Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.


!"#$%&
'()
 trường THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó
giải toán là hình thức chủ yếu. Để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ngoài
việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho các em giáo viên cần hướng dẫn học sinh
phát triển, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản có trong sách giáo khoa để các
em có suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán. Nhưng tiếc rằng
trong các nhà trường hiện nay phần lớn các giáo viên chưa có thói quen phát
triển, mở rộng một bài toán thành chuỗi các bài toán liên quan cho học sinh. Việc
chỉ dừng lại ở các bài tập đơn lẻ làm cho học sinh thụ động, khó tìm được mối
liên hệ giữa các kiến thức đã học. Cho nên khi gặp một bài toán mới các em
không biết xuất phát từ đâu? Những kiến thức cần sử dụng là gì? Nó liên quan
như thế nào với các bài toán trứơc đó? Trong quá trình giảng dạy tôi thấy việc
tìm tòi mở rộng các bài toán quen thuộc là phương pháp học khoa học, có hiệu
quả. Phát triển từ dễ đến khó là con đường phù hợp cho học sinh khi rèn luyện kĩ
năng giải toán. Việc tìm tòi để phát triển, mở rộng các bài toán làm tăng thêm
hứng thú học tập, óc sáng tạo của học sinh. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học
khi phân tích, phán đoán tìm lời giải cho các bài toán khác và ngày càng tự tin
hơn vào khả năng giải toán của mình
Bài viết này tôi xin đưa ra một số ví dụ về cách phát triển, mở rộng một số
bài toán hình học cơ bản trong chương trình sách giáo khoa toán 9 phần đường
tròn, xin được trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp.
***Giới hạn nghiên cứu
Trên cơ sở bồi dưỡng chuyên môn hè và chỉ đạo của phòng GD - ĐT
Thăng Bình hè 2009, sau khi rút kinh nghiệm kết quả ban đầu, đã tập trung
nghiên cứu cải tiến kỷ thuật về tiết dạy hình học trên lớp, tinh thần học tập của
học sinh lớp 9 theo hướng phát triển, mở rộng các bài toán sách giáo khoa hình

chí vươn lên” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4). Đó là một trong những
định hướng quan trọng đổi mới phương pháp dạy học. Nhất là dạy học Toán phải
dạy cho học sinh năng lực phát hiện và giải toán. Do đó, giáo viên phải rèn luyện,
bồi dưỡng cho học sinh kĩ năng tự học độc lập, thực chất là thói quen độc lập suy
nghĩ, suy nghĩ sâu sắc khoa học để có khả năng phân tích, tổng hợp cao khi giải
một bài toán bằng cách xâu chuỗi, khai thác và phát triển các bài toán cơ bản ở
sách giáo khoa”
(*/0
Qua giảng dạy Toán lớp 9 THCS, dạy ôn thi tốt nghiệp THCS, tham gia
chấm thi tốt nghiệp THCS. Bản thân tôi nhận thấy phần Hình học lớp 9 về đư"ng
tr#n có vai trò quan trọng trong các đề thi.
Không phải ngẫu nhiên mà các đề thi tốt nghiệp môn toán THCS ở khắp cả
nước phần hình học thường có nội dung liên quan đến đư"ng tr#n cũng như các
đề thi của trường chuyên, lớp chọn cũng vậy. Đó là bởi vì các bài tập hình học về
đư"ng tr#n đòi hỏi học sinh phải huy động, vận dụng hầu hết các kiến thức hình
học đã được học ở cấp THCS vào làm bài.
Chính vì phải vận dụng kiến thức tổng hợp để giải toán nên đối với phần lớn
học sinh các bài toán hình học thường là khó. Qua các đợt thi tốt nghiệp các năm
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 2
Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.
tôi nhận thấy có những bài toán khá đơn giản mà học sinh không làm được hoặc
làm không chính xác.
Cụ thể, năm học 2008 - 2009 tại địa bàn trường THCS Nguyễn Bá Ngọc, tôi
có trực tiếp giảng dạy toán lớp 9. Kết quả đạt được phần hình học của bài kiểm
tra học kỳ I như sau:
Giỏi Khá T.bình Yếu, kém TB trở lên
10.6% 10.4% 19.0% 60.0% 40.0%
Nguyên nhân dẫn đến các hạn chế của học sinh là:
- Do tâm lý học sinh thường nghĩ các bài toán hình học tổng hợp thuộc

