Bt phng trình m 37
Vn 4: Bt phng trình lôgarit 38
Bài tp tng hp 39
Tích phân và ng dng 40
Vn 1: Tính tích phân 40
Vn 2: Din tích hình ph!ng - Th tích khi tròn xoay 42
S phc 43
Khi a din –Mt nón, mt tr, mt cu 45
Phng pháp ta trong không gian 49
Mt s tham kho 54
!"
!"!"
!"
# $% $&&&'&(& "
# $% $&&&'&(& "# $% $&&&'&(& "
# $% $&&&'&(& "
1. Li 1:
Vit ch xu, cu th.
Trình bày bài ln xn, không mch lc, ý tng không rõ ràng gây khó hiu
cho giám kho.
Cách khc phc:
C g"ng vit bài rõ ràng, c#n thn.
Phân tích bài, tìm cách gii ngoài nháp, s"p xp các bc thc hin, tính
toán trc các yu t cn thit.
Trình bày thành t ng bc rõ ràng, riêng bit t ng ni dung, v$ hình minh
3. Li 3:
Chép các d kin t bài ra bài làm b sai.
Tính sai mt kt qu và s dng kt qu y làm tip dn ti sai hàng lot tuy
rng cách làm úng.
Cách khc phc:
Hãy ch"c ch"n rng các d kin c chép ra t bài là chính xác trc
khi s& dng
Kim tra kt qu các bc quan trng khi kt qu ó c s& dng cho
nhiu phn khác ca bài làm
4. Li 4:
Làm quá sát câu sau vi câu trc.
Trang : 5
S dng k#ý hiu tùy tin, không gii thiu.
Làm bài quá vn tt, không gii thích, thiu lp lun.
Làm bài quá dài dòng, vit c nhng bin $i lt vt vào bài dn ti bài
làm b ri và phc tp.
Chn các ph"ng pháp cu k%, nhiu k xo trong khi có th chn mt cách
làm "n gin
Cách khc phc:
Hãy gii thiu k)ý hiu trc khi s& dng nu ó là mt k)ý hiu không qui
Biên son:
Trang : 6
B. Bài toán kho sát và v th hàm s:
Phi làm y các phn, m.i phn trên mt dòng riêng bit:
+
.
Hàm s ly tha – Hàm s m – Hàm s logarit
Hc sinh cn xem l%i:
Các tính cht ca hàm s m, %o hàm hàm s m, d%ng th (c
s >1 hay c s <1)
Các tính cht và phép bin i ly th a vi s m nguyên, hu t/, thc
Các tính cht ca hàm s logarit, %o hàm hàm s logarit, d%ng th
( c s >1 hay c s <1)
Các tính cht và phép bin i logarit
Hc sinh cn thuc lòng các d%ng phng trình và bt phng trình m,
logarit c bn. N"m vng các phng pháp gii:
Phng pháp 1: a v các ly th a cùng c s.
Biên son:
Trang : 7
Chng trình không yêu cu gii phng trình, bt phng trình có
tham s hay có cha #n ng th*i ( c s và s m hay cha #n ng
th*i ( c s và biu thc di du logarit ( VD: log
4
(x+2).log
x
2 = 1 )
Khi gii phng trình, bt phng trình logarit: cn t iu kin cho
các biu thc logarit trc khi gii và so iu kin sau khi gii xong
(nu bin i mà cha t k thì các phép bin i phi tng ng)
Chú ý thc hin các bin i logarit sao cho không làm thay $i iu
kin xác nh ca biu thc logarit
Cn xác nh mt biu thc là dng trc khi ly logarit ca chúng
Nh i chiu bt !ng thc khi:
+ Nhân chia hai v cho s âm
+ B hoc thêm c s hai v khi c s < 1
+ B hoc ly logarit hai v khi c s < 1
Nguyên hàm, tích phân và ng dng
Cn thuc chính xác bng các công thc nguyên hàm và các tính cht ca
tích phân
Cn n"m vng các phng pháp i bin s [ d%ng t = ϕ(x) hay d%ng
x = ϕ(t)]
Cn n"m vng công thc tích phân t ng phn và cách áp dng
Lu ý:
+ Cn phân bit rõ 2 phng pháp i bin s và cân nh"c xem nên dùng
phng pháp nào
+ Nh i cn tích phân khi dùng phng pháp i bin s
+ Trong phng pháp tích phân t ng phn cn tránh l-n ln gia nguyên
hàm và %o hàm, chú ý cách chn nguyên hàm v thích hp t dv d-n
n phép tính n gin hn
Tính din tích hình ph!ng: cn chú ý các vn sau
+ Cách tính da vào hình v$ ã có ( tính trc tip phn th cn tính hoc
cách tính gián tip)
+ Cách tính không dùng hình v$ (chú ý du tr tuyt i bên trong du
tích phân và cách x& lý du tr tuyt i tính)
Tính th tích vt th tròn xoay ( chú ý iu kin áp dng công thc):
Nhn trc Ox làm trc quay:
( )
2
b
a
V f x dx
π
=
S phc
D%ng %i s, biu di0n hình hc, môun ca 1 s phc
Các s phc liên quan vi 1 s phc z: s phc liên hp, cách biu di0n, s
liên h v môun ca chúng
N"m vng các phép toán cng, tr , nhân, chia d%ng %i s và cách tính s
Khi a din – Mt nón, mt tr, mt cu.
