Mục lục
1 Lý thuyết trường 3
1.1 Các kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Nhóm các phép thế, nhóm giải được . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Trường các thương, trường con nguyên tố . . . . . . . . 6
1.1.3 Đặc số của trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Các đa thức trên một trường . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Mở rộng trường. Mở rộng đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Mở rộng đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Mở rộng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Trường phân rã của đa thức. Mở rộng chuẩn tắc . . . . . . . . 13
1.4.1 Trường phân rã của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Mở rộng chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Mở rộng tách được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 Nghiệm bội của đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 Đa thức tách được, mở rộng tách được . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Trường hoàn chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Lý thuyết Galois 20
2.1 Nhóm Galois. Mở rộng Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Nhóm Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Mở rộng Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Định lý cơ bản của lý thuyết Galois . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Định lý cơ bản của lý thuyết Galois . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Một số định lý khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Áp dụng định lý Galois vào trường chia đường tròn . . . . . . 26
2.3.1 Căn của đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Trường chia đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Mở rộng xyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Ha = {ha|h ∈ H} được gọi là một lớp ghép phải của H trong G.
Bổ đề 1.1. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G. Khi đó hai lớp ghép trái
của H trong G hoặc giao nhau bằng rỗng hoặc bằng nhau.
Định lý 1.1. Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó
(i) G =

a∈G
aH,
(ii) Với mỗi a ∈ G, thì ánh xạ f : H → aH cho bởi x → ax là một song ánh.
(iii) Nếu H hữu hạn thì các lớp ghép của H trong G có cùng số phần tử.
Định nghĩa 1.2. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G. Số các lớp ghép
trái khác nhau của H trong G được gọi là chỉ số của H trong G và kí hiệu là
[G : H].
4 CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG
Trong học phần này, ta dùng kí hiệu |S| để chỉ lực lượng của tập hợp S.
Định lý 1.2. (Định lý Lagrange). Giả sử H là một nhóm con của nhóm
hữu hạn G. Khi đó cấp của H là ước cấp của G. Hơn nữa |G| = |H|[G : H].
Định nghĩa 1.3. Cho n là một số nguyên dương, và tập T = {1, 2, . . . , n}.
Gọi S
n
là tập tất cả các song ánh trên T. Với mỗi σ ∈ S
n
được gọi là một phép
thế bậc n và viết là
σ =

1 2 . . . n
σ(1) σ(2) . . . σ(n)

Tập S

3
, . . . , i
k−1
→ i
k
, i
k
→ i
1
và các phần tử còn lại của T biến thành
chính nó. Khi đó ta nói rằng (i
1
i
2
i
3
. . . i
k
) là một vòng xích cấp k (hoặc k−
vòng xích). Một vòng xích cấp 2 được gọi là một chuyển vị. Hai vòng xích
σ = (i
1
i
2
i
3
. . . i
k
) τ = (j
1

i
3
. . . i
k
) τ = (j
1
j
2
j
3
. . . j
k
)
là hai vòng xích độc lập thì στ = τσ.
Định lý 1.3. Mọi phép thế σ ∈ S
n
đều có thể phân tích được thành tích những
vòng xích độc lập.
Hệ quả 1.1. Mọi phép thế σ ∈ S
n
đều có thể phân tích được thành một tích
những chuyển vị.
Bổ đề 1.2. Phép thế đồng nhất trong S
n
không thể phân tích được thành một
tích của một số lẻ những chuyển vị.
Hệ quả 1.2. Không có một phép thế nào trong S
n
phân tích được thành một
tích của một số chẵn các chuyển vị và đồng thời nó cũng phân tích thành một

n
: A
n
] = 2
Một nhóm con quan trọng khác của nhóm S
n
đó là nhóm D
n
sinh bởi hai
phần tử σ = (1 2 3 4 5 . . . n) và
τ =

1 2 3 4 5 . . . n − 1 n
1 n n − 1 n − 2 n − 3 . . . 3 2

Nhóm D
n
được gọi là nhóm nhị diện bậc n.
Định lý 1.5. Với n ≥ 3, nhóm D
n
có cấp 2n sinh bởi hai phần tử σ và τ thỏa
mãn:
(i) σ có cấp n và τ có cấp 2.
(ii) τσ = σ
−1
τ
Ngược lại, nếu G là một nhóm bất kì sinh bởi σ và τ thỏa mãn (i), (ii) với
n ≥ 3 thì G đẳng cấu với D
n
.

