Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
A- Đặt vấn đề
I - Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lí luận:
Định lý Talet là một trong những định lý hình học cổ điển giữ vai trò quan
trọng trong chơng trình toán THCS. Định lý Talet đợc sử dụng nhiều trong giải
toán, đặc biệt là những bài toán có liên quan đến đoạn thẳng và tỉ số hai đoạn
thẳng.
Thông qua việc vận dụng định lý Talet vào giải toán ta có thể ôn lại cho
học sinh các tính chất về tỷ lệ thức các kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh đẳng
thức, giải phơng trình, chứng minh đờng thẳng song song, diện tích đa giác
Vận dụng định lý Talet vào giải toán ngoài việc học sinh đợc rèn luyện các kỹ
năng toán học, chủ yếu còn đợc nâng cao về mặt t duy toán học. Các thao tác t
duy nh: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, thờng xuyên
đợc rèn luyện và phát triển.
2. Cơ sở thực tiễn.
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khả năng vận dụng định lý Talet vào
giải bài toán của học sinh còn hạn chế. Khi học về phần này, học sinh còn khó
khăn:
- Việc sử dụng các kỹ năng về biến đổi đại số vào hình còn lúng túng hay
mắc sai lầm.
- Kỹ năng phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để vẽ thêm yếu tố phụ,
tìm lời giải cho bài toán còn chậm và hạn chế.
- Khả năng vận dụng bài toán này cho bài toán khác, kỹ năng chuyển đổi
bài toán, khai thác bài toán theo hớng đặc biệt hoá, khái quát hoá cha cao.
- Học sinh cha có thói quen tổng hợp và ghi nhớ những tri thức phơng
pháp qua từng bài toán, dạng toán.
3. Kết luận khái quát.
Nhận thức rõ đợc vị trí và tầm quan trọng của chuyên đề: Một số dạng
bài tập ứng dụng định lí Talet trong chơng trình Toán THCS. Thông qua thực tế
giảng dạy kết hợp với một số sách viết chuyên đề của các nhà giáo khác, tôi

Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu là:
- Phơng pháp thực nghiệm.
- Phơng pháp phân tích tổng hợp.
- Phơng pháp đặc biệt hoá - Khái quát hoá.
- 4 -
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
B Nội dung và ph ơng pháp
I - Kiến thức cơ bản.
1. Đoạn thẳng tỉ lệ.
a) Tỉ số hai đoạn thẳng.
- Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài của chúng với cùng một đơn vị
đo.
Nh vậy tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn.
b) Đoạn thẳng tỉ lệ:
- Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB và CD
nếu ta có hệ thức:
AB và CD tỉ lệ với AB và CD
Tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng cũng có các tính chất nh của tỉ lệ thức giữa
các số.
*1. Tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ.

AB . CD = AB . CD
*2. Có thể hoán vị các trung, ngoại tỉ:
=> *3. Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
2. Định lý Talet trong tam giác.
2.1. Định lý thuận:
Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại

AB
CD
B'A'
D'C'
=
)'(
D'C'CD
B'A' AB
D'C'
D'C' B'A'
CD
CD AB
D'C'
B'A'
CD
AB
CDCD


=

=

=>=
AC
AC'
AB
AB'
=
A

minh đợc AB=AB, BC = BC. Sau đó áp dụng định lý Talet trong tam giác
vào ACC để có:
từ đây suy ra kết luận.
3.2 . Định lý đảo.
- 6 -
AC
AC'
AB
AB'
=
AC
AC'
AB
AB'
=
A
C
C

B

B
A
C

C
B
B

A


B
C
B
C
C'B'
B'A'
BC
AB
=
A
C
C

B

B
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
Cho 3 đờng thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d tại các điểm theo thứ tự; A,
B, C và A, B, C thoả mãn đẳng thức tỉ lệ:
mà 2 trong 3 đờng thẳng a, b, c là song song với nhau thì 3 đờng thẳng a, b, c
song song với nhau.
và a//b => a//b//c
3.3 Hệ quả (các đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song song)
- Nhiều đờng thẳng đồng quy định ra trên hai đờng thẳng song song những
đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ.
a//b =>
Ng ợc lại: Nếu nhiều đờng thẳng không song song định ra trên hai đờng
thẳng song song các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm .
=> AA, BB, CC đồng quy tại điểm O.