Hc sinh cn xem l%i toàn b các công thc tính th tích: khi chóp, khi
lng tr, khi cu, khi nón, khi tr và công thc tính din tích xung quanh
mt cu, hình tr, hình nón
Hc sinh cn xem l%i:
+ Các phng pháp chng minh song song, vuông góc. Cách xác nh và
tính góc, khong cách
+ Phng pháp tính th tích khi a din: công thc, dùng t/ s th tích,
dùng phân chia l"p ghép khi a din
+ nh tâm và bán kính mt cu ngo%i tip khi chóp và tính th tích,
din tích xung quanh m/cu
+ Chú ý: Phi v$ hình khi làm bài, phi xác nh úng các gi thit trc
khi làm c bit là gi thit v góc
+ Trong mt s tr*ng hp thun li, có th vn dng Ph"ng Pháp Ta
& có cách gii n gin hn
trình *ng th!ng v úng d%ng nu bài có yêu cu ( Phng trình tham
s, phng trình chính t"c).
Mt s cách gii cn kim tra l%i áp s có tha yêu cu bài hay không.
VECT: + Ta , môun, các phép toán
+ iu kin 2 vect bng nhau, cùng phng, vuông góc, ng
ph!ng ( ca 3 vect, ca 4 im )
+ Công thc tính din tích hình bình hành, tam giác và công thc
tính th tích khi hp, t din
MT CU: Phng trình mt cu, cách tìm phng trình mt cu, v trí
tng i ca mt cu và mt ph!ng.
MT PHNG:
+ Phng trình mt ph!ng, cách vip phng trình mt ph!ng.
Phng trình các mt ph!ng ta , phng trình mt ph!ng theo
*ng th!ng lên 1 mt ph!ng.
KHONG CÁCH:
+ Công thc tính khong cách gia 2 im
+ Công thc tính khong cách gia 1 im và 1 mp
+ Khong cách gia 1 im M và 1 *ng th!ng ∆
Cách làm: tìm hình chiu H ca M trên ∆ và tính dài MH.
+ Khong cách gia 2 *ng th!ng chéo nhau (d
1
), (d
2
# ) "& $*+ $% $& "(,
# ) "& $*+ $% $& "(, # ) "& $*+ $% $& "(,
# ) "& $*+ $% $& "(,
!"#$#
S chung Hàm a thc
Hàm hu t
ad bc
y x D
cx d
<= >
−
∀ ∈
+
Gii h%n
[
]
[ ]
lim
lim
?
?
x
x
y
y
→−∞
→+∞
= ∞
= ∞( Ph thuc du ca
h s l'y tha bc
cao nht )
lim , lim
Suy ra: :
d
x
c
= −
( Lu ý tách xét riêng các gii hn )
( Lu ý gii hn các biên )
Bng bin thiên
(Kt lun tính
"n iu và c c
tr hàm s)
Hàm s (ng bin (nghch bin) trên
các khong (
−∞
;−
d
c
) và (
−
d
c
; +
∞
).
tùy vào du ca (ad
−
bc).
Ví d minh ha: Kho sát s bin thiên và v$ th (C) ca hàm s
a.