Việc chứng minh bài toán này khá đơn giản.
Giáo viên chỉ cần gợi ý qua hai câu hỏi:

·
ANB
và
·
AMB
có gì đặc biệt?
Điểm A có quan hệ như thế nào với ∆SBH
hoặc (Điểm H có quan hệ như thế nào với ∆SBA,
tuỳ vào hình vẽ)
L"i bình:
Nếu bài toán này chỉ dừng lại ở đây thì thật
là đáng tiếc, ta có thể phát triển nó thành bài
toán tổng hợp và xâu chuỗi bài toán này với các bài
toán khác.
Chẳng hạn: Ta đặt thêm câu hỏi. Chứng minh: SN.SB = SA.SM
Học sinh dễ dàng chứng minh được ∆SAN ∆SBM và rút ra kết luận
SN.SB = SA.SM
Nhận xét 2:
Từ kết quả ∆SAN ∆SBM => SN.SB = SA.SM, nếu ta chứng minh:
∆SAB ∆SNM => SN.SB = SA.SM, ta có thể liên hệ với bài tập 18 (Trang 76
SBT Toán 9 T
2
)
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn.
Qua M vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn ở A và B.
Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi
Nhận xét 3:

)
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 4
S
S
S
?
O
!




G
2
H
o


!

?

G
?
H
?
o
!



. Tổng hợp kết quả trên ta có bài toán tổng quát sau:
Bi ton tổng qut:
Cho tứ giác ANBM. AB cắt MN tại P, BN cắt AM tại S. Chứng minh
rằng các kết luận sau là tương đương
a, ANBM nội tiếp đường tròn
b
·
ABN
J
·
AMN
4
·
NAM
+
·
MBN
= 180
0
d, SN.SB = SM.SA
e, PN.PM = PA.PB
Chú ý: Bài toán này có thể áp dụng được rất nhiều nên giáo viên có thể
hướng dẫn học sinh giải chi tiết và ghi nhớ.
Ta tiếp tục quay lại (Bài 19, trang 75 SGK Toán 9, T
2
)
Gọi giao điểm của đường thẳng AB với SH là I. Chứng minh
a, Tứ giác SNAI nội tiếp
b
·

INB
,vì INBH nội tiếp)
Câu c, ∆IBH nội tiếp đường tròn đường kính BH,
gọi K là trung điểm của BH ta có:
·
NSQ
=
·
SNQ
(∆QSN cân tại Q)
·
BNK
J
·
NBK
(∆KNB cân tại K)
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 5
?


!



G
2&5
H

?


·
NBK
= 90
0
(∆SMB vuông tại M)
=>
·
QNS
+
·
KNB
J
·
NSQ
+
·
NBK
= 90
0
=>
·
QNK
= 90
0
Hay QN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆IBH
Lưu ý: Bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được QI là tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp ∆IBH, đường tròn ngoại tiếp INBH
b) Bài toán 2& (Bài 22, trang 76 SGK Toán 9, T
2
)

vuông góc với AO cắt nửa đường (O) tại D. Gọi E là điểm chính giữa cung BD;
F là giao điểm của AE và CD
a, Chứng minh tứ giác CFEB nội tiếp
b, Tính AD.
c, Gọi giao điểm của AE với OD là I. Chứng minh đường thẳng EO là tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆FCI
Định hưng giải: (H
7
)
Câu a, b ta dễ dàng chứng minh và tính được
Câu c, ta áp dụng bài toán phát triển của bai toán 1
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 6
o
?


!

G
P
H
S
o
?

!

