PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Nguyên hàm, tích phân là một trong những vấn đề chính của chương trình
Giải tích lớp 12. Đây là các khái niệm cơ bản và rất quan trọng của giải tích có
liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm. Trong những năm gần đây, nguyên
hàm và tích phân vẫn luôn là một nội dung không thể thiếu trong mỗi đề thi
tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Đặc biệt, phép tính tích phân cho chúng ta một
phương pháp tổng quát để tính diện tích của các hình phẳng và thể tích những
vật thể có hình dạng phức tạp. Trên thực tế, đứng trước một bài toán về nguyên
hàm, tích phân nhiều học sinh còn bối rối trong việc lựa chọn phương pháp phù
hợp và chưa nhìn thấy được mối liên hệ hữu cơ giữa các lớp bài toán. Do đó,
rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tính tích phân là một đề tài lớn có nhiều vấn
đề cần phải đề cập đến, nên trong bài viết này tôi chọn đề tài: Rèn luyện cho
học sinh kỹ năng tính tích phân thông qua một số bài toán tích phân tổng
quát.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH TÍCH PHÂN THÔNG QUA
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT
A. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học
ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng
dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải
có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh, học và
nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông,
vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách
giải.
B. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình giảng dạy nhiều năm và quá trình theo dõi các đề thi tốt
nghiệp phổ thông và tuyển sinh vào đại học, cao đẳng học sinh gặp nhiều bài
toán tích phân mà các bài toán này là các trường hợp đặc biệt hóa của bài toán
tích phân tổng quát nào đó. Muốn giải các bài tích phân này học sinh cần biết
1

( ) 2 ( )
a a
a a
f x dx f x dx
−
=
∫ ∫
Giải: a) chú ý: cho học sinh ƒ là học sinh lẻ và [-a; 0] và [0;a] đối xứng qua
0 +
( ) ( )
a a
a a
f x dx f x dx
−
=
∫ ∫
(*)
Xét
0
( )
a
I f x dx
−
=
∫
đặt x = - t => dx = - dt và ƒ (x) = ƒ (-t) = -t(t)
2
Vậy
0
0 0

=
∫
3) Tính
7 5 3
/4
2
4
3 7 1
os
x x x x
I dx
c x
π
π
−
− + − +
=
∫
(gợi ý để hs tách
7 5 3
/4 /4 /4
2 2
4 4 4
3 7
tan 2
os os
x x x x dx
I dx x
c x c x
π π π

1 1 1
t x
b b b
t t x
b b b
f t dt a f t dt a f x dx
I
a a a
−
−
− −
− −
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫
Suy ra
0
( 1) ( )
2 ( ) 2 ( )
1
x
b b b
x
b b
a f x dx
I f x dx f x dx
a
− −
+
= = =

− −
− −
+
= =
+ +
+
= =
+ + +
∫ ∫
∫ ∫
Bài toán 3 : Cho hàm số f liên tục trên [0;1] chứng minh rằng
/2 /2
0 0
(sin ) (cos )f x dx f x dx
π π
=
∫ ∫
+ Phân tích để học sinh thấy
sin cos
2
t x
π
 
− =
 ÷
 
+Đặt
2
x t dx dt
π

x x
π
=
+
∫
2)
3
/2
0
sin
sin osx
xdx
J
x c
π
=
+
∫
3)
2013
/2
2013 2013
0
cos
os sinx
xdx
M
c x
π
=

∫ ∫
+ Bài toán 3 là trường hợp đặc biệt của bài toán này do
sin cos
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
+ Hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán : đặt t = b - x
4
dt dx⇒ = −
và
( )
0
0 0 0
( )( ) ( ) ( )
b b b
b
f b x dx f t dt f t dt f x dx− = − = =
∫ ∫ ∫ ∫

Các bài tập ứng dụng : chứng minh
1)
( )
/2 /2
0 0
tanx (cot )f dx f x dx
π π

2
0
sin
1 sin
x x
I
x
π
=
+
∫
(áp dụng bài toán 5 :
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
0 0 0
sin sin x
sin x
1 sin 1 sin 1 sin
x x dx x dx
dx
I I
x x x
π π π
π π π
π
π
− − −
= = = −

