1
Phòng giáo dục Đô Lơng
kinh nghiệm dạy và hớng dẫn học sinh
ôn tập về tứ giác nội tiếp đờng tròn

a/ đặt vấn đề:
1) Cơ sở lý luận:
Các kiến thức hình học nói chung đối với học sinh phổ thông, các
em đều thấy khó khăn, việc vận dụng các kiến thức vào làm các bài tập là
rất khó khăn, riêng phần Tứ giác nội tiếp là khái niệm học sinh THCS
đợc học ở cuối chơng trình hình học phẳng ở lớp 9, một nội dung cần vận
dụng nhiều kiến thức các em đã học ở trớc. Đồng thời nội dung này thờng
đợc đa vào bài tập hình học ở các đề thi cuối cấp THCS.
Vì vậy để học sinh nắm đợc định nghĩa, tính chất, dấu hiệu từ đó
vận dụng kiến thức đợc học vào làm bài tập là một việc làm không đơn
giản.
2) Cơ sở thực tiễn:
Sau nhiều năm dạy toán lớp 9 và ôn tập cho học sinh thi các kỳ thi
cuối cấp THCS , ở phần Tứ giác nội tiếp tôi đã cố gắng sắp xếp dạy cho
các em theo trình tự: Hệ thống lại lý thuyết từ định nghĩa, tính chất, dấu
hiệu nhận biết 1 tứ giác nội tiếp về bài tập chọn các bài tập có nội dung
phù hợp với trình độ học sinh, đi theo mạch từ bài dễ đến bài khó, ở một
số bài có thể phát triển đợc nên định hớng cho các em phát triển ở mỗi bài
tập đều định hớng cho các em từ cách vẽ hình, hớng chứng minh.
b/ nội dung:
I- Phần lý thuyết:
* Thông qua tiết 49 50 phân phối chơng trình toán 9 bài Tứ giác
nội tiếp , Luyện tập giáo viên chốt lại cho học sinh các vấn đề:
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
2
Phòng giáo dục Đô Lơng

b) Chứng minh H là tâm đờng tròn nội tiếp MNK
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
3
Hinh 1
H
K
M
N
C
B
A
Phòng giáo dục Đô Lơng
Chứng minh:
a) Trên hình vẽ có 6 tứ giác nội tiếp
- Tứ giác AMHN nội tiếp vì:
ã
ã
0 0 0
90 90 180 ( )ANH AMH gt+ = + =
(Theo dấu hiệu 2)
Hoặc:
ã
ã
0
90ANH AMH+ = =>
4 điểm A, M, H, N cùng thuộc đờng tròn
đờng kính AH (theo dấu hiệu 1).
- Tơng tự các tứ giác BNHK và tứ giác CMHK nội tiếp
- Tứ giác ANMC nội tiếp vì:
ã

NKM
Chứng minh tơng tự ta có: NH, MH là phân giác
ã
NKM
;
ã
ã
;MNK NMK
Vậy H là giao điểm các đờng phân giác trong của MNK.
Hay H là tâm đờng tròn nội tiếp MNK
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
4
Hinh 2
Q
P
H
C
B
A
Phòng giáo dục Đô Lơng

Bài 2: Cho

ABC, AH là đờng cao, hạ HP, HQ lần lợt vuông góc
với AB, AC.
Chứng minh: Tứ giác
BPQC nội tiếp
Chứng minh: Xét Tứ giác APHQ có:
ã
ã

ã
0
180ABH PQC+ =
hay
ã
ã
0
180PBC PQC+ =
=> Tứ giác BPQC nội tiếp (theo dấu hiệu 2)

Sau khi chứng minh bài toán, giáo viên đa ra (hoặc có thể gợi ý để
học sinh tự nêu) vấn đề:

Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
5
Hinh 3
D
I
K
H
O
C
B
A
A
Phòng giáo dục Đô Lơng
Nếu lấy 1 điểm H

bất kỳ thuộc đờng cao AH


ã
ã
0
90 ( )BKC BHC gt= =
=>Tứ giác BKHC nội tiếp (Theo dấu hiệu 3)
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
6
Phòng giáo dục Đô Lơng
=>
ã
ã
ACB AKH=
(cùng bù với
ã
BKH
) (1)
Kéo dài AO cắt (O) tại điểm thứ 2 là D
=>
ã
ã
ADB ACB=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
ã
ã
AKH ADB=
(3)
Lại có: ABD vuông tại B (
à
0

C là các tiếp điểm) lấy 1 điểm M trên cung nhỏ BC. Kẻ MI, MH , MK lầ l-
ợt vuông góc với BC, CA, AB gọi P là giao điểm BM và IK, Q là giao điểm
CM và IH.
a) Chứng minh MIK và MHI đồng dạng.
b) Chứng minh PQ BC
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
Hinh 4
M
K
O
I
H
C
B
A
7
Phòng giáo dục Đô Lơng
Chứng minh: a) Ta có các tứ giác MKBI , MHCI nội tiếp (theo dấu
hiệu 2).
=>
ả
à
1 1
K B=
(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

à
à
1 1
I C=

2 2 2
I C B= =
=>
à
ả
à
à
ã
1 2 1 2
B C I I PIQ+ = + =
Xét tứ giác MPIQ có:
ã
ã
ã
à
ả
0
1 2
180PMQ PIQ BMC B C+ = + + =
(tổng 3 góc trong 1)
Tứ giác MPIQ nội tiếp .