3 2
2 3 2
y x x
= − −
b.
4 2
2 2
y x x
= − +
c.
3
1
x
y
y x x
x y
= = −
= ⇔ − = ⇔
= = −
Gii h%n:
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Bng bin thiên :
Kt lun: + Hàm s ng bin trên (-∞; 0), (1; +∞) và nghch bin trên (0; 1)
+ Hàm s %t cc %i t%i
0
x
=
và y
C
Trang : 14
b.
4 2
2 2
y x x
= − +
Tp xác nh: D = R
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
Bng bin thiên :
Kt lun: + Hàm s ng bin trên (-1; 0), (1; +∞) và nghch bin trên
(-∞ ;-1),(0; 1)
+ Hàm s %t cc %i t%i
0
x
=
và y
C
= 2.
+ Hàm s %t cc tiu t%i
1
x
= ±
và y
CT
= 1
+ th hàm s không có tim cn.
Bng giá tr:
x
-2 -1 0 1 2
c.
3
1
x
y
x
+
=
−
Tp xác nh: D = R \
{
}
1
Kt lun: + Hàm s nghch bin trên (-∞; 1), (1; +∞)
+ Hàm s không có cc tr.
Bng giá tr :
x
-1 0 2 3
y
-1 -3 5 3
th :
Biên son:
0
) ∈ (C): Các yêu cu cn xác nh:
0
0
/
0
:
:
( ) :
x
y
k f x
=
Lu ý: Cho hai *ng th!ng (d
1
): y = a
1
x + b
= −1.
M T S! D"NG C BN
Dng 1: Vit ph"ng trình tip tuyn ca *ng cong (C): y = f(x) ti im
M(x
0
;y
0
)
Gi (x
0
;y
0
) là tip im.
Tính f '(x) f '(x
0
)
Ph"ng trình tip tuyn có dng y - y
o
= f '(x
0
)(x - x
0
)
Dng 2: Vit ph"ng trình tip tuyn
∆
ca *ng cong (C) : y = f(x) bit
h s góc cho trc là k
Tính f '(x)
Gi M(x
0
1
(x
1
;y
1
) có h s góc k,
∆
: y = k(x-x
1
) + y
1
(
∆
∆∆
∆
): y
−
−−
−
y
0
= f
/
(x
0
).(x
−
−−
∆
tip xúc(C) : y = f(x) khi và ch, khi h ph"ng trình
sau có nghim
(
)
( )
1 1
( ) ( ) 1
'( ) 2
f x k x x y
f x k
= − +
=
)
;
o o
M x y
là tip im.
Ta có:
( )
3 2 2
0
2 3 2 2 3 0
3
o
o o o o o
o
x
y x x x x
x
=
= − − − = − ⇔ − = ⇔
=
%o hàm :
(
)
2
' 3 6
f x x x
3
o
x
=
:
(
)
' 9
o
f x
=
. Phng trình tip tuyn:
(
)
(
)
'
o o o
y y f x x x
− = −(
)
2 9 3 9 29
y x y x
+ = − ⇔ = −
Vy : có 2 tip tuyn cn tìm là:
2
Biên son:
Trang : 18
o o o
y y f x x x
− = −2 0 2
y y
+ = ⇔ = −
Vy : có 1 tip tuyn cn tìm là:
2
y
= −
.
c. Vi#t phng trình ti#p tuy#n ca (C) bi#t ti#p tuy#n vuông góc v%i &ng
th'ng
1
: 2012
3
y x∆ = +
:
Gi
(
)
;
o o
M x y
là tip im.
%o hàm :
(
)
'
o o o
y y f x x x
− = −(
)
4 3 1 3 1
y x y x
+ = − − ⇔ = − −
Vy : có 1 tip tuyn cn tìm là:
3 1
y x
= − −
.
Nu
( )
f x
có %o hàm trên khong
( ; )
a b
và %t cc %i hoc cc tiu t%i
0
( ; )
x a b
∈
thì
0
'( ) 0
f x
=
.
B - i(u kin hàm s t c)c tr :
nh lý 1 :
0
0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )
f x x a x
x
f x x x b
nh lý 2 :
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
f x
=
>
là im cc tiu ca
( )
f x
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
0
' 0
'' 0
f x
f x
=
<
thì hàm s %t cc %i t%i
0
x x
=
.
