CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : PHAN VĂN VIỆT – ĐT 0962931061
MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trong các đề thi đại học những năm gần đây , đa số các bài toán về giải phương trình lượng giác đều
rơi vào một trong hai dạng :phương trình đưa về dạng tích và phương trình chứa ẩn ở mẫu . Nhằm
giúp các bạn ôn thi có kết quả tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số kĩ năng quan trọng của dạng
toán đó
I.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH
1, Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác : công thức biến tích thành tổng, tổng thành
tích , công thức hạ bậc ,…
Bài 1. Giải phương trình : sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1)
Giải
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 sin 6x sin x sin 5x sin 2x sin 4x sin 3x 0
7x 5x x 3x 7x 3x
2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cosx+1 0
2 2 2 2 2 2
k2
7x
x
sin 0
7
2
3x k2
cos 0 x ;k Z
2 3 3
2cosx+1 0
2
x k2
3
⇔ + + + + + =




*Lưu ý : Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu
các góc bằng nhau
Bài 2 . Giải phương trình :
3 3
2 3 2
cos3xcos x sin3xsin x
8
−
− =
(2)
Giải
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 3 2
2 cos x cos4x cos2x sin x cos2x cos4x
2 2 8
2 3 2 2 3 2
cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x cos4x cos 2x
4 4
2 k
4cos4x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x k Z
2 16 2
−
⇔ + − − =

x
36 3
π
 
⇔ + − + = − ⇔ + = −
 ÷
 
π

= + π

π
 
⇔ + = ⇔ − = ⇔ ∈

 ÷
π π
 

= +


2,Phương trình sử dụng một số biến đổi khác
Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử
chung nhanh nhất , sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2

Giải
Cách 1 :
( ) ( ) ( )
2
4 2sin x2cos x 2sin x cos x 1 2cos x 2cos x 1 2sin x cos x 1 0⇔ + = + ⇔ + − =

1
cos x
2
sin 2x 1

= −

⇔

=

phần còn lại dành cho bạn đọc
Cách 2 :
( )
4 2sin xcos2x (1 sin 2x) 2(cos x sin x) 0⇔ − − − − =

( ) ( ) ( ) ( )
2
2sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x 0⇔ − + − − − − =

( )
( )
2
cos x sin x 2sin x cos x 2sin x cos x sin x 2 0⇔ − + − + − =

cosa cosb cosacos b
cos a b cos a b
tan a cot b tana-cotb=
cosasin b cosasin b
2
tan a cot a c
sin 2a
± ±
⊕ ± = ⊕ ±
− − +
⊕ + = ⊕
⊕ + = ⊕
( ) ( )
ot a tan a 2cot 2a
cos a b cos a b
1 tan a tan b 1 tana tan b
cosacos b cosa cosb
− =
− − +
⊕ + = ⊕ − =
Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức
Bài 6 . Giải phương trình :
2cos 4x
cot x tan x
sin 2x
= +
(6)
Giải .
ĐK :
sin x 0

x l ,l Z
3
π
= ± + π ∈
Bài 7 . Giải phương trình :
( ) ( )
3 2
2
4cos x 2cos x 2sin x 1 sin 2x 2 sin x cos x
0
2sin x 1
+ − − − +
=
−
(7)
Giải .
ĐK :
2
k
2sin x 1 0 cos2x 0 x ,k Z
4 2
π π
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
7 4cos x sin x cos x 2cos x sin x cos x 2 sin x cos x 0
x m
4
2 sin x cos x cos x 1 2cos x 1 0 x m2 ,m Z

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : PHAN VĂN VIỆT – ĐT 0962931061
ĐK :
cos3x 0
k
x
sin2x 0
6 3
,k Z
cos x 0
k
x
4
sin 4x 0
≠

π π

≠ +


≠
 
⇔ ∈
 
≠
π
 
≠



12
3,(1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x
1 1
4,sin 2x sin x 2cot 2x
sin 2x 2sin x
5,sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0
x
6,tan x cos x cos x sin x 1 tan x tan
2
7,2 2cos x 3cos x si
4
+ − − =
π
 
− =
 ÷
 
− + = +
+ − − =
+ + − − =
 
+ − = +
 ÷
 
π
 
− − −
 ÷
 
( )

+ = −
π
 
− = − −
 ÷
 
−
( )
2
2
2 3 3 2
x
x 1 2cos
4 2
14,2sin x cot x 2sin 2x 1
sin 3x
15,sin x cos3x sin x sin3xcos x sin xsin 3x
3sin 4x
π
 
+ = −
 ÷
 
+ = +
+ + =
4