Ví dụ 1.1. (i) Mọi nhóm Abel đều là nhóm giải được.
(ii) Nhóm S
3
là nhóm giải được vì tồn tại một tháp Abel S
3
⊃ (123) ⊃ {(1)}.
Định lý 1.6. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn. Khi đó các mệnh đề sau là
tương đương:
(i) G là một nhóm giải được.
(ii) Tồn tại một tháp xyclic của G.
(iii) Tồn tại một tháp xyclic cấp nguyên tố của G.
5
6 CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG
Định lý 1.7. (i) Mọi nhóm con của một nhóm giải được là một nhóm giải được.
(ii) Ảnh đồng cấu của một nhóm giải được là một nhóm giải được.
(iii) Nhóm thương của một nhóm giải được cũng là một nhóm giải được.
Định lý 1.8. Mọi nhóm cấp p
n
(p là một số nguyên tố) đều là nhóm giải được.
1.1.2 Trường các thương, trường con nguyên tố
Giả sử vành A là vành giao hoán có đơn vị 1 = 0.
Định nghĩa 1.7. Tập con S của vành A được gọi là một tập đóng nhân nếu
0 /∈ S, 1 ∈ S và S là đóng với phép nhân, nghĩa là, xy ∈ S, với mọi x, y ∈ S.
Ví dụ 1.2. A là một miền nguyên, tập A
∗
là các phần tử khác 0 của A là một
tập đóng nhân của A.
Định lý 1.9. Cho S là tập đóng nhân của vành A. Khi đó trên tập tích Đề các
A × S, quan hệ ∼ xác định bởi: (x, s) ∼ (y, t) ↔ ∃u ∈ S, u(xt − ys) = 0 với
mọi (x, s) và (y, t) thuộc A × S, là một quan hệ tương đương trong A × S.

S.
Mệnh đề 1.2. Tương ứng
ϕ : A → A
S
; a →
a
1
là một đồng cấu vành. Hơn nữa mọi phần tử của ϕ(S) đều có nghịch đảo trong
A
S
.
Ví dụ 1.3. Khi A = Z, S = Z\pZ, với p là một số nguyên tố thì A
S
= {
m
n
∈
Q, (n, p) = 1}.
Bây giờ ta đề cập đến một trường hợp đặc biệt khi A là một miền nguyên, còn
tập đóng nhân S là tập A
∗
tất cả các phần tử khác 0 của A.
Hệ quả 1.3. Nếu A là một miền nguyên và S = A
∗
là tập tất cả các phần tử
khác 0 của A thì A
A
∗
là một trường.
Trong trường hợp này ta có A

của miền nguyên A.
Ví dụ 1.4. Trường các thương của vành số nguyên Z là trường các số hữu tỷ
Q.
Mệnh đề 1.3. Nếu A là một miền nguyên thì A nhúng được vào trường các
thương A
A
∗
của nó bởi đơn cấu ϕ(a) =
a
1
. Hơn nữa, mỗi phần tử của A
A
∗
được
viết dưới dạng ϕ(a)ϕ(b)
−1
, với a ∈ A, b ∈ A
∗
.
Tính chất phổ dụng của vành các thương được phát biểu trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.4. Cho S là một tập con đóng nhân của vành A. Khi đó mọi đồng
cấu vành f : A → K, có tính chất f(s) là khả nghịch trong K với mọi s ∈ S,
đều tồn tại duy nhất một đồng cấu h : A
S
→ K sao cho f = h◦ϕ, với ϕ(a) =
a
1
.
Định nghĩa 1.9. Một trường được gọi là một trường nguyên tố nếu nó không
chứa một trường con thực sự nào.