Nu
(
)
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=
.
Biên son:
Trang : 20
.
(
)
y f x
=
có hai cc tr nm phía trên trc hoành
0
. 0
C& CT
C& CT
y y
y y
+ >
⇔
>
.
(
)
y f x
=
có hai cc tr nm phía di trc hoành
0
. 0
C& CT
C& CT
2
5
3
y x mx m x
= − + − +
%t cc tiu t%i
1
x
=
Gii:
Tp xác nh : D = R
%o hàm:
2
2
' 3 2
3
y x mx m
= − + −
Hàm s %t cc tiu t%i x = 1 nên
(
)
' 1 0
y
=
2 7
Ta có:
( )
4
'' 1 0 1
3
y x
= > =
là im cc tiu.
Vy :
7
3
m
=
tha yêu cu bài.
Biên son:
S giao im ca (C) và d là s nghim ca ph"ng trình (1).
D a vào ( th (C) bin lun
giá tr m.
Ví d minh ha:
Cho hàm s
3 2
3 1
y x x
= − + −
có th là (C)
1. Kho sát s bin thiên và v$ th (C) ca hàm s.
2. Da vào th (C) bin lun theo k s nghim thc ca phng trình
3 2
3 0
x x k
− + − =
.
3. Tìm a phng trình
3 2
2
3 1 log 0
x x a
− − + =
có 3 nghim thc phân bit.
Gii:
1. Kho sát s bin thiên và v$ th (C) ca hàm s.
1
y k
= −
là *ng th!ng d vuông góc vi Oy.
S giao im ca (C) và d là s nghim ca phng trình (*)
Biên son:
Trang : 22
1 3 4:
k k
− = ⇔ =
phng trình (*) có 2 nghim.
1 3 4:
k k
− > ⇔ >
phng trình (*) có 1 nghim.
3. Tìm a phng trình
3 2
2
3 1 log 0
x x a
− − + =
có 3 nghim thc phân bit.
Ta có :
(
)
3 2
2
3 1 log 0
*
x x a
− − + =3 2
2
1 log 2 3
a
⇔ − < − <2
1 log 5 2 32
a a
⇔ < < ⇔ < <
Vy :
(
)
2;32
a
∈
tha yêu cu bài.
Biên son:
I x y
là tâm i xng ca th
(
)
(
)
:
C y f x
=
⇔
Tn t%i hai im M(x;y) và M’(x’;y’) thuc (C) tha
( ) ( )
0
0
' 2
' 2
x x x
f x f x y
+ =
+ =
( ) ( )
0
0 0
' 2
2 2
x x x
= − + −
có th là (C)
Tìm trên th (C) các cp im i xng nhau qua im
1
;3
2
I
Gii:
Gi
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
; , ;
M x y M x y
là cp im tha bài.
1 2
,
M M
i xng qua
1
;3
2
I
=
Ta có:
(
)
(
)
3 2
1 1 1 1 1 1
; 3 1
M x y C y x x
∈ = − + −(
)
( )
( ) ( )
3 2
; 3 1
2 2 2 2 2 2
3 2
3
1 3 1 1 3 1
1 1 1 1
Vy: Cp im tha bài là
(
)
1
1;3
M
−
và
(
)
2
2;3
M .
Biên son:
| ) có ( th là (C
1
)
Vi
0
x
≥
ta có :
( )
y f x
=
Mt khác:
(
)
(
)
f x f x
− =(
)
y f x
=
là hàm s ch1n.
th (C
1
) gm 2 phn :
th (C
2
) gm 2 phn :
Phn 1 : Gi nguyên phn th (C) bên trên trc Ox
Phn 2 : Ly i xng qua Ox phn th (C) bên di trc Ox. Sau ó b
phn th (C) bên di trc Ox.
Ví d minh ha:
Cho hàm s
3 2
3 1
y x x
= − + −
có th là (C)
1. Kho sát s bin thiên và v$ th (C) ca hàm s.
2. T th (C), hãy v$ th các hàm s sau:
a.
3 2
3 1
y x x
= − + −
.
b.
3
2
3 1
y x x
= − + −
.
Gii:
Copyright: Tài liệu đại học ©