ã
à
2
MQP I=
(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Mà
à
ả

1PCQ v=
b) Chứng minh EF// AB
Dạng 3: Dạng toán tổng hợp
Đối với các bài toán tổng hợp có nhiều câu, hình vẽ có nhiều đờng
rờm rà , nên hớng dẫn cho học sinh vẽ mỗi câu, mỗi hình, hình vẽ của câu
nào thì chỉ vẽ các đờng cần thiết liên quan đến câu đó mà thôi.
Có thể vẽ (ở nháp) các yếu tố liên quan với nhau, yếu tố cần chứng
minh 1 màu mực. 1 hình có thể vẽ nhiều màu mực để nối rõ yếu tố cần
chứng minh. Từ đó các em sẽ dễ dàng chứng minh hơn.
Bài 1: Cho ABC nhọn, kẻ các đờng cao AA

, BB

, CC

. Gọi E, F
là hình chiếu của A

trên AB, AC.Gọi K, L là hình chiếu của B

trên BC,
BA. Gọi M, N là hình chiếu của C

trên CA , CB .
a) Chứng minh FK//AB
b) Chứng minh tứ giác ALKC nội tiếp
c) Chứng minh tứ giác MLKF nội tiếp
d) Chứng minh 6 điểm M, L, E, N, K, F cùng thuộc 1 đờng tròn.
Chứng minh: a) Chứng minh FK//AB


Tơng tự ta có tứ giác A

B

FK nội tiếp (dấu hiệu 3)
=>
ã
ã
' '
A B C FKC=
(cùng bù với
ã
'
A KF
) (2)
Từ (1) và (2) =>
ã
ã
ABC FKC=
Mà 2 góc
ã
ã
,ABC FKC
ở vị trí đồng vị đối với 2 đờng thẳng KF và AB.
=> KF // AB
b) Chứng minh tứ giác ALKC nội tiếp
Chứng minh tơng tự bài 2 (dạng 1)
c)Chứng minh tứ giác MLKF nội tiếp
Chứng minh tơng tự câu a ta có: LM // BC
=>

B
A
10
Phòng giáo dục Đô Lơng
=>
ã ã
BLK LKF=
(so le trong) (3)
Kết hợp (1) (2) và (3) suy ra
Lại có:
ã
ã
0
180AML LMF+ =
(2 góc kề bù)
=>
ã
ã
0
180LKF LMF+ =
=> tứ giác MLKF nội tiếp (dấu hiệu 2)
e) Chứng minh 6 điểm M, L, E, N, K, F cùng thuộc 1đờng tròn.
Chứng minh tơng tự câu b ta có tứ giác AMNB nội tiếp .
=>
ã
ã
ABC NMF=
Mà
ã
ã

L
M
B'
F
N
K
A'
C
B
A
Hinh 1-3
L
K
E
C'
M
B'
F
C
A'
N
B
A
11
Phòng giáo dục Đô Lơng
ở bài toán này, nếu giáo viên không hớng dẫn các em tách thành các
hình a, hình b, hình c, hình d để làm các câu tong ứng a, b, c, d mà để các
em vẽ chung trên 1 hình nh ở hình 1 3 thì hình vẽ rất rậm, có nhiều đ-
ờng, các em em rất khó nhìn ra các yếu tố cần để chứng minh. Từ đó việc
chứng minh sẽ khó khăn hơn nhiều.

thuộc 1 đờng tròn từ đó các em sẽ từng bớc nắm vững các kiến thức, gây
hứng thú học tập trong học toán, nâng cao t duy lô gíc, vận dụng hợp lý
khi giải toán. Với kiến thức có hạn, tôi mạnh dạn đa ra kinh nghiệm nhỏ.
Trên đây nhằm giúp học sinh không còn bớ ngỡ khi gặp các bài toán về tứ
giác nội tiếp hay sử dụng ứng dụng, tứ giác nội tiếp để chứng minh và đã
có kết quả khả quan trong các kỳ thi cuối cấp THCS. Tuy nhiên đây chỉ là
ý kiến mang tính chủ quan của bản thân, nên không thẻ tránh khỏi những
khiếm khuyết , thiết sót. Vì vậy rất mong sự góp ý phê bình của các đồng
nghiệp để tôi có thể rửa đối trong các bài dạy và ôn tập lần sau có hiệu quả
hơn.
d/Kiến nghị đề xuất:
Hàng năm, sau các đợt thi SKKN nên giới thiệu các SKKN hay, có
tính sáng tạo và áp dụng rộng rãi và có hiệu quả và có hiệu quả qu bằng
cách gửi các bản photo đong theo từng môn, để giáo viên toàn huyện có
thể học tập, áp dụng vào các bài dạy của mình./.
Xin cảm ơn nhiều !
Đô Lơng, ngày 2 tháng 4 năm 2008
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008
13
Phßng gi¸o dôc §« L¬ng

S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm Trang N¨m häc 2008
14
Phßng gi¸o dôc §« L¬ng
S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm Trang N¨m häc 2008
15
Phßng gi¸o dôc §« L¬ng
S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm Trang N¨m häc 2008
16
Phßng gi¸o dôc §« L¬ng