trên về đặc số của vành A vẫn đúng với trường A tương ứng. Hơn nữa ta có kết
quả thú vị sau:
Hệ quả 1.4. (i) Mọi trường có đặc số 0 đều là trường vô hạn và chứa một
trường con đẳng cấu với trường số hữu tỷ Q.
(ii) Mọi miền nguyên có đặc số nguyên tố p, đều chứa một trường con đẳng
cấu với Z
p
.
Nhận xét. Từ hệ quả trên ta rút ra rằng, mỗi trường nguyên tố, thì hoặc
đẳng cấu với trường các số hữu tỷ Q, hoặc đẳng cấu với Z
p
.
1.1.4 Các đa thức trên một trường
Giả sử K là một trường. K[x] là vành đa thức của ẩn x trên trường K. Đa
thức f(x) gọi là một ước của đa thức g(x) nếu có một đa thức q(x) sao cho
g(x) = f(x).q(x). Một đa thức là ước của đơn vị khi và chỉ khi nó là một phần
tử khác 0 của trường K.
Vì vành K[x] là một miền nguyên nên các khái niệm và các tính chất của phần
tử bất khả quy được chuyển sang cho đa thức bất khả quy.
Định nghĩa 1.11. Hai đa thức f(x) và g(x) được gọi là liên kết với nhau nếu
f(x) = ag(x) với a là ước của đơn vị.
Đa thức q(x) được gọi là một ước thực sự của f(x) nếu q(x) là một ước của
f(x), khác ước của đơn vị và không liên kết với f(x).
Định nghĩa 1.12. Đa thức p(x) ∈ K[x] được gọi là một đa thức bất khả quy
nếu nó khác 0, khác ước của đơn vị và không liên kết với f(x).
Định nghĩa 1.13. Hai đa thức p(x) và q(x) thuộc K[x] được gọi là nguyên tố
cùng nhau nếu 1 là một ước chung lớn nhất của chúng.
Định lý 1.12. Hai đa thức p(x) và q(x) thuộc K[x] nguyên tố cùng nhau khi
và chỉ khi tồn tại hai đa thức h(x) và k(x) sao cho
p(x)h(x) + q(x)k(x) = 1 .

0
là một đa thức với hệ số nguyên. Nếu có một số nguyên tố p sao cho:
(i) a
n
không chia hết cho p;
(ii) Các hệ số còn lại chia hết cho p;
(iii) a
0
không chia hết cho p
2
;
thì f(x) là đa thức bất khả quy trong Q[x].
1.2 Mở rộng trường. Mở rộng đơn
1.2.1 Mở rộng trường
Định nghĩa 1.14. Cho K và F là hai trường. Trường F được gọi là một mở
rộng của K nếu K là một vành con của F.
Nếu trường F là một mở rộng của trường K thì F cũng là một không gian
vectơ trên K. Số chiều của không gian vectơ này được gọi là bậc mở rộng của
F trên K và ký hiệu là [F : K]. Trường F được gọi là mở rộng bậc hữu hạn (vô
hạn) của K nếu bậc mở rộng của nó là hữu hạn (vô hạn).
Một tháp các trường là một dãy các trường K
1
, K
2
, . . . , K
n
sao cho K
1
⊂
K

: K
1
].
Cho F là một trường và X ⊂ F. Khi đó giao của tất cả các trường con của
F chứa X được gọi là trường con của F sinh bởi tập X. Nếu F là một mở rộng
của K và X ⊂ F thì trường con sinh bởi X ∪ K được gọi là trường con sinh
bởi X tên K và ký hiệu là K(X). Trong trường hợp X là một tập hữu hạn
gồm n phần tử u
1
, u
2
, . . . , u
n
thì ta viết K(X) = K(u
1
, u
2
, . . . , u
n
). Trường
K(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) được gọi là một mở rộng hữu hạn sinh của K.
9
10 CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG
Định lý 1.16. Giả sử F là một mở rộng của K và X ⊂ F . Khi đó trường

, . . . , x
n
), g(x
1
, x
2
, . . . , x
m
)
là các đa thức thức trên K.
Định nghĩa 1.15. Giả sử K và E là hai trường con của một trường F . Trường
hợp thành của K và E trong F là một trường con sinh bởi tập K ∪E và ký hiệu
là KE. Trường hợp thành của các trường con K
1
, K
2
, . . . , K
n
của F là trường
con sinh bởi tập: K
1
∪ K
2
∪ . . . ∪ K
n
, ký hiệu là K
1
K
2
. . . K