C'A'
AC
C'B'
BC
BC
AB
==
O
A
b
B
C
C
B

A

O
a
b
A
B
C
A
B

C

AC

Gọi I là trung điểm của BC, NI là trung trực BC
AH BC
Suy ra:
Trong đó: AC = 45; HC = 27; IC =
* Nhận xét: Từ giả thiết của bài toán ta suy ra đợc hai đờng thẳng song
song: NI //AH bằng cách áp dụng định lý Talet thuận ta đã tính đợc NC.
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), điểm M thuộc cạnh AD sao
cho , vẽ đờng thẳng MN song song với AB biết AB = 28, CD = 70.
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Giả thiết của bài toán có các đờng song song: AB//MN//DC
Yêu cầu của bài toán tính MN = ?. Trên hình vẽ MN cha đợc ghép vào
định lí nào của định lý Talet.
Ta hãy tìm cách tạo ra các tam giác để vận dụng định lý Talet.
H ớng 1: Nối AC cắt MN tại O. áp dụng định lý Talet vào trong các tam
giác ADC, ABC thì MO, ON tính đợc. Từ đó tính đợc MN.
H ớng 2: Qua A kẻ đờng thẳng AI//BC, I DC.
AI cắt MN tại P. PM = AB = 28
áp dụng định lý Talet vào tam giác ADI ta tính đợc PM.
Lời giải: (tóm tắt theo hớng 2)
Kẻ AI//BC, I DC, AI cắt MN tại P.
Tứ giác ABNP là hình bình hành nên AB = PN
AB = 28
Trong ADI: PM//AD. áp dụng hệ quả định lý Talet ta có:
Theo giả thiết:
- 8 -
CH
CI
CA
CN
=

N
=> PN = 28 (1)
AD
AMPM
=
DI
7
2
AD5
2
MD
==
AMAM
7
2
DI
=
PM
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
Mặt khác DI = DC AB = 42
Suy ra: (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MN = 40 cm
Nhận xét: Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet trong tam giác.
Ví dụ 3: ABC có AC = 3 AB. Lấy D AB, E AC sao cho CE = BD,
DE cắt BC tại K. Tính .
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Bài toán yêu cầu tình tỉ số . Giả thiết của bài toán cha cho ta có thể
tính đợc trực tiếp tỉ số . Vậy ta phải tìm cách chuyển tỉ số về các tỉ số đã
biết.
Muốn làm đợc điều đó ta cần vận dụng định lý Talet. Nhng vấn để đặt ra là

KD
KE
KD
KE
KD
KE
3
1
=
AC
AB
BDKD
EFKE
=
CEKD
EFKE
=
3
1
ACECACAB
===
ABEFCEEF
3
1
KD
=
KE
.
5
2

Mà
Do đó:
Ví dụ 5: ABC có
ã
0
BAC =120
, AB = 6 cm, AC = 12cm, phân giác
BAC cắt BC tại D. Tính AD.
* H ớng dẫn tìm lời giả i:
AD là phân giác góc BAC, mà
ã
0
BAC =120
nên
ã
ã
0
60BAD DAC
= =
. Sử
dụng tính chất đờng phân giác ta đợc: , nên ta vẽ thêm đờng phụ để
tạo tam giác đều : DE//AB thì ADE đều, ta chuyển từ việc tính AD về tính AE.
* Lời giải tóm tắt:
Kẻ DE //AB, với E AC. ADE đều, đặt AD = DE = AE = x (x>0).
ABC có DE//AB =>
Kết luận 1: Nh vậy để vận dụng định lý Talet vào tính toán độ dài đoạn
thẳng, tỉ số đoạn thẳng ta cần chú ý:
+ Từ giả thiết phát hiện các đờng thẳng song song, ghép các đoạn thẳng
hay các tỉ số cần tính vào hệ thức của định lý Talet.
+ Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.

