C2. Mô Tả Toán Học 1

2.2.1 Phép Biến Đổi Laplace
1. Đònh nghóa

22
0
{()} () ().
st
Lf t Fs fte dt
+∞
−
=
∫
(2.1)
biến Laplace
sj
σ
ω
=+

()
F
s : Biến đổi Laplace của hàm ()ft
L
: Toán tử Laplace

2. Tính chất của phép biến đổi Laplace
• Tính tuyến tính :
11
{()} ()Lft Fs= ,
22

Lft T e Fs
−
−=
(2.6)
• Đònh lý giá trò cuối
0
lim ( ) lim ( )
ts
ft sFs
→∞ →
=
(2.7)

C2. Mô Tả Toán Học 3
3. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
• Hàm dirac (mô tả nhiễu)
00
() () { ()} 1
0
t
tFsLt
t
δδ
≠
⎧
=→==
⎨

⎧
== →=
⎨
<
⎩
(2.13)
Nếu
1
!
() () ()
n
n
n
ft tut Fs
s
+
=→= (2.14)
• Hàm mũ
0
1
() () ()
00
at
at
et
ft e ut Fs
sa
t
−
−

C2. Mô Tả Toán Học 4
2.2.2 Hàm Truyền Đạt
1. Đònh nghóa

Hệ thống tự động được mô tả bởi ptvp :
1
01 1
1
() () ()
( )
nn
nn
nn
dct d ct dct
aa aact

−−
++++ =++++
→
1
01 1
1
01 1
( )
()
()
( ) ( )
mm
mm
nn
nn
bs bs b s b
Cs
Gs
Rs as as a s a
−
−
−
−
++++
==
++++
(2.20)
()Gs : Được gọi là hàm truyền đạt của hệ thống
• Hàm truyền đạt phụ thuộc vào bậc và các thông số của hệ thống
• Dùng hàm truyền đạt để khảo sát các đặc tính của hệ thống

r(t)
Hệ Thống
c(t)
C2. Mô Tả Toán Học 5
- Biến đổi Laplace 2 vế để suy ra hàm truyền :
()
1
() () () ()
() 1
O
OOi
i
Vs
RCsV s V s V s G s
Vs RCs
+=→= =
+

Đặt
TRC=
Vậy hàm truyền của khâu tích phân bậc một :

1
()
1
Gs
Ts
=
+
(2.22)

RR
=
+
,
21
12
RRC
T
RR
=
+
,
1
TRC
α
=
,
12
2
RR
R
α
+
=
• Khâu trễ pha1
()
1
C2. Mô Tả Toán Học 6

• Khâu tỉ lệ P (Proportional)

()
P
Gs K= (2.26)

RC
=−
• Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)()
P
D
Gs K Ks=+ (2.29)
2
1
P
R
K
R
=−
,
2D
K
RC
=
−
• Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)()
I
P
D
K


: hằng số thời gian điện từ của đcơ

K
: hệ số kích từ,
Φ
: từ thông kích từ
C
J

Hàm tín hiệu ra gần đúng :
1
() ( )ct f t T
=
− , dạng của f(t) :
2
/
() (1 )
tT
ft K e
−
=−

Biến đổi Laplace :
2
() ()
(1 )
K
ft Fs
sTs
→=
+

Dùng đònh lý chậm trễ :
1
2
() ()
(1 )
Ts
Ke
2.2.3 Đại Số Sơ Đồ Khối
1. Sơ đồ khối : Các phần tử trong sơ đồ khối
• Khối chức năng G
x
y
y = xG
C2. Mô Tả Toán Học 9
• Điểm rẽ nhánh : tại điểm rẽ nhánh mọi tín hiệu đều bằng nhau

• Bộ tổng
: tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng đại số của các tín hiệu vào
1().()
k
Gs
Gs
Gs Hs
=
−
(2.48)
x
y
z
x = y = z
x
y
z
z = x-y
+
-
C2. Mô Tả Toán Học 10
3. Các phép biến đổi sơ đồ khối tương đương



4. Các ví dụ : xem thêm trong sách

2.3 Sơ Đồ Dòng Tín Hiệu
2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu & công thức Mason
1. Đònh nghóa

• Nút : biến
• Nhánh : hàm truyền
• Nút nguồn : các nhánh hướng ra
• Nút đích : các nhánh hướng vào
• Nút hỗn hợp : các nhánh hướng vào & ra, tất cả tín hiệu ra có giá trò bằng
nhau và bằng tổng đại số các tín hiệu vào
C2. Mô Tả Toán Học 12
• Đường tiến : đường gồm các nhánh liên tiếp cùng hướng đi từ nguồn đến

ij
ij
LL : tổng các tích độ lợi vòng của 2 vòng không dính nhau
∑
ijm
ijm
LLL : tổng các tích độ lợi vòng của 3 vòng không dính nhau
∆
k
: suy ra từ
∆
bằng cách bỏ đi các vòng kín có dính tới đường tiến
k
P