√
3) = Q(
√
2 +
√
3).
(ii) Q(i, −i) là một mở rộng đơn của Q vì Q(i, −i) = Q(i).
(iii) Q(w,
3
√
2) với w =
−1+i
√
3
2
cũng là một mở rộng đơn của Q vì Q(w,
3
√
2) =
Q(w +
3
√
2).
Định nghĩa 1.17. Giả sử F là một mở rộng của trường K và u ∈ F . Phần tử
u được gọi là đại số trên K nếu tồn tại một đa thức bậc dương f(x) ∈ K[x] sao
cho f(u) = 0. Trong trường hợp u không là nghiệm của bất kỳ một đa thức bậc
dương nào trên K, thì u được gọi là phần tử siêu việt trên K.
Ví dụ 1.9. (i) Phần tử i ∈ C là đại số trên trường số thực R.
(ii) Phần tử
√

(i) K[u] = K(u)
∼
=
K[x]/(p(x)).
(ii) {1, u, u
2
, . . . , u
n−1
} là một cơ sở của K(u) trên trường K.
(iii) [K(u) : K] = n = deg(p(x)).
Ví dụ 1.11. (i) Đa thức tối tiểu của
√
2 trên Q là x
2
− 2. Ta có Q(
√
2)
∼
=
Q[x]/(x
2
−2), và {1,
√
2} là một cơ sở của Q(
√
2) trên Q, [Q(
√
2) : Q] = 2 bởi
Định lý 1.16.
(ii) Đa thức tối tiểu của

2 +
√
3 trên Q.
Cho F là một mở rộng của trường K và u, v ∈ F . Nếu u và v là hai nghiệm
của cùng một đa thức tối tiểu p(x) trên K thì K(u)
∼
=
K(v) bởi vì chúng cùng
đẳng cấu với K[x]/(p(x)). Tuy nhiên ta có thể mở rộng tính chất này như sau:
Cho K và E là các trường và σ : K → E là một đẳng cấu. Khi đó ánh xạ
K[x] → E[x] cho bởi:
f(x) = a
0
+ . . . + a
n
x
n
−→ σf(x) = σ(a
0
) + . . . + σ(a
n
)x
n
cũng là một đẳng cấu. Dễ thấy, nếu p(x) là một đa thức bất khả quy trong
K[x] thì σp(x) cũng là một đa thức bất khả quy trong E[x]. Do đó ta có hệ
quả sau.
Hệ quả 1.7. Cho σ : K → E là một đẳng cấu. Giả sử u là một phần tử đại số
của một mở rộng nào đó trên K và p(x) là một đa thức tối tiểu của u trên K,
giả sử v là một phần tử đại số của một mở rộng nào đó trên E và σp(x) là đa
thức tối tiểu của v trên K. Khi đó tồn tại một đẳng cấu

Q(
3
√
2), σ : Q(
3
√
2)
∼
=
Q(
3
√
2w) và
Q(
3
√
2)
∼
=
Q(
3
√
2w
2
) sao cho σ(
3
√
2) =
3
√

Định lý 1.21. Giả sử F = K(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) là một mở rộng hữu hạn sinh của
trường K và các phần tử u
i
(i = 1, 2, . . . , n) đều là đại số trên K. Khi đó F là
một mở rộng đại số bậc hữu hạn của K.
Ví dụ 1.14. Các phần tử
√
2,
√
3 là đại số trên Q nên Q(
√
2,
√
3) là một mở
rộng đại số có bậc hữu hạn của Q. Ta có thể tính bậc mở rộng của Q(
√
2,
√
3)
trên Q như sau: Xét tháp các trường Q ⊂ Q(
√
2) ⊂ Q(
√
2)(

