NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
Vấn đề 1 : Hệ Thức Lượng Cơ Bản
Kiến thức cơ bản
sin cos
tan ;cot
cos sin
a a
a a
a a
= =
Hệ quả 1 :
1
tan
cot
tan .cot 1
1
cot
tan
a
a
a a
a
a

=


= ⇔


=

sin ,tan ,cot
5 3 4
a a a= = =
2. Tính cosa, tana, cota biết
12
sin
13
a = −
và
3
2
a
π
π
< <
Đs :
5 12 5
cos ,tan ,cot
13 5 12
a a a= − = =
3. Tính cosa, sina, cota biết
tan 2a = −
và
0
90 0a− < <
Đs :
1 6 2
cos ,sin ,cot
3 2
3

= =
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC BẰNG SỬ
DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN.
6. .tính
cot 2tan
tan 3cot
a a
E
a a
−
=
+
biết
3
sin
5
a =
và
0 0
90 180a< <
Đs :
2
57
E = −
7. Tính
sin 3cos
cos 2sin
a a
F
a a

H
a a
−
=
+
biết
tan 2a =
Đs :
1
3
H =
Đơn giản các biểu thức sau :
10.
( )
2 2 2
1 sin cot 1 cotM x x x= − + −
Đs :
2
sinM x=
11.
2
2cos 1
sin cos
a
N
a a
−
=
+
Đs :

3 sin 2 sin 1a cos a a cos a+ − + =
15.
( ) ( ) ( )
2
2 2
sin cos 1 t sin 1 cota a cos a ana a a
− = − + −
16.
2 2 2 2
tan sin tan .sina a a a− =
17.
2 2 2 2
cot cot .a cos a a cos a− =
18.
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
a a
a a a
+
+ =
+
19.
1 cos 1 cos
2cot . 0
1 cos 1 cos 2
a a
a a
a a
π
+ −

8 8 6 6 4
3 sin 4 2sin 6sinC a cos a cos a a a
= − + − +
Đs:
1C =
23.
( )
4 4
4 sin cos os4D a a c a
= + −
Đs :
3D =
24.
( )
8 8
8 cos sin os6 7cos2E a a c a a= − − −
VẤN ĐỀ 2 – GÓC CUNG LIÊN KẾT.
25.
0 0 0 0
tan10 .tan 20 tan70 .tan80 1=
26.
0 0 0 0
os20 os40 os160 os180 1c c c c+ + = −
27.
0 0 0 0
tan50 tan75 tan230 tan255+ = +
28.
0 0 0 0
os20 os40 sin110 sin130c c+ = +
29.

33.
( )
0 0 0
0 0
0
cot 44 tan 226 os406
ot17 . ot73
os316
c
B c c
c
+
= −
Đs :
1B =
34.
0 0 0 0
cot5 cot10 cot80 .cot85C =
Đs :
1C =
35.
0 0 0 0 0 0
cos10 cos20 cos30 cos190 cos200 cos210D
= + + + + +
Đs :
0D =
36.
9 6 11
os os os
16

2sinF
α
= −
38.
( )
3 3
os 5 sin tan .cot
2 2 2
G c
π π π
α π α α α
     
= − + − + − + −
 ÷  ÷  ÷
     
ĐS:
1G =
39.
( ) ( ) ( )
3
cot 2 . os os 6 2sin
2
H c c
π
α π α α π α π
 
= − − + − − −
 ÷
 
ĐS:

i. Giả sử
2 2
0a b+ >
( và a và
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
2
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
b không đồng thời triệt tiêu)
Ta có :

( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
cos sin
. cos sin
cos . os sin .sin
. os( )
E a x b x
a b
a b x x
a b a b
a b x c x
a b c x
ϕ ϕ
ϕ
= +
 
= + +

sin cos 2 sin
4
a a a
π
 
− = −
 ÷
 
Rút gọn các biểu thức sau :
40.
0 0 0 0
os54 . os4 os36 . os86A c c c c= −

ĐS :
0
58A cos=

41.
0 0 0 0
sin56 .sin 4 sin34 .sin86B = −
ĐS:
1
2
B = −
42.
0 0
0 0
tan64 tan176
1 tan64 .tan356
C

a b a b
+ +
=
− −
ĐS :
cotF b= −
46.
5
tan tan
12 12
5
1 tan .tan
12 12
G
π π
α α
π π
α α
   
+ − +
 ÷  ÷
   
=
   
+ + +
 ÷  ÷
   
ĐS :
3G = −
47.