.sinJ x xdx
π
=
∫
4) Cho ƒ là hàm số liên tục trên [0;1] chứng minh
( ) ( ) ( )
2
0 0 0
sinx sinx sinx
2
xf dx f dx f dx
π
π π
π
π
= =
∫ ∫ ∫
Bài toán 6 : Cho ƒ là hàm số liên tục trên R và ƒ(a+b-x)=ƒ (x)
Chứng minh :
( ) ( )
2
b b
a a
a b
xf x dx f x dx
+
=
∫ ∫
+ Hướng dẫn học sinh chứng minh : Đặt t = a + b - x
5

=
∫
2)
2 5
0
cos sinJ x x xdx
π
=
∫
(Xét ƒ(x) = cos
2
x sin
5
x = cos
2
(π - x)sin
5
(π - x )=>
( )
( )
2
2 2
0 0
5 2
os . os 1 os cos )
2 2
sin xJ c x c x c xdx d x
π π
π π
= = − −

∫
đặt t = 2a - x => dt = - dx
0
0
(2 )( ) (2 )
a
a
J f a t dt f a x dx⇒ = − − = −
∫ ∫
=> đpcm
Bài tập áp dụng : Tính
3
0
sin xsin 2 sin3I x xdx
π
=
∫

(áp dụng kết quả trên :
[ ]
3
2
0
sin sin 2 sin3 sin(3 )sin 2(3 )sin3(3 )I x x x x x x dx
π
π π π
= + − − −
∫
[ ]
3

0
( ) ( ) ( ) ( )
a T T a T
a a T
f x dx f x dx f x dx f x dx
+ +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
(*)
Xét
( )
a T
T
J f x dx
+
=
∫
đặt u = x - T => du = dx và
0x T u
x a T u a
= ⇒ =


= + ⇒ =

Vậy
0 0
( ) ( )
a a
J f u T du f x dx= − = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bài tập áp dụng : 1) Tính
100
0
1 os2I c xdx
π
= −
∫
+ Ta có
( ) 1 os2f x c x= −
là số tuần hoàn có chu kỳ T = π
Vậy
0 0
100 1 os2 100 2 sin x 200 2I c xdx dx
π π
= − = =
∫ ∫
2) Tính
3
5
sinI xdx
π
π
=
∫
(Xét hàm số f(x) = sin
5
x là hàm số tuần hoàn
có chu kì 2π và là hàm số lẻ
3 2

1 1 1
1 1 1
n
n
n n
n n n
dx
d
x
x
I
n
x x x
+
+
 
+
 ÷
 
= = −
    
+ + +
 ÷ ÷  ÷
    
∫ ∫
1 1
1
1
0
1 1 1 1 1

+
=
+
2) Tính I
n
+ Từ bài toán này học sinh bước đầu làm quen với phương pháp sử dụng
công thức truy hồi.
1) Ta xét
1
0
1
n
n
I x xdx= −
∫
đặt u = x
n
=> du = nx
n-1

3
2
2
1 (1 )
3
dv xdx v x= − ⇒ = − −
Khi đó :
( )
1
3/2 1

n n
I I I I I
n
− −
= − ⇒ =
+
Vậy
1
2 2
2 5
n n
n
I I
n
+
+
=
+
2) Suy ra
0
2 2 2 2 4 2 6 2
. . . .
2 3 2 1 2 1 2 3 5
n
n n n n
I I
n n n n
− − −
=
+ + − −

n
x dx
I
x
+
=
+
∫
(Với n ∈ N
*
)
+ Gợi ý để học sinh tìm
2 1
1
1
2
0
1
n
n
x dx
I
x
−
−
=
+
∫
+Học sinh tìm
( )

n n
I I
n
−
= −
Tương tự
1 2
1
2( 1)
n n
I I
n
− −
= −
−

2 3
1
2( 1)
n n
I I
n
− −
= −
−
Ta có :
2
1 1
2
0

n n n
−
− − −
= + + + + + −
− −

Sau khi giải bài toán tổng quát học sinh áp dụng giải bài toán cụ thể tính I
2
, I
3

Bài toán 12 : Cho tích phân
( )
1
2
0
1
n
n
I x dx= −
∫
1) Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n-1
2) Tính I
n
theo n ?
+ Gợi ý để học sinh tính I
n

0
n n
n
I x x n x x dx
−
= − + −
∫
( ) ( )
1
1
2 2
1
0
2 1 1 1 2 2
n
n n
n x x dx nI nI
−
−
= − − − − = − +
∫
Vậy
1
2
2 1
n n
n
I I
n
−