G
Q
H

b, Tam giác ABE cân
c, FB vuông góc với NK
d, Tứ giác AFEQ là hình thoi
Định hưng giải: (H
8
)
Câu a, áp dung kết quả bài toán phát triển của bài toán 1
Câu b, c, sử dụng các tính chất của góc nội tiếp và cung
bị chắn Câu d, sử dụng tính chất của góc với đường tròn
và tính chất của đường thẳng song song
Bi 4: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O)
vẽ cát tuyến MAB tới đường tròn (A nằm giữa M và B).
Hai tiếp tuyến với (O) tại A và B cắt nhau tại C; MO cắt
đường tròn đường kính OC tại H; CH cắt AB tại N; AB cắt OC tại I. Chứng
minh rằng:
a, CN.CH = CI.CO
b, MA.MB = MI.MN
Định hưng giải: (H
9
)
Sử dụng kết quả bài tập 18 (SBT)
Ta có: Tứ giác INHO nội tiếp => CN.CH = CI.CO
MA.MB = MH.MO
MH.MO = MI.MN
( TL-U1-
Đề tài “Hướng dẫn học sinh phát triển, mở rộng bài toán hình học sách
giáo khoa Toán 9 phần đường tròn” đã được báo cáo ở tổ chuyên môn trong học
kỳ I năm học 2009 – 2010 tại trường THCS Nguyễn Bá Ngọc và đã được chuyên
môn trường góp ý, sửa chữa, bổ sung thống nhất vận dụng trong toàn trường.
Học kỳ I năm học 2009 – 2010, trên cơ sở bồi dưỡng chuyên môn hè 2009

- Trong việc soạn bài, chuẩn bị bài các bài toán mở rộng, tổng hợp và tổ
chức dạy có vất vả, song các tiết học đã đem lại hiệu quả tốt hơn, phát huy được
tất cả các đối tượng học sinh, đáp ứng được nhu cầu, nguyện vọng của học sinh.
( T+ 
2&V6:E4W68:8X:67D
Đổi mới phương pháp dạy học là một quá trình, song mỗi giáo viên cần có
ý thức tìm tòi những phương pháp dạy học phù hợp với từng loại bài tập và từng
đôi tượng học sinh theo phương pháp dạy học mới là lấy học sinh làm trung tâm,
tích cực hoá các hoạt động của học sinh trong quá trình học tập.
Học sinh THCS còn ở độ tuổi thiếu niên, khả năng tư duy, khái quát còn
hạn chế. Do đó khi đứng trước các bài toán khó việc tìm ra lời giải đã khó chứ
chưa nói gì đến việc sáng tạo. Vì vậy người giáo viên cần có sự đầu tư để có
phương pháp dạy thích hợp để mỗi học sinh đều có thể tự tin trong học tập và
sáng tạo.
Đề tài “Hướng dẫn học sinh phát triển, mở rộng bài toán hình học sách
giáo khoa Toán 9 phần đường tròn” là một ví dụ nhỏ minh hoạ cho một ý tương
không nhỏ theo một nghĩa nào đó.Qua đề tài này tôi muốn gửi đến các đồng
nghiệp một chút kinh nghiệm nhỏ của mình và mong muốn được chia sẻ và góp
ý.
Cuối cùng xin tóm lại một điều: "Trong dạy học toán không có bài toán
nào tầm thường cả, trước mỗi bài toán hãy dành thời gian nắm bắt các yếu tố và
định hướng trong suy nghĩ, chứ đừng cảm nhận quá nhiều""
?& Y=Z[\84:[8X
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 8
Hưng dn hc sinh pht trin, m rng mt số bi ton hình hc trong sch
gio khoa ton 9 – phần đư"ng tr#n.
Hướng dẫn học sinh phương pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ
bản giúp học sinh nắm vững kiến thức, giải quyết linh hoạt các bài tập toán và
đạt kết quả cao trong học tập môn toán. Điều quan trọng nhất, cần đề cập bài
toán theo nhiều hướng khác nhau, nghiên cứu kỹ, khảo sát kỹ từng chi tiết và kết

*+,+  nF8X2
(*/0 nF8X?
(-1- nF8XI
2o3456789:39=:>4:678 nF8XI
?o34@ABCD68::EF nF8XI
FHV6=a382 nF8XI
5HV6=a38? nF8XP
( TL-U1- nF8XO
( T+  nF8XS
2oV6:E4W68:8X:67D nF8XS
?o Y=Z[\84:[8X nF8XS
(] nF8X"
^_+_ nF8X"
^+`-! U nF8X"
^_+_ nF8X2i
GV: Nguyễn Văn Đ"i - Trư"ng THCS Nguyễn B Ngc Trang 10