49.
cot .cot 1
cot( )
cot cot
a b
a b
b a
± =
±
m
50.
tan( ) tan tan tan .tan .tan( )a b a b a b a b
+ − − = +
51.
2sin( )
tan tan
os( ) os( )
a b
a b
c a b c a b
±
= ±
+ + −
52.
2 2 2
sin ( ) sin sin 2sin .sin . os( )a b a b a b c a b
+ − − = +
Chứng minh các biểu thức sau không phụ
thuộc vào x :
53.

sin 2 2sin cosa a a=
2 2
2
2
os sin
os2 2 os 1
1 2sin
c a a
c a c a
a

−

= −


−

2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
Hệ quả
Đặt
tan

+
=
−
Công thức nhân 3
3
3
3
3
sin 3 3sin 4sin
os3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
c a a a
a a
a
a
= −
= −
−
=
−
58.Tính
sin 2 , os2 ,tan 2a c a a
biết
5 3
cos à
13 2
a v a

ĐS :
3
16
A =
61.
sin . os . os . os
12 12 6 3
B c c c
π π π π
=
ĐS:
3
16
B =
62.
2 0
2cos 75 1C = −
ĐS:
3
2
C = −
63.
2 0
1 2sin 75D = −
ĐS:
3
2
D = −
64.
( ) ( )

G = −
67.
2 0
0
1 cot 105
cot75
H
−
=
ĐS:
2 3H =
Chứng minh rằng :
68.
3 3
sin 4
cos .sin sin .cos
4
a
a a a a− =
69.
3 3
sin cos sin 2
1
sin cos 2
a a a
a a
−
= +
−
70.

 ÷ ÷
  
73.
2
sin 2 2sin
tan
sin 2 2sin 2
a a a
a a
−
=
+
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
4
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
74.
2
1 sin 2sin
2 4
a
a
π
 
− = −
 ÷
 
75.
0 0
sin3 4sin .sin(60 ).sin(60 )a a a a= + −
76.

=
−
nếu
2
tan
15
a =
ĐS:
28000
35101
N = −
80.
2sin 2 os2
tan 2 cos2
a c a
P
a a
−
=
+
nếu
1
tan
2 2
a
= −
ĐS:
287
551
P = −

82.
sina.sin2a.sin3a
ĐS:
1 1 1
sin6 sin 4 sin 2
4 4 4
a a a− + +
83.
cos .cos .cosa b c
ĐS:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
4 4
1 1
4 4
cos a b c cos a b c
cos b c a cos c a b
+ + + + − +
+ + − + + −
Chứng minh các đẳng thức sau:
84.
sin .sin( ) sin .sin( ) sin .sin( ) 0a b c b c a c a b
− + − + − =
85.
os(a+b).sin(a-b)+cos( ).sin( ) os( ).sin( ) 0c b c b c c c a c a
+ − + + − =
86.
0 0
1

− = −
sin sin 2sin os
2 2
a b a b
a b c
+ −
+ =
sin sin 2 os sin
2 2
a b a b
a b c
+ −
− =
Hệ quả :
cos sin 2 os
4
a a c a
π
 
+ = −
 ÷
 
cos sin 2 os
4
a a c a
π
 
− = +
 ÷
 

tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
( )
sin
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
( )
sin
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
−
− =
Biến đổi các biểu thức sau về dạng tích :
88.
0 0 0
sin 70 sin20 sin50− +
ĐS:

 ÷  ÷
   
Đơn giản các biểu thức sau:
92.
sin( ) sin os( ) os
sin( ) sin os( ) os
a b a c a b c a
A
a b a c a b c a
+ − + +
= −
+ + + −
ĐS :
2.cot
2
sin
b
a
A
b
 
+
 ÷
 
=
93.
1 cos os2
1 3sin 2cos
x c x
B

(bù)
A B C
π
+ = −
( phụ)
sin( ) sinA B C+ =
os( ) osc A B c C+ = −
sin os
2 2
A B C
c
+
=
tan cot
2 2
A B C+
=
Bất đẳng thức côsi
Cho a ,b >0 ta luôn có
2 .a b a b+ ≥
hay
2
.
2
a b
a b
+
 
≤
 ÷

Định lí hàm số cosin
2 2 2
2 2 2
2 cos
cos
2
a b c bc A
b c a
A
bc
= + −
+ −
⇔ =
Cho tam giác ABC biến đổi các biểu thức sau
về dạng tích :
96.
sin sin sinA B C+ +
ĐS:
4. . .
2 2 2
A B C
cos cos cos
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
6
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
97.
sin 2 sin 2 sin 2A B C+ +
ĐS:
4.sin .sin .sinA B C
98.

A B B C C A
+ + =
105.
5 5 5
sin5 sin5 sin 5 4. os . os . os
2 2 2
A B C
A B C c c c
+ + =
106.
sin 6 sin 6 sin 6 4sin3 .sin3 .sin 3A B C A B C+ + =
107. Chứng tỏ rằng nếu tam giác ABC có
tanA tan 2cot
2
C
B+ =
thì tam giác ABC là 1
tam giác cân.
108. Cho tam giác ABC , đặt
2 2 2
sin sin sinT A B C= + +
. Chứng minh
rằng tam giác ABC nhọn
2T
>
.
109. Hãy nhận dạng tam giác ABC biết :
2 2 2
os os os 1c A c B c C+ + =
.

.sin .sin .sin 9
a A b B c C p
a B b C c A R
+ +
=
+ +
(trong đó p
là nửa chu vi. R là bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác). Thì tam giác ABC là tam giác
đều.
114. Giả sử tam giác ABC thỏa mãn điều kiện :
( )
2 .cos .cos .cosa A b B c C a b c+ + = + +
. Thì
tam giác ABC là tam giác đều.
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG.BMT – 0975 034 943
7