Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net
1
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân
NGUYÊN HÀM

VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA:
ĐN
1
: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b)
ĐN
2
: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]
xa
xb
F'(x) f(x); x (a;b)
F(x) F(a)
F' (a) lim f(a)
xa
F(x) F(b)
F' (b) lim f(b)
xb
+
−
+
→
−
→
⎧
⎪
=∀∈

*Các trường hợp đặc biệt:
d(ax+b) = adx
2
1d
d=-
xx
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
x

()
dx
dx=
2x

2
dx
d(arc sinx) =
1-x

2
dx
d(arc cosx) =-
1-x

2
dx
d(arc tgx) =
1+x

x
) = e
x
dx
d(a
x
) = a
x
lnadx
A. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN:
NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA

1/
()
n+1
n
x
xdx= +C n¹-1
n+1
∫

Trường hợp đặc biệt của nhóm I
3/
dx = x+C
∫
2/
()
-1
dx
xdx= =lnx+C x 0

n+1
∫

6/
()
nn-1
dx -1
=+
xn-1x
∫
C
8/
n
n-1
n
dx n
=x+
n-1
x
∫
CNHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC

9/
sinxdx = -cosx +C
∫
11/
2

∫
17/
()
x
x
a
a = +C 1 a > 0
lna
≠
∫

16/
-x -x
edx=-e +C
∫

18/
(
)(
lnxdx=x lnx-1 +C x>0
)
∫NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0)

19/
2
dx
=arctgx+C

dx
= arcsinx+C
1-x
∫
24/
22
dx x
=arcsin +C
a
a-x
∫

25/
2
2
dx
=lnx+ x ±1+C
x±1
∫
26/
22
22
dx
=lnx+ x ±a +C
x±a
∫

27/
2
22 22


2/
-1
dx 1
(ax + b) dx = = ln (ax+ b) +C (ax + b 0)
(ax + b) a
≠
∫∫

Các trường hợp đặc biệt của nhóm I
3/ 4/
d(ax + b) = ax+b+C
∫
2
dx -1
=+
(ax+b) a(ax + b)
∫
C

5/
mm
nn
n
(ax+ b) dx = (ax+b) +C
a(m+n)
∫
+n
6/
nn

sin(ax+b)dx = - cos(ax +b)+C
a
∫
10/
1
cos(ax +b)dx = sin(ax+b)+C
a
∫

11/
2
dx 1
=tg(ax+b)+C
cos (ax+b) a
∫
12/
2
dx 1
=- cotg(ax+b)+C
sin (ax+b) a
∫

13/
1
tg(ax+b)dx = - ln cos(ax+b) +C
a
∫
14/
1
cotg(ax+b)dx= lnsin(ax+b)+C


18/
22
dx 1 ax+ b
=arctg +
(ax+b) + a aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫
C
19/
22
dx 1 (ax+b)- a
=ln +
(ax+b) - a 2aa (ax +b)+a
∫
CNHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC MỞ RỘNG ((α ≠ 0; a > 0)

20/
22
dx 1 (ax+b)
=arcsin +C
aa
a-(ax+b)
∫


VẤN ĐỀ 3: THUẬT PHÂN TÍCH HÀM TRONG DẤU TÍCH PHÂN VỀ DẠNG CHUẨN
TRONG BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN:
Biến đổi hàm tích phân về dạng:
[Af(x)±Bf(x)+ ]dx = A f(x)dx ± B g(x)dx+
∫∫∫
B
B
1
: Cụ thể phải
1/ Nhân phân phối: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd
2/ Khai triển các hằng đẳng thức:

22 2
33 2 23
(A±B) = A ±2AB+B
(A± B) = A ±3A B+ 3AB ± B ;
3/ Thêm bớt hạng tử:
Xb
X=(X+B)-B;X= (b 0);
b
≠

4/ Nhân lượng liên hợp:
llh
A ± B A m B; ←⎯→
5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức:
22
22
22
22

1A
=A ; A =A ;(A ) =A ;AB =(AB); =
AB
A
B

B
B
3
: Một việc quan trọng là sử dụng được công thức tích phân hàm hợp
f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+C
∫
với F là một nguyên hàm của f thì bài toán giải quyết nhanh và
gọn.
Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn. Ta có đònh
nghóa:
mở rộng
1 khi x > 0 1 khi f(x) > 0
sgn(x) = sgn[f(x)]=
-1 khi x < 0 -1 khi f(x) < 0
⎡⎡
⎯⎯⎯⎯→
⎢⎢
⎣⎣

VẤN ĐỀ 4: HẰNG SỐ C TRONG HÀM NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN BẤT ĐỊNH:
Dạng 1: Tìm hằng số C trong hàm nguyên hàm
Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên [a;b] khi nó thỏa một giả thiết nào đó tại x
0

B
1
: Xét một tổng f(x) có nguyên hàm là tổng liên tiếp các hạng tử của một cấp số nhân mà
số hạng đầu là a
1
, có n hạng tử và công bội q thì:
n
1
1-q
F(x) = a
1-q
.
B
B
2
: So sánh f(x) = F’(x) ta được tổng cần tìm. VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ:
f(x)dx = f[ (t)] '(t)dtϕϕ
∫∫
∫
. Với x = ϕ(t)
f[ (x)] '(x)dx = f(t)dtϕϕ
∫
. Với t = ϕ(x) là biến mới.

A. BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x)

DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI

∫
Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx
6.
2
dx
f(tgx)
cos x
∫
Đặt t = tgx ⇒
2
dx
dt =
cos x

7.
2
dx
f(cotgx)
sin x
∫
Đặt t = cotgx ⇒
2
-dx
dt =
sin x

8.
xx
f(e )e dx
∫

⎢
⎢
⎢
⎣
∫

Đặt
2
t=arc tgx
dx
dt = ±
t=arc cotgx 1+x
⎡
⇒
⎢
⎣

11.
2
2
1
f(arc sinx) dx
1-x
1
f(arc cosx) dx
1-x
⎡
⎢
⎢
⎢

xx
⎛⎞
⇒
⎜⎟
⎝⎠
∓B. ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t)

DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI
1.
()
22
fx,x+a dx
∫

2
a
x=atgt dx= dt
cos t
⇒

2.
()
22
fx,a-x dx
∫

x=asint dx=acostdt⇒

P(x) dx
e

⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎢
⎢⎥
⎣⎦
∫
. Trong đó P
n
(x) là đa thức bậc n.
Ta đặt u = P
n
(x) và
(ax+b)
sin(ax + b)
cos(ax+b)
dv = dx
e

⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân từng phân phải thực hiện cho dạng này.
Dạng 2:

n
(x)dx
TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH:

I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN:
1. Đònh nghóa:

y
x
a
b
A
A'
B
B'
y=f(x)
O
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm
xác đònh trên đoạn [a;b]. Khi đó hình
phẳng giới hạn bở trục hoành, đường
cong y = f(x) và các đường thẳng có
phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là
hình thang cong (Hình thang hỗn
tuyến AA’B’B).


k
= x
k
- x
k-1
. Nghóa là: Δx
1
= x
1
- x
0
, Δx
2
= x
2
- x
1
,
Lập tổng Được gọi là tổng tích phân của hàm số
y = f(x) trên [a;b].
n
kk 11 22 n
k1
f( ) x f( ) x f( ) x f( ) x
=
ξΔ =ξΔ + ξΔ + + ξΔ
∑
n

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net

a
f(x)dx
∫
x = b.
• Từ trên ta có công thức Niutơn - Lépnit (Newton -
Leibnitz):
b
b
a
a
f(x)dx = F(b)- F(a) = F(x)
∫
. Trong đó: F’(x) = f(x).

VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ
TÍCH:
Dạng 1: Tính tích phân
∫
bằng phép phân hoạch và bài toán ngược
b
a
dx)x(f
1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bò chặn trên đoạn
[a;b] đó.
2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn
[a;b] đó.
• Khi tính tích phân bằng đònh nghóa cần thực hiện:
B
B
1

∑
B
B
4
: Ta có
b
n
n
a
xf(x)dx limS
→∞
=
∫
Cần nhớ một số kết quả:
1)
n(n+1)
1+ 2 +3 + + n =
2

2)
222 2
n(n+1)(2n+1)
1 + 2 +3 + +n =
6

3)
2
333 3
n(n+1)
1 + 2 +3 + + n =

2
: (Đk đủ) Mọi hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó.
ĐL
3
:Mọi hàm f bò chặn trên đoạn [a;b] và gián đoạn tại hữu hạn các điểm
x
0
∈ [a;b] mà (*) thì f vẫn khả tích trên đoạn [a;b] đó.
0
0
xx
xx
lim f(x) R
−
+
⎧
⎪
→
⎨
→
⎪
⎩
∈
Cần nhớ: f liên tục trên đoạn [a;b] thì f bò chặn trên đoạn [a;b].
ĐL
4
:Mọi hàm f bò chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó.
Dạng 3: Sử dụng đúng đắn công thức Newton – Leibnitz. Công thức Newton - Leibnitz:
khi nó thỏa đồng thời hai điều kiện:
b

()
f[ (x)] '(x)dx f(t)dt
βϕ
αϕ
ϕϕ =
∫∫
β
α
)
)
• Với các ghi nhớ:
) Đặt t = ϕ(x); với t là biến đổi số mới.
) Trong đó: và t = ϕ(x) là hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm
trên [α;β].
xt(
xt(
=α⇒ =ϕα
⎧
⎨
=β⇒ =ϕβ
⎩
• PP
2
- ĐỔI BIẾN SỐ NGHỊCH: là sử dụng công thức (2)
1
1
(b)
b
a
(a)

-1
(x) > là quan trọng như tính liên tục và
khả đạo hàm của t trên [α;β] < hay [a;b] >.
Chẳng hạn trong (1), ta giả sử t = ϕ(x) không đơn điệu trên [α;β] thì sẽ có trường hợp
ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β mà . Lúc đó (1) không còn đúng!
(1)
(1)
VP 0
VT 0
=
⎧
⎪
⎨
≠
⎪
⎩

VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC

Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức cơ bản thứ nhất

Tính tích phân
b
1
2
a
dx
I(
xx
=α

22
a
a
dX 1 X
= arctg
X+A A A
⎡
⎢
⎣⎦
∫
⎤
⎥
Nếu Δ < 0
2)
b
b
22
a
a
dX 1 X-A
=ln
X-A 2A X+A
⎡
⎢
⎣⎦
∫
⎤
⎥
Nếu Δ > 0
3)

2
a
mx n
Idx(0
xx
+
=α
α+β+γ
∫
;m0)≠≠

Ta làm 2 bước:
B
B
1
: Kiểm tra tính khả tích của hàm dưới dấu tích phân và đưa tích phân về dạng:
bb
2
22
aa
m2x m2n dx
Idx
2xx 2 xx
α+β β −α
⎛⎞
=−
⎜⎟
α α +β +γ α α +β +γ
⎝⎠
∫∫