TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH – 36/ ki
ệt 73 NGUYỄN HOÀNG
TRUNG TÂM GS Đ
ỈNH CAO VÀ CHẤT L
ƯỢNG
SĐT: 01234332133 – 0978421673. TP HU
Ế
CHUYÊN Đ
Ề HÀM SỐ
LUY
ỆN
THI
T
ỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Hueá, thaùng 7/2012
* Tính đơn đi
ệu của hàm số
* Ứng dụng tính
đơn điệu hàm số chứng minh bất
đ
ẳng thức
*
Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận ph
ương
trình, b
ất phương t
rình, h
ệ phương trình
* C
ực trị hàm số
* M
x
1
, x
2
K, x
1
< x
2
f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm s
ố f nghịch biến (giảm) trên
K
x
1
, x
2
K, x
1
< x
2
(x)
0,
x
K
3. Đi
ều kiện đủ
đ
ể hàm số đơn điệu
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K.
a) N
ếu
f
(x)
0,
x
K (f
(x) = 0 t
ại một số hữu hạn
điểm) thì f đồng biến
trên K.
b) N
ếu
n
ửa khoảng
thì f ph
ải
liên t
ục
trên đó.
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
2
N
ếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b)
thì hàm s
ố f(x)
đồng biến trên [a;b]
N
ếu hàm f liên tục trên đoạn [a
;b] và có đ
ạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b)
thì hàm s
ố f(x) nghịch biến trên [a;b]
II. QUY T
ẮC XÉT TÍNH
ĐƠN ĐI
ỆU CỦA HÀM SỐ
3
B. PHƯƠNG PHÁP GI
ẢI BÀI TẬP:
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
3 2 3 2 3 2
) 3 24 26; ) 3 2; ) 3 3 2a y x x x b y x x c y x x x
Hư
ớng dẫn:
a) Hàm đ
ồng biến trên (
-4;2) và ngh
ịch biến trên các khoảng
; 4 và 2;
b) Hàm nghịch biến trên (0;2) và nghịch biến trên các khoảng
;0 và 2;
2
)y'=3 1 , y'=0 x=-1 và y'>0 với mọi x -1
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 1 1; nên hàm
số đồng biến trên
c x
và
a vào quy t
ắc xét tính đơn điệu của hàm số
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
4
b) Hàm đ
ồng biến trên
0;
và ngh
ịch biến trên
;0
c) Hàm đ
ồng biến trên khoảng
2;
và ngh
ịch biến trên
;2
Nh
ận xét:
Đ
ối với hàm số bậc 4 luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và
ịch biến trên
;1 vaø 1;
c) Hàm đ
ồng biến trên
5; 2 vaø 2;1
,
Hàm ngh
ịch biến trên
; 5 vaø 1;
d) Hàm đ
ồng biến trên
; 2 vaø 2;
,
Nh
ận xét:
Đ
ối với hàm số
ax
. 0
b
y a c
cx d
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
5
2
2
2 3 khi 1 3
2 3 khi 1 3
2 2 khi 1 3
' ' 0 1
2 2 khi 1 3
Hàm không có đạo hàm tại -1 3
Bảng biến thiên:
x x
x x
x x
x x y x
Dựa vào bảng biến thiên: Hàm đồng biến trên khoảng 0;2 , nghòch biến
trên ;0 và 2;3
Bài 5. Tìm các kho
ảng đơn điệu của hàm số
siny x
trên kho
ảng
0;2
Hư
ớng dẫn:
Ta có:
3
' 0, 0;2 ,
2 2
y x x x
LUY
ỆN THI
) 2 3 1; ) 6 9
3 3
) 2 5; ) 2
a y x x b y x x x
c y x x d y x x
Hư
ớng dẫn:
)Trình bày tương tự bài mẫu 1c); d)Trình bày tương tự bài mẫu 2b)c
Bài 3. Ch
ứng minh rằng
2
3
) 4 nghòch biến trên đoạn 0;2
) cos 4 đồng biến trên
c) cos2 2 3 nghòch biến trên
a y x
b y x x x
y x x
Hướng dẫn:
) '( ) 2 sin2 1 0, và '( ) 0 ,
4
Hàm số nghòch biến trên mỗi đoạn ; 1 ,
4 4
Do đó hàm số nghòch biến trên
x
c f x x x f x x k k
k k k
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
7
Bài 4.
a) Cho hàm s
ố
2
sin cosy x x
. Ch
ứng minh rằng hàm
s
ố đồng biến trên
đo
) Hàm số liên tục trên đoạn 0; và có '( ) sin 2cos 1 , 0;
1
Vì 0; sin 0 nên trong khoảng 0; : '( ) 0 cos
2 3
* ' 0, 0; nên hàm số đồng biến trên 0;
3 3
* '
a f x x x x
x x f x x x
y x
y
0, ; nên hàm số nghòch biến trên ;
tục m 1;1 1; , nên tồn tại số thực c ;
4 3
sao cho y(c)=0.