√
3) trên Q(
√
2) ta cần tìm đa thức tối tiểu của
√
3
trên Q(
√
2). Rõ ràng
√
3 là một nghiệm của x
2
−3 ∈ Q(
√
2[x]). Đa thức x
2
−3
không có nghiệm trong Q(
√
2) và do đó x
2
− 3 bất khả quy trong Q(
√
2). Theo
Định lý 1.18, [Q(
√
2,
√
3) : Q(
√

là trường các số đại số. Trường các số đại số là một mở rộng đại số bậc vô hạn
của trường hữu tỷ Q.
1.4 Trường phân rã của đa thức. Mở rộng chuẩn tắc
1.4.1 Trường phân rã của đa thức
Định nghĩa 1.19. Giả sử F là một mở rộng của trường K và f(x) ∈ K[x] là
một đa thức bậc n ≤ 1. Đa thức f(x) được gọi là chẻ ra trên F nếu nó phân
tích được thành tích những nhân tử tuyến tính (đa thức bậc nhất) trong F[x],
nghĩa là
f(x) = a(x − u
1
)(x − u
2
) . . . (x − u
n
),
trong đó a ∈ K và các phần tử u
1
, u
2
, . . . , u
n
∈ F không nhất thiết phải khác
nhau.
Ví dụ 1.16. (i) Đa thức x
2
− 2 ∈ Q[x] chẻ ra trên Q[
√
2] vì x
2
− 2 = (x −

(i) Đa thức f(x) chẻ ra trên F , nghĩa là
f(x) = a(x − u
1
)(x − u
2
) . . . (x − u
n
).
(ii) F = K(u
1
, u
2
, . . . , u
n
).
Ví dụ 1.17. (i) C = R(i) là trường phân rã của đa thức x
2
+ 1 trên trường
số thực R. Tuy nhiên C không phải là trường phân rã của đa thức x
2
+ 1 trên
trường số hữu tỷ Q.
(ii) Q(
√
2) là trường phân rã của đa thức x
2
− 2 trên trường số hữu tỷ Q.
13
14 CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG
(iii) Q(i,

Hệ quả 1.11. Hai trường phân rã của cùng một đa thức f(x) ∈ K[x] thì đẳng
cấu.
1.4.2 Mở rộng chuẩn tắc
Định nghĩa 1.21. Cho F là một mở rộng đại số của trường K. Khi đó ta nói
rằng F là một mở rộng chuẩn tắc của K (hoặc chuẩn tắc trên K) nếu mọi đa
thức khả quy trong K[x] có một nghiệm trong F thì nó chẻ ra trên F.
Nhận xét. Trường F là một mở rộng của trường K nếu và chỉ nếu đa thức
tối tiểu của mỗi phần tử của F chẻ ra trên F.
Từ định nghĩa mở rộng chuẩn tắc, người ta có thể cho rằng, việc kiểm tra một
trường là một mở rộng chuẩn tắc trên trường K là một việc khó khăn. Nhưng
ta có định lý sau.
Định lý 1.25. Giả sử F là một mỏ rộng của trường K. Khi đó F là một trường
phân rã của một đa thức f(x) trên K nếu và chỉ nếu F là một mở rộng bậc hữu
hạn và chuẩn tắc của K.
Ví dụ 1.18. (i) Trường Q(
√
2,
√
3) là một mở rộng chuẩn tắc của trường các
số hữu tỷ Q vì nó là trường phân rã của đa thức (x
2
− 2)(x
2
− 3) trên Q.
(ii) Trường Q(
3
√
2) chứa nghiệm thực
3
√

(i) F là một mở rộng chuẩn tắc bậc hữu hạn của K.
(ii) Nếu có một tháp các trường K ⊂ E ⊂ L ⊂ F và đồng thời L là một mở
rộng chuẩn tắc của K thì L = F. Khi đó trường F được gọi là một bao đóng
chuẩn tắc của E trên K.
Ví dụ 1.19. Lấy K = Q và E = Q(
3
√
2). Ta biết rằng Q(
3
√
2, w) với w =
(−1 + i
√
3)/2 là trường phân rã của x
3
−2 trên Q và do đó nó là một mở rộng
chuẩn tắc của Q. Rõ ràng, Q(
3
√
2, w) là một mở rộng chuẩn tắc nhỏ nhất của
Q chứa Q(
3
√
2). Vậy Q(
3
√
2, w) là một bao đóng chuẩn tắc của Q(
3
√
2) trên Q.

n
x
n−1
được gọi là đạo hàm
hình thức của f(x).
15
16 CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG
Nếu f(x) và g(x) là hai đa thức trên trường K thì đạo hàm hình thức của
tổng và tích của chúng có các tính chất sau:
(f + g)