AE
===
15
14
ID

=
AI
2
1
A
AB
DC

==
C
DB
cmx
C
DE
4
12
x-12
6
x
A
CE
AB

===

Ta có OM//AB, ON//AB (giả thiết), áp dụng hệ quả của định lý Talet vào
các tam giác:
+ ABD: (1)
+ ABC: (2)
ABCD là hình thang: AB//CD, áp dụng hệ quả của định lý Talet vào DOC:
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: (Đpcm)
* Khai thác bài toán: Ta có thể chứng minh bài toán tổng quát hơn.
- 11 -
c
b
c
a
=
m=+
c
d
c
b
c
d
,
c
b
AB
ON
,
AB
OM
AB

N
O
A
B
C
D
M
N
P
Q
O
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
ABCD là hình thang, có MN//AB//DC, M AD, N BC. MN cắt BD, AC
lần lợt tại P và Q. Chứng minh PM = QN.
Chứng minh bài toán này hoàn toàn tơng tự nh VD1.
Ví dụ 2: ABC, trung tuyến AD, điểm P di động trên cạnh BC, qua
P kẻ đờng thẳng d // AD, d cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh:
PM + PN = 2. AD
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Hệ thức cần chứng minh: PM + PN = 2. AD đợc chuyển về hệ thức dới dạng tỉ số
đoạn thẳng:
Giả thiết của bài toán cho PN//AD, nh vậy ta có thể sử dụng định lý Talet
để chuyển các tỉ số về các tỉ số mới và thực hiện phép cộng:
, với BD = DC ta đợc Đpcm.
* Lời giải:
Theo giả thiết PM//AD, PN//AD. áp dụng hệ quả của định lý Talet vào các
tam giác:
+ ABD:
+ CNP: (vì D là trung điểm của BC)
Vậy PM + PN = 2.AD (Đpcm)

,
BD
BP
AD
PM
==
BD
BP
AD
PM
=
DC
BC
AD
PN
=
2
BD
BC
BD
PCBP
DC
PC
BD
BP
AD
PN
AD
PM
==

Kết hợp các điều trên ta đợc Đpcm.
* Lời giải:
ADC có: EF//DC =>
ABC có: FG//BC =>
nên suy ra (1) => AE . GB = DE . AG (Đpcm)
* Nhận xét: Từ (1) theo định lý Talet đảo => EG//BD.
Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy, trên Ox lấy 2 điểm D và E, một đờng
thẳng d
1
qua D cắt cạnh Oy tại F. Đờng thẳng d
2
qua E và song song với d
1
cắt Oy tại G. Đờng thẳng d
3
qua G và song song với EF cắt Ox tại H. Chứng
minh rằng OE
2
= OD.OH.
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Chuyển hệ thức cần chứng minh về dạng: , sử dụng định lý
Talet ta có thể chuyển đợc các tỉ số về cùng một tỉ số không?
* Lời giải:
áp dụng định lý Talet vào OEG:
DF//GE => (1)
áp dụng định lý Talet vào OGH:
EF//GH => (2)
Từ (1) và (2) suy ra: => OE
2
= OH.OD

=
FC
AF
ED
EA
=
FC
AF
GB
AG
=
GB
AG
ED
AE
=
OE
OH
OD
OE
=
OE
OH
,
OD
OE
;
OF
OG
OD

d
c
b
a
mm
=+=+
d
c
,
b
a
1
AD
MP
BC
MN
=+
D
A
G
A
B
C
F
E
O
D
E
H
x

à
0
B = D = 90
.
thì các giả
thiết khác phải thay đổi nh thế nào để hệ thức trên vẫn đúng?
Ví dụ 2: ABC, G là trọng tâm. d là một đờng thẳng qua G cắt cạnh
AB, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng
* H ớng dẫn tìm lời giả i:
Ta phải tìm cách cộng các tỉ số bằng cách chuyển chúng về các
tỉ số mới có cùng mẫu, muốn vậy ta phải sử dụng định lí Talet. Nhng vấn đề đặt
ra là cha có các đờng thẳng song song.
Vậy ta phải vẽ thêm các đờng thẳng song song.
H ớng 1: Qua C vẽ đờng thẳng song song với d, đờng thẳng này cắt AB tại
I, khi đó:

đến đây ta chỉ cần chứng minh AI + AB = 3. AM.
H ớng 2: Qua B, C vẽ các đờng thẳng song song với d, chúng cắt AG lần l-
ợt tại E và F. Khi đó:
và ta phải chứng minh AE + AF = 3. AG
Lời giải (theo hớng 2)
Qua B và C kẻ các đờng thẳng song song với d, các đờng thẳng này cắt
AG theo thứ tự tại E và F.
- 14 -
AD
MP
,
BC
MN
AC

AM
ABAI
AM
AI
AM
AB
AN
AC
AM
AB
+
=+=+
AG
AEAF
AG
AE
AG
AF
AN
AC
AM
AB
+
=+=+
A
B
C
N
G
E

Việc chứng minh CM- AI = IM đã rất đơn giản.
Lời giả i:
Qua D kẻ DI //BM, với I AC, I nằm giữa A và M.
áp dụng định lí Talet vào các tam giác:
+ ABM, có DI//BM:
+ CDI, có QM//DI:
- 15 -
=> AE + AF = 3.AG (1)
AG
AE
AN
AC
=
AG AM
AB AF
=
=>
)2(
AG AN AM
AB AFAEAC
+
=+
3
AN AN
AC
=+
AB
AG
2
AM AN

DB QD
QC
BC QD
QC
===
AIADAC
IMDB
AD AI
=
MIQD
QC CM
=
1
MIMIMIDBQD
QC
==

=

=
MIAIAMAICMAD
A
M
I
C
B
D
F
Q
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet

1
BCQD
QC
=
AC
IMPBNC
NA IAPA
=+
IM
2
PBNC
AC IAAB
+=+
IM
,
PB
,
NC
NA IAPA
BCNC
NA AE
=
BCPB
PA AF
=
BCBCPBNC
NA EFAFAEPA
=
+
=+

P
F
B
A
D
F
C
MIE
O
K
H
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
b)
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Giả thiết đã cho các đờng thẳng song song, ta cố định một trong 3 tỉ số
trong hệ thức cần chứng minh chẳng hạn: . Hãy tìm cách chuyển các tỉ
số về các tỉ số có cùng mẫu là BC.
Lời giải (tóm tắt)
a) KM//AC = >
Qua F kẻ FI//AB, I BC: vậy suy ra:
Vậy (Đpcm)
b) FH//BC =>
KM//AC =>

nên ta đợc: (Đpcm)
Chú ý: Với giả thiết của bài toán ta còn có thể chứng minh đợc nhiều hệ
thức khác.
2.4 Các hệ thức dạng khác.
Trong giải toán nhiều khi ta gặp các hệ thức chứng minh cha ở một trong
các dạng mà chúng ta đã xét. Nhng bằng cách biến đổi đại số ta vẫn có thể

BC
BE
CA
,
AB
AK CF
BC
MC
AB
AK
=
BC
EM
CB
CI
CA
CF
==
1
BCBCBCBCCABCAB
AK
==++=++
BCEMBEMCCFBE
1
CABCAB
AK
=++
CFBE
AB
AH

AD
1
+<
AC
1
AB
1
AD
1
+>
c
1
b
1
a
1
+=
1
c
a
b
a
c
1
b
1
a
1
=+<=>+=
c

ã
0
60F DAB
= = (1)

ã
ã
0
60FCA CAD
= =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AFC đều =>AF=FC=AC =>BF =AB+AF=AB + AC
áp dụng hệ quả định lý Talet vào BFC, AD//FC:
hay =>
Suy ra: (Đpcm)
AFC còn là tam giác đặc biệt gì khi BAC khác 120
o
từ đó các hệ thức
ở câu a) thay đổi nh thế nào? Ta có thể vận dụng hệ thức ở câu a) vào chứng
minh các bất đẳng thức ở cầu b), câu c) không?
b) AFC cân (do
à
ã
ã
F ACF BAC
= =
/2 =>AF=AC nên: BF =AB + AC

Ví dụ 2: ABC, M BC, chứng minh:
MA.BC < MC. AB + BM. AC
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng
minh đợc đa về dạng tỉ số :
Trong các tỉ số hai đoạn thẳng có sự xuất hiện các tỉ số gợi cho ta
vẽ đờng phụ nh thế nào? (từ M kẻ MN//AB, N AC).
Lời giải tóm tắt:
- 18 -
BF
BA
FC
AD
=
ACAB
AB
AC
AD
+
=
ACAB
AC.AB
AD
+
=
AC
1
AB
1
AB.AC