2
Số c là nghiệm của phương trình sin cos và vì hàm số nghòch
biến trên ; ,nên trên đoạn này phương trình có nghiệm duy nhất.
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất trên 0;
x x m
BTTT: Cho hàm s
ố
2 2
( ) sin cosf x x x
LUY
phương tr
ình
2 2
sin cosx x m
BÀI T
ẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. Xét s
ự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
3 2 3 2
2
4 2 5 4 3
. y = 2 3 2 b. y = x 3 3 1
1 1
c. y = x 2 1 . y = 2 1
5 4 2
a x x x x
x
x d x x x x
Bài 2. Xét s
ự biến thiên của các hàm số sau:
2
2
2 1 3 3
. y = b. y =
3 3 1
6 2
x
a y x b y vaø
Bài 5 Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x
y
x x
; b)
3 2 2y x x
; c)
2 1 3y x x
d)
2
2y x x
e)
2
2y x x
f)
9
Bài 7.
a) Ch
ứng minh hàm số
2
y= x -9
đ
ồng biến trên nửa khoảng [3; +
).
b) Hàm số
4
y x
x
nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Bài 8. Ch
ứng minh rằng
a) Hàm s
ố
3
2 1
x
y
x
ngh
ịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2
( ) 2 2f x x x
a) Ch
ứng minh rằng hàm số
f đ
ồng biến trên nửa khoảng
2;
b) Ch
ứng minh rằng phương trình
2
2 2 11x x
có m
ột nghiệm duy
nh
ất
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
10
BÀI T
ẬP MẪU:
Hàm s
ố f đồng biến trên
f
(x)
0,
x
. D
ấu “=” xảy ra tại hữu
h
ạn điểm
Hàm s
ố f nghịch biến trên
f
0,
x
. D
ấu “=” xảy ra tại hữu
0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a
2
b
a
)
N
ếu
> 0 thì g(x) có hai nghi
ệm x
1
, x
2
và trong kho
ảng hai nghiệm thì g(x)
khác d
ấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
3) So sánh các nghi
ệm x
1
, x
2
c
ủa tam thức bậc hai
2
( )g x ax bx c
v
ới số 0:
1 2
0 0x x P
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
11
2
5
*m=- thì y'=- 2 0, , ' 0 chỉ tại điểm x=2. Do đó hàm số nghòch
2
biến trên
5
*m<- thì y'< 0, . Do đó hàm số nghòch biến trên
2
x x y
x
2
a
y x x m x m
Nh
ận xét:
L
ời giải trên xem ra có vẻ đúng và hợp lý. Tuy nhiên về mặt lý
lu
ận thì trình bày như trên chưa thỏa đáng, hơi tự nhiên. Do đó mất đi
tính trong sáng và ch
ặt chẻ trong tốn học
Bài 2.Tìm a
để hàm số
3 2
1
4 3
3
y x ax x
ln tăng (đ
ồng
bi
ến) trên
Hư
ớng dẫn:
2 2
* 2hoặc 2 thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt , . Hàm số nghòch
biến trên khoảng ; , đồng biến trên mỗi khoảng ; và ; .