(x) = f

(x) + g

(x);
(fg)

(x) = f

(x)g(x) + f(x)g

(x).
Định lý 1.27. Cho F là một mở rộng của K. Một phần tử u ∈ F là một
nghiệm bội của f(x) ∈ K[x] nếu và chỉ nếu u là một nghiệm chung của f(x)
và f

(x).
Hệ quả 1.13. Cho K là một trường. Đa thức f(x) ∈ K[x] là tách được nếu và
chỉ nếu f(x) và f

2
− 2 ∈ Q[x] là tách được.
(iii) Đa thức x
4
− 4x
2
− 5 ∈ Q[x] là tách được.
Định nghĩa 1.25. Giả sử F là một mở rộng đại số của trường K. Một phần
tử u ∈ F được gọi là tách được trên K nếu đa thức tối tiểu của u trên K là đa
thức tách được. Trường F được gọi là một mở rộng tách được của K nếu mọi
phần tử của u đều tách được trên K.
Ví dụ 1.21. (i) Mọi mở rộng đại số của một trường có đặc số 0 đều là tách
được vì mọi đa thức bất khả quy đều tách được.
(ii) Trường Q(
3
√
2) là một mở rộng đại số của Q. Vì char(Q) = 0 nên Q(
3
√
2)
là một mở rộng tách được của Q.
Định lý 1.28. Cho tháp các trường K ⊂ E ⊂ F . Khi đó nếu F là một mở
rộng tách được của K thì F là một mở rộng tách được của E và E là một mở
rộng tách được của K.
Ví dụ 1.22. Trường Q(
√
2,
√
3) là một mở rộng hữu hạn sinh và tách được của
Q. Áp dụng định lý trên, ta có Q(

Bài 1.1. Xác định bậc của các mở rộng trường sau:
a) Q ⊂ A = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q},
b) Q ⊂ B = {a + b
√
α | a, b ∈ Q} với α ∈ N,
c) Q ⊂ A = {a + bi | a, b ∈ Q}.
Bài 1.2. Chứng minh rằng Q(
√
3) = {a + b
√
3 | a, b ∈ Q} và Q(
√
5) =
{a + b
√
5 | a, b ∈ Q} đều là các mở rộng bậc 2 của Q nhưng không đẳng
cấu với nhau.
Bài 1.3. a) Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc 2 trên Q đều đẳng cấu với
Q(
√
d) với d ∈ Z là một số không chính phương.
b) Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc 2 trên R đều đẳng cấu với C.
17
18 CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT TRƯỜNG
Bài 1.4. Chứng minh rằng các trường sau là mở rộng đơn trên Q:
a) Q(
√
3,


1 +
√
5; b)
√
3i +
√
2; c)
√
3 +
√
5; d) i +
√
2.
Bài 1.8. Giả sử u là phần tử siêu việt trên K. Chứng minh rằng K(u)
∼
=
K(x)
với K(x) là trường các thương của vành K[x]
Bài 1.9. Giả sử p là một số nguyên tố và [F : K] = p. Chứng minh rằng nếu
u ∈ F là phần tử đại số trên K thì F = K(u) hoặc K(u) = K.
Bài 1.10. Chứng minh rằng mọi mở rộng đại số của R đều đẳng cấu với R
hoặc với C.
Bài 1.11. Xét mở rộng trường F ⊂ F (x) với biến x siêu việt trên F. Cho mở
rộng M ⊂ F (x) với M chứa F như một trường con thực sự. Chứng minh
rằng M ⊂ F (x) là một mở rộng đại số.
Bài 1.12. Cho F ⊂ K là một mở rộng đại số và f ∈ K[x] là một đa thức khác
0. Chứng minh rằng tồn tại g ∈ F [x] khác 0 sao cho f là ước của g.
Bài 1.13. Cho E : F là một mở rộng đại số. Chứng minh rằng E là bao đóng
đại số của F nếu mọi đa thức f ∈ F [x] có bậc lớn hơn 0 đều phân rã trong