1 0
0
2 2 2
3 3 3
I I dx= = =
∫
Vậy
2 2 2 2 4 4 2
. .
2 1 2 1 2 3 5 3
n
n n n
I
n n n
− −
=
+ − −
Từ lời giải bài toán tổng quát trên ta có :
+ Với mỗi n cụ thể ta có được 1 bài toán cụ thể
+ Do x
∈
[0 ; 1] nếu đặt x = sint thì
/2
2 1
0
os
n
n
I c t tdt
π

I x x n x xdx
π
π
− −
= − + −
∫
( )
( )
( )
[ ]
/2
2 2
2
0
1 sin 1 sin 1
n
n n
n x x dx n I I
π
−
−
= − − = − −
∫
10
Vậy
2
1
.
n n
n

1
1 3 2
.
2 3
n
n n
I I
n n
− −
=
−
với
/2
1
0
sin x 1I dx
π
= =
∫

Bài tập áp dụng : Tính
1
2
0
1
n
n
x dx
I
x

n
I c x xdx
π
=
∫
với n
∈
N
*
+ Nhắc học sinh chú ý đến số n ở 2 vị trí trong dấu tích phân và trong ký
hiệu I
n
.
+ Đặt u = cos
n
x => du = ncos
n-1
x(-sinx)dx
dv = cosxdx =>
1
sinv nx
n
=
/2
1
0
/ 2
1
os sin os sin sin x
0

π
−
+
∫
Vậy
1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
n n n n n n n
I I I I I hayI I
− − −
= − − + =
11
Suy ra
1
1
1
2
n
n
I I
−
=
Với
/2
1
0
cos .cos
2
I x xdx

x dx
I
x
+
+
=
+
∫
Ta phân tích
( )
2 2 2
1 1
2
2 2
0 0
2
1
.
1 2 1 1
1
n n
n
x xdx x x
I d
x x x
x
     
= =
 ÷  ÷  ÷
+ + +

I
x
=
+
∫
+ Với mỗi giá trị của n ta có một bài tích phân cụ thể.
D. KẾT QUẢ CỦA VIỆC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1) Trong khuôn khổ của một bài viết tôi chỉ đưa ra 15 bài toán tổng quát. Từ
15 bài toán nàydưới sự hướng dẫn của cô giáo học sinh tìm tòi các lời giải của
các bài toán. Sau khi giải được mỗi bài toán. Tôi hướng dẫn học trò đặc biệt hóa
bài toán theo các hướng khác nhau; để được nhiều bài toán cụ thể. Trong quá
trình tìm tòi học sinh phấn chấn, tự giác tiếp nhận các kiến thức mới. Sau đó giải
các bài toán cụ thể để khắc sâu phương pháp giải bài toán tổng quát. Từ 15 bài
toán gốc, học trò nắm được 15 dạng toán tính tích phân; mỗi dạng toán gồm
12
nhiều bài toán khác nhau. Nắm chắc được các phương pháp giải các dạng toán
tính tích phân này; đồng thời rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng
toán tích phân
2) Trong 3 lớp 12 tôi dạy năm nay tôi áp dụng kinh nghiệm ở 2 lớp và
giảng dạy bình thường ở 1 lớp. Kết quả 2 lớp dạy thực nghiệm kinh nghiệm thì
khá giỏi đạt 70%. Còn kết quả ở lớp dạy bình thường khá giỏi chỉ đạt 50%.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận: Quá trình dạy học là một quá trình tìm tòi suy nghĩ để không
ngừng đúc rút kinh nghiệm nâng cao hiệu quả giờ dạy. Kinh nghiệm trình bày ở
trên của tôi chỉ là một cải tiến nhỏ khi rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho
học sinh. Nhưng dù sao sáng kiến nêu trên cũng đã hình thành cho học sinh
phương pháp giải các bài toán tổng hợp; rèn luyện cho học sinh phương pháp tư
duy trừu tượng. Biết từ các bài toán cụ thể khái quát lên để được bài toán đặc
trưng cho một lớp bài toán hay một dạng toán để rồi nắm chắc được phương
pháp giải các bài toán dạng này. Ngược lại cũng đã rèn cho học sinh biết cách từ