Trườnghợp này không thỏa mãn vậy hàm số
a a x x x x
x x x x
đồng biến trên khi và chỉ khi
-2 a 2
Bài 3. Tìm m
để hàm số
cosy x m x
ln tăng (đ
ồng biến) trên
Hư
ớng dẫn:
Cách 1:
Hàm số xác đònh trên . Ta có: ' 1 sin
Hàm số đồng biến trên y' 0, x msinx 1, x (1)
*m=0 thì (1) luôn đúng
Chú ý:
Phương pháp:
Hàm s
ố f(x,m) tăng trên
'
' 0, min 0,y x y x
Hàm số f(x,m) giảm trên
'
' 0, ax 0,y x m y x
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Tìm m
đ
ể hàm số
3
2 2
2 2 8 1
3
x
y m m x m x m
ln ngh
ịch
bi
ến (giảm) trên
1 2 1 2
1 2
m<-2: ' 0, hàm nghòch biến trên
2 : ' 0 có hai nghiệm x ,x trường hợp này hàm đồng biến
trên khoảng ; nên trường hợp này không thỏa mãn
Vậy m -2 là những gia
y x
m y x x
x x
ù trò cần tìm
Bài 2. Tìm m đ
ể hàm số ln nghịch biến (giảm) trên tập xác định
2 3 2
2
1
) 1 1 3 5
3
2
ùc đó: '=- 2m m
B
ảng xét dấu
'
:
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
14
0
* 1hoặc m> 2 : hàm số y đồng biến trên
g x
b y
x x
g x x
m
m
yêu cầu bài toán
Vậy khi 1 m 2 thì hàm đồng biến trên
Bài 3. Tìm m
đ
ể hàm số
2
3 2
( )
2 1
x mx
f x
x
ngh
ịch biến trên khoảng từng
kho
ảng xác định.
Hư
ớng dẫn:
Hàm s
ố xác
ảng x
ét d
ấu
'
:
m
11
2
'
+ 0 -
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
15
* N
ếu
11
2
m
t
ức
' 0
thì
1
2 1
2
3 33 6
6
3 33 6
6
m
x
x x
m
x
và rõ ràng
1 2
1
2
x x
B
ảng biến thiên:
x
1
x
1
2
2
x
11
2
m
BÀI T
ẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. Ch
ứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác địn
h
(ho
ặc tập xác định) của nó:
a)
3
5 13y x x
b)
3
2
3 9 1
3
x
y x x
c)
2 1
2
x
y
ứng minh rằng các h
àm s
ố sau ln nghịch biến trên từng khoảng xác định
(ho
ặc tập xác định) của nó:
a)
5 cot( 1)y x x
b)
cosy x x
c)
sin cos 2 2y x x x
Bài 3. Tìm m
để các hàm số sau ln đồng biến trên tập xác định (hoặc từng kh
o
ảng
xác đ
ịnh) của nó:
a)
3 2
3 ( 2)y x mx m x m
b)
3 2
2 1
3 2
x mx
y x
c)
Bài 4. Tìm giá tr
ị của tham số
m đ
ể hàm
s
ố
3 2
( ) -3x 1f x x mx
đ
ồng
bi
ến trên R.
Bài 5. V
ới giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
2
2 2 3 1
) 2 )
1 1
x m x m
m
a y x b y
x x
Hư
ớng dẫn:
1 2
2 1
) ' 1
1
1
* ' 0, 1, Hàm số nghòch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;
2
1
* : phương trình y'=0 có hai nghiệm x 1
2
m
b y
x
m y x
m x
Bài tốn này đư
ợc mở rộng như
sau:
1
2
3
4
) tìm giá trò m để hàm số đồng biến trên ; 1
)tìm giá trò m để hàm số đồng biến trên 2;
)tìm giá trò m để hàm số nghòch biến trên khoảng có độ dài bằng 2
)tìm giá tr
ến trên R.
Bài 7. Tìm
đi
ều kiện của tham số a để hàm số
sin -cos
2 2
x x
y ax
đ
ồng
bi
ến trên R
Hư
ớng dẫn:
Hàm s
ố đã cho xác định trên
Ta có:
1 2
' os sin sin
2 2 2 2 2 4
x x x
y c a
Hàm số đồng biến trên
3 2
4
1) luôn nghòch biến trên khoảng ;1
2) 3 1 4 nghòch biến trên khoảng 1;1
mx
y
x m
y x x m x m
Hư
ớng dẫn:
1. Sai l
ầm th
ường gặp:
2
2
2
4
'( ) 0, ;1 ' 0, ;1
4 0 2 2
2
2
2
Hàm số đã cho xác đònh trên \{-m}
4
y'= , .