Bài 1.20. Cho Q(u) là mở rộng bậc 3 trên Q, sinh ra bởi một nghiệm u của
đa thức x
3
− 2x + 2. Hãy tìm bậc của mở rộng Q(w) trên Q, trong đó
w = u
2
− u và hãy chỉ ra các đa thức tối tiểu của w trên Q.
Bài 1.21. Chứng minh rằng bậc của trường phân rã của một đa thức bậc n thì
không vượt quá n!.
Bài 1.22. Các mở rộng nào sau đây là mở rộng chuẩn tắc trên Q:
a) Q(
√
3); b) Q(
3
√
5); c) Q(
√
2,
√
3,
√
5); d) Q(
√
3, i).
Bài 1.23. Chứng minh rằng mọi mở rộng bậc 2 đều là chuẩn tắc.
Bài 1.24. Giả sử E
1
, E
2
là các mở rộng chuẩn tắc của K. Chứng minh rằng

2) sao cho
σ(a + b
√
2) = a −b
√
2 với a, b ∈ Q.
Định lý 2.1. Giả sử F là một trường phân rã của đa thức f(x) trên trường K
và u, v ∈ F . Khi đó tồn tại một phần tử σ ∈ Gal(F, K) sao cho σ(u) = v nếu
và chỉ nếu u và v có cùng một đa thức tối tiểu trên K.
Nhận xét. Nếu một trường F là một mở rộng đại số của trường K và
u ∈ K, thì tập
{σ(u)/σ ∈ Gal(F, K)}
chứa trong tập nghiệm của một đa thức tối tiểu của u. Vì thế nó là một tập
hữu hạn.
Định lý 2.2. Cho F = K(u
1
, u
2
, . . . , u
n
) là một mở rộng đại số của trường
K. Khi đó nếu σ, τ ∈ Gal(F, K) và σ(u
i
) = τ(u
i
) với mọi i = 1, 2, . . . , n thì
σ = τ. Hay nói cách khác, σ ∈ Gal(F, K) hoàn toàn được xác định bởi tác động
của nó vào các phần tử u
1
, u

√
3. Do đó có nhiều nhất bốn tự đẳng cấu trong Gal(Q(
√
2,
√
3), Q)
tương ứng với bốn tác động trên
√
2 và
√
3 :
id =

√
2 →
√
2
√
3 →
√
3

; τ =

√
2 → −
√
2
√
3 →

các tự đẳng cấu τ, α, β tương ứng với các tác động đó. Ta thiết lập τ như sau:
đa thức x
2
− 2 là đa thức tối tiểu của
√
2 và −
√
2 trên Q. Khi đó tồn tại một
đẳng cấu δ : Q(
√
2)
∼
=
Q(−
√
2) sao cho δ(
√
2) = −
√
2 và δ(c) = c với mọi
c ∈ Q. Chú ý rằng, x
2
−3 là đa thức tối tiểu của
√
3 trên Q(
√
2). Khi đó δ được
mở rộng thành một đẳng cấu τ : Q(
√
2,

2) = −
√
2 và τ(
√
3) =
√
3.
Tương tự ta cũng thiết lập được các tự đẳng cấu α và β tương ứng với những
tác động như trên. Hơn nữa, các phần tử τ, α, β của Gal(Q(
√
2,
√
3), Q) có cấp
2. Chẳng hạn,
τ
2
(
√
2) = τ(τ(
√
2)) = τ(−
√
2) = −τ(
√
2) = −(−
√
2) =
√
2 = id(
√

∼
=
Z
2
× Z
2
.
Trong ví dụ trên, Q(
√
2,
√
3) là trường phân rã của đa thức (x
2
−2)(x
2
−3)
trên trường số hữu tỷ Q và mỗi σ ∈ Gal(Q(
√
2,
√
3), Q) đều tương ứng với một
21
22 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT GALOIS
phép thế trên tập tất cả các nghiệm
√
2, −
√
2,
√
3, −