“không dính” : không có nút nào chung
“dính” : có ít nhất một nút chung C2. Mô Tả Toán Học 13
Ví dụ 2.4 : Tính hàm truyền tương đương của hệ thống mô tả bởi sơ đồ dòng

,
36452
=
−LGGGH
,
423452
=−LGGGGH

• Đònh thức của sơ đồ dòng tín hiệu :
1234 12
1( )∆= − + + + +LLLL LL
• Các đònh thức con :
1
1∆=,
2
1∆= ,
31
1
∆
=−L
• Hàm truyền tương đương :
11 2 2 33
1
()
=
∆+ ∆+ ∆
∆
GPPP
12345 1645 127 4 1
4 1 27 2 645 2 2345 2 4 127 2

=+
⎧
⎨
=+
⎩
&
xt Axt Brt
ct Cxt Drt
(2.52)
11 12 1
21 22 2
12
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
MM M
n
n
nn nn
aa a
aa a
A
aa a

Dd

• Sơ đồ trạng thái của hệ thống 2.4.3 Thành Lập Hệ Phương Trình Trạng Thái Từ PTVP
1. Vế phải ptvp không chứa đạo hàm tín hiệu vào
• Ptvp mô tả hệ thống :
1
110
1
() () ()
() ()
−
−
−
++++=
nn
nn
nn
dct d ct dct
aaactbrt
dt dt dt
(2.53)

xt x t x xt
dt dt

C2. Mô Tả Toán Học 15
• Thay các biến trạng thái vào pt (2.53)
11210
() () () () ()
−
+++ +=
&
nn n n
xt axt a xt axt brt

• Sắp xếp lại các
&
x về cùng vế
12
23
1
112211 0
() ()
() ()

() ()
() () () () () ()
−
−−
=
=
=

⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
=+
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
−− − −
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦
&
&
MMMM MMM
&
L
&
L
nn
nnnn n
xt xt
xt xt
rt
xt xt
xt a a a a xt b[]
1
2
1
1
()
()

()
&
xt
A
()xt
B
C
C2. Mô Tả Toán Học 16
2. Vế phải ptvp có chứa đạo hàm tín hiệu vào
• Ptvp mô tả hệ thống :
1
11
1
() () ()
( )
−
−
−
++++=
nn
nn
nn
dct d ct dct
aaact


() () ()
() ()
=+
⎧
⎨
=
⎩
&
xt Axt Brt
ct Cxt12 1
0 1 0 0
0 0 1 0
00 0 1
−−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−− − −
⎣⎦
MM M M
L

M
n
n
B ,

[
]
1 0 0 0=C

với
10
2111
321221
111 11

β
ββ
βββ
β
ββ
−−−
=
⎧
⎪
=−
⎪
⎪
=− −
⎨
⎪

() () 10( 2)
()
() 1 () () 5 6 10
+
== =
+
+++
k
Cs Gs s
Gs
Rs GsHs s s s

32
(5610)()10(2)()+++ = +sss Cs sRs

( ) 5 ( ) 6 ( ) 10 ( ) 10 ( ) 20 ( )+++ = +
&&& && & &
ct ct ct ct rt rt
Xem tiếp ví dụ 2.8

2. Phương pháp tọa độ pha

• Giả sử hàm truyền có dạng :
1
01 1
1
11

()
( )

nn
nn
Cs bs bs b s b Ys
Rs s as a s a Ys

• Biến đổi Laplace ngược :
1
01 1
1
() () ()
() ()
−
−
−
=+ +++
mm
mm
mm
dyt d yt dyt
ct b b b byt
dt dt dt
(2.69)
1
11
1
() () ()
() ()
−
−
−

−
=
==
==
==
&&
&&&
M
&
n
nn
n
xt yt
xt xt yt
xt xt yt
dyt
xt x t
dt
(2.71)

→ pttt của (2.70)

() () ()=+
&
xt Axt Brt

12 1
0 1 0 0
0 0 1 0
00 0 1

⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
M
B

• Thay các biến trạng thái của (2.71) vào (2.69) : (lưu ý giả sử m=n-1 để
đơn giản)
011 12 1
() () () () () ()
−−
=+ ++ +=
nn m m
ct bx t bx t b x t bx t Cxt
với :
[
]
110