' 0, ;1
4 0
2 2
2 1
;1
1
;1
Ta có:
2
' 3 6 1y x x m
D
ẠNG 3: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP CON CỦA
Phương pháp:
Hàm s
ố
( , ) tăng x I y' 0, x I miny' 0, x Iy f x m
Hàm s
ố
( , ) giảm x I y' 0, x I max y' 0, x Iy f x m
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
19
Hàm s
ố nghịch biến trên (
-1;1)
' 0, 1;1y x
, d
ấu “=” xảy ra tại hữu hạn
đi
TH 2: N
ếu
'
' 0 2
y
m
thì y’=0 có hai nghi
ệm phân biệt
1 2
,x x
(gi
ả sử
là
1 2
)x x
.
x
1
x
2
x
'y
+ 0 - 0 +
D
ựa vào bảng xét dấu y
’ ta th
Áp d
ụng định lí Vi
-et đ
ể giải hệ (I) ta được
10m
Hư
ớng 2:
Phương tr
ình y’=0 có hai nghiệm là
1
1 2
2
3 6 3
3
,
3 6 3
3
m
x
x x
m
x
Cách 2:
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
20
2
2
2
1;1
1
Hàm số đã cho xác đònh trên
y'=3x 6 1
Hàmsố nghòch biến trên 1;1 ' 0, 1;1
3 6 1 , 1;1
min ( ), với ( ) 3 6 1
Hàm số ( ) nghòch biến trên 1;1 và lim (
x
x m
Đ
ồng biến trên
;0
Bài 2. Tìm m
để c
ác hàm s
ố sau:
3 2
3 2
3 2
) 2 2 1 đồng biến trên khoảng 1;
) 3 2 đồng biến trên khoảng 3;0
1
) 2 1 1 đồng biến trên khoảng 2;
3
a y x x mx
b y mx x x m
c y mx m x m x m
Hư
ớng dẫn:
a) Cách 1:
Hàm s
ố xác định trên
ếu
'
2
' 0
3
y
m
thì
' 0,y x
hàm đ
ồng biến trên
hàm đ
ồng biến trên
1;
. Trư
ờng hợp này ta nhận
TH 2: N
ếu
'
2
' 0
3
y
m
(*)thì y’=0 có hai nghi
2 4 6
1
6
m
2m
k
ết hợp điều kiện (*) thì
2
2
3
m
H
ợp hai trường hợp
2
3
m
và
2
2
3
m
ta đư
ợc kết quả cuối cùng là
2m
Cách 2:
2
2
2
2
3 0
) ' 0, 3;0 3 2 3 0, 3;0
2 3
, 3;0
3
2 3
Hàm số g(x) liên tục trên 3;0 . Ta có: g'(x)<0, 3;0
3
1
g(x) nghòch biếntrên khoảng 3;0 và lim ( ) ,lim ( )
9
Bả
x x
b ycbt y x mx x x
x
m x
x
x
x
x
g x g x
x x
2
9
lim ( ) ,lim ( ) 0
13
Bảng biến thiên.
x
x
g x g x
9
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: m
13
Cách 2:
Cách 2: Phương pháp tam th
ức bậc hai
Ta có:
2;
* N
ếu
0
1
4
3
m
m
(I) thì y'=0 có hai nghi
ệm phân biệt
1 2
;x x
gi
ả sử
1 2
x x
D
ựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đồng biến trên
2;
thì
(**)
Kết hợp (*) và (**) ta được
9
m
13
Cách 3:
Các trư
ờng hợp khác tương tự trên. Bây giờ ta xét trường hợp
0
Xét phương tr
ình:
' 0y
có hai nghi
ệm phân biệt
1 2
x x
, khi đó đ
ể hàm số
đ
ồng
bi
ến trên khoảng
(2; )
thì
điều kiện là
1 2 1 2
2 2 2 0x x x x
Đ
ặt:
1
3
m
ta có đư
ợc kết quả cuối cùng:
9
13
m
Bài 3. Tìm m
để hàm số
3 2
( ) 3 2 1 12 5 2f x x m x m x
đ
ồng biến trên
kho
ảng
; 1 2;
Sai l
ầm th
ư
ờng gặp:
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
x x
g x m x
x
g x
g x m
x
(2) 5 12
7 5
12 12
( 1) 7 12
g m
m
g m
Nguyên nhân sai l
ầm:
Cách gi
ải trên chỉ phù hợp với f(x) đồng biến trên
; 1
và
2;
. Còn v
ới
yêu c
ầu f(x) đồng biến trên
Copyright: Tài liệu đại học ©