√
2 → −
√
2
√
3 →
√
3
−
√
3 → −
√
3




; τ =




√
2 → −
√
2
−
√
2 →
√

√
3
−
√
3 →
√
3




; β =




√
2 → −
√
2
−
√
2 →
√
2
√
3 → −
√
3
−

(ii) Giả sử F là trường phân rã của đa thức f(x) tách được trên một trường K.
Theo Hệ quả 2.1, mọi phần tử của Gal(F, K) được xem như là một phép thế
trên tập nghiệm của f(x). Tuy nhiên, một phép thế trên tập nghiệm của f(x)
có thể không tạo thành một tự đẳng cấu của F giữ nguyên các phần tử của
K. Chẳng hạn, Q(
√
2,
√
3) là trường phân rã của f(x) = (x
2
−2)(x
2
−3) trên
trường số hữu tỷ Q. Theo ví dụ sau Định lý 2.2, không có một phần tử nào của
Gal(Q(
√
2,
√
3), Q) sinh ra bởi phép thế sau đây trên tập nghiệm của f(x):

√
2 −
√
2
√
3 −
√
3
√
2 −

2) =
√
2 nên Q(
√
2) ⊂ E
H
với E
H
là
trường bất động của nhóm con H. Xét tháp các trường
Q(
√
2) ⊂ E
H
⊂ Q(
√
2,
√
3),
Ta có
[Q(
√
2,
√
3) : Q(
√
2)] = [Q(
√
2,
√

(iii) Giả sử σ ∈ Gal(Q(
3
√
2), Q). Vì
3
√
2 là một nghiệm của x
3
− 2 nên σ(
3
√
2)
cũng là một nghiệm của x
3
− 2. Tuy nhiên, đa thức x
3
− 2 chỉ có duy nhất
một nghiệm thực
3
√
2 và hai nghiệm phức. Do đó, σ(
3
√
2) =
3
√
2 = id(
3
√
2). Theo

√
2) không là mở rộng Galois của trường số hữu tỷ Q.
(iv) Trường các thương Z
2
(t) của Z
2
(t) không là mở rộng Galois của Z
2
(t
2
).
(v) Nếu trường K có đặc số 0 thì F là một mở rộng Galois của K nếu và chỉ
nếu F là trường phân rã của một đa thức f(x) nào đó trên K.
Định lý 2.4. Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K. Khi đó nếu
H là một nhóm con của nhóm Galois Gal(F, K) và E là trường bất động của
nhóm con H thì F là một mở rộng Galois của E. Hơn nữa, H = Gal(F, E) và
[H] = [F : E].
Định lý 2.5. Giả sử F là một mở rộng Galois của K và E là trường trung
gian của mở rộng này. Khi đó E là trường bất động của nhóm Gal(F, E).
Hệ quả 2.2. Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn của trường K. Khi đó F
là một mở rộng Galois của K nếu và chỉ nếu K là trường bất động của nhóm
Gal(F, K). Trong trường hợp này ta có
[F : K] = |Gal(F, K)|.
Hệ quả trên chỉ ra rằng: Dấu hiệu đặc trưng cho một mở rộng F là một mở
rộng Galois của K là trường bất động của nhóm Galois Gal(F, K) lại đúng
bằng K.
Bổ đề 2.1. Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F. Khi đó nếu một mở rộng bậc
hữu hạn, chuẩn tắc của K và E là một mở rộng chuẩn tắc của K, thì Gal(F, E)
là một nhóm con chuẩn tắc của Gal(F, K). Hơn nữa, Gal(F, K)/Gal(F, E)
∼

3) trên
Q như sau: Ta biết rằng Q(
√
2,
√
3) là một mở rộng Galois của Q vì nó là
trường phân rã của đa thức (x
2
− 2)(x
2
− 3) trên Q. Theo Định lý cơ bản của
lý thuyết Galois, [Q(
√
2,
√
3) : Q] = [Gal(Q(
√
2,
√
3), Q)] = 4. Theo ví dụ sau
Định lý 2.2, Gal(Q(
√
2,
√
3), Q) = {id, τ, α, τα} cho bởi:
id =

√
2 →
√


√
2 → −
√
2
√
3 → −
√
3

.
G = Gal(Q(
√
2,
√
3), Q) là một nhóm Abel đẳng cấu với nhóm Z
2
× Z
2
. Các
nhóm con của G là:
< id >, < τ >, < α >, < τα >, G
Qua tương ứng Galois, các nhóm con này lần lượt cho tương ứng với các trường
trung gian của mở rộng Q(
√
2,
√
3) trên Q là:
Q(
√