−
=
mm
Cbb bb
3. Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối (xem thí dụ

Gs CsI A B
Rs
(2.90)
• Ví dụ 2.14 : hệ thống có pttt, tính hàm truyền
[]
11
22
1
2
() ()
01 0
()
() ()
23 1
()
() 1 3
()
⎡⎤ ⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
=+
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
−−
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
&

⎡⎤ ⎡ ⎤
=
⎢⎥ ⎢ ⎥
−
−
⎣⎦ ⎣ ⎦
ab d b
cd c a
ad bc

1
1
2
131
1
()
23 2
32
−
−
−+
⎡⎤ ⎡⎤
−= =
⎢⎥ ⎢⎥
+−
++
⎣⎦ ⎣⎦
ss
sI A
ss

⎡⎤
+
−= =
⎢⎥
++ ++
⎣⎦
s
CsI A B
s
ss ss

Vậy :
2
31
()
32
+
=
+
+
s
Gs
ss C2. Mô Tả Toán Học 20
2.4.7 Nghiệm của Hệ PTTT

n
te CICACA CA (2.101)
Tính các hệ số
i
C , (0,1)=−in bằng cách thay
λ
=
A
,
λ
là nghiệm của
phương trình
det( ) 0
λ
−=
I
A
• Tính nghiệm pttt theo (2.95) (giả sử điều kiện đầu
(0 ) 0
+
=x )
0
() ( ) ( )
τ
ττ
=Φ−
∫
t
xt t BR d


ct ct ct rt
C2. Mô Tả Toán Học 21
• Áp dụng mục 2.4.3.2 (vế phải có đạo hàm), đặt các biến trạng thái :
1
211
() ()
() () ()
β
=
=−
&
xt ct
xt xt rt

• Dạng của hệ pttt :
() () ()
() ()
=+
⎧
⎨
=
⎩
&
xt Axt Brt
ct Cxt

Trong đó :

β
β
⎡⎤
⎡⎤
==
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
⎣⎦
B

[
]
10=C
2. Tính ma trận quá độ

• Cách 1 : Áp dụng công thức (2.96)
[
]
111
() () ( )
−−−
⎡⎤
Φ= Φ = −
⎣⎦
tL s LsIA
10 0 1 1
()
01 2 3 2 3

23 2
(1)(2)
−
−
−+
⎡⎤ ⎡⎤
Φ= − = =
⎢⎥ ⎢⎥
+−
++
⎣⎦ ⎣⎦
ss
ssIA
ss
ss

{}
11
31
(1)(2)(1)(2)
() ()
2
(1)(2)(1)(2)
−−
+
⎧⎫
⎪⎪
++ ++
⎪⎪
Φ= Φ =

⎢⎥
⎧⎫⎧⎫
−−
⎢⎥
++
⎨⎬⎨⎬
++ ++
⎢⎥
⎩⎭⎩⎭
⎣⎦
LL
ss ss
LL
ss ss

→
22
22
(2 ) ( )
()
(2 2 ) ( 2 )
−− −−
−− −−
⎡⎤
−−
Φ=
⎢⎥
−+ −+
⎣⎦
tt tt

det( ) det 0
01 2 3
λλ
⎛⎞
⎡⎤⎡ ⎤
−= − =
⎜⎟
⎢⎥⎢ ⎥
−−
⎣⎦⎣ ⎦
⎝⎠
IA

2
320
λ
λ
++=
→
1
2
1
2
λ
λ
=−
⎧
⎨
=−
⎩

⎧
=−
=+ = −
=→
⎨⎨⎨
=−
=+
=−
⎩
⎩
⎩
t
t
tt
t
t
tt
eCC
eCC Cee
eCC
eCC
Ce e

Thay
01
,CC
vào (2.102) :
22
10 0 1
() (2 ) ( )

C2. Mô Tả Toán Học 23
3. Tìm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vò (đk đầu 0)
• Theo (2.95) nghiệm pttt :
0
() ( ) ( )
τ
ττ
=Φ−
∫
t
xt t BR d

() 2() () 2()
() 2() () 2()
0
1
(2 ) ( )
.1.
3
(2 2 ) ( 2 )
ττ ττ
ττ ττ
τ
−− − − −− − −
−− − − −− − −
⎡⎤
−−

⎢⎥⎢⎥
−−−+
⎣⎦⎣⎦
∫
t
tt tt
tt tt
ee ee
d
ee ee

Đáp ứng của hệ thống :
[]
1
2
1
2
()
() () 1 0 ()
()
−
−
⎡⎤
== ==−
⎢⎥
⎣⎦
tt
xt
ct Cxt x t e e
xt