AD
AC
1
AB
1
AD
1
+>
cb
2bc
+
c
1
b
1
a
1
l
1
l
1
l
1
++>++
cba
1
BC.MA
MB.AC
BC.MA
MC.AB

+ QPC, có MA//BC =>
+ RPB, có AM//PB =>
Vậy suy ra:
(Đpcm)
Chú ý:
+ Ví dụ trên tơng ứng với phần thuận của định lí Mê-Nê-La-Uýt.
+ Phần đảo của bài toán vẫn đúng, nó cho ta một cách chứng minh 3 điểm
thẳng hàng.
Ví dụ 4: ABC, O thuộc miền trong tam giác, AO, BO, CO cắt các
cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại P, Q, R. Chứng minh rằng:
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Đẳng thức cần chứng minh giống với đẳng thức ta đã chứng minh đợc ở ví
dụ 3 chỉ có sự thay đổi về giả thiết từ 3 điểm thẳng hàng thành 3 đờng thẳng
đồng quy, hãy áp dụng cách vẽ đờng phụ tơng tự nh ở ví dụ 3.
Lời giải:
- 19 -
MA
MN
MA
AB
.
AB
MN
MA
AB
.
BC
MC
AB
MN

BC
MC
>+=>=>
+
=+
1
RB
AR
.
QA
CQ
.
PC
BP
=
PC
BP
RB
AR
,
QA
CQ
PB
AM
RB
AR
,
AM
PC
QA

1
RB
RA
.
QA
QC
.
PC
PB
=
B
A
R
M
Q
C
P
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
Qua A vẽ đờng thẳng d // BC, d cắt PQ , CR lần lợt tại M và N.
QBC có AM//BC => (1)
RBC có AN//BC => (2)
Do MN//BC nên:
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
(Đpcm)
Chú ý:
+ Ví dụ 4 ứng với phần thuận của định lí Xê-va, việc chứng minh bài toán
này có thể thực hiện theo cách vẽ đờng phụ khác hay tam giác đồng dạng.
+ Phần đảo của bài toán đã nêu nó cho ta một cách chứng minh 3 đờng
thẳng đồng quy.

PO
AM
PB
.
==>==
1
BC
AN
.
AM
BC
.
AN
AM
RB
RA
.
QA
CQ
.
PC
PB
.
==
B
A
M
Q
C
P

thẳng tuỳ ý cắt cạnh AB tại M và CD tại N. Đờng thẳng qua M song song
với CD cắt AC ở E và đờng thẳng qua N song song với AB cắt BD ở F.
Chứng minh BE//CF.
* H ớng dẫn tìm lời giải:
BE//CF
- 21 -
BCMN //
AC
AN
AB
AM
.
=>=
KB
AK
HC
AH
.
=
MB
AM
KB
AK
.
=
MC
AM
HC
AH
.

NC//ME => (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(Định lí Talet đảo)
Nhận xét: Ta chuyển từ yêu cầu chứng minh 2 đờng thẳng song song về
chứng minh hệ thức dạng
Ví dụ 3: Cho ABC, có AB + AC = 2.BC.
Gọi I là giao điểm 3 đờng phân giác trong, G là trọng tâm của ABC
(I khác G). Chứng minh rằng IG // BC .
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Để chứng minh IG // BC, ta phải chứng minh hay
Từ giả thiết của bài toán suy ra:
Hãy chứng minh , bằng cách sử dụng tính chất của đờng
phân giác.
* Lời giải:
Gọi AI cắt BC ở D, AG cắt BC tại M.
Nối B với I, C với I sử dụng tính chất
đờng phân giác trong tam giác ta đợc:
(1)
Theo giả thiết AB + AC = 2. BC => (2)
Từ (1) và (2) suy ra (3)
Vì G là trọng tâm của ABC nên: (4)
Từ (3) và (4) suy ra: (Đpcm)
* Chú ý:
+ Bài toán đảo của bài toán trên vẫn đúng: Từ IG//BC => AB+ AC = 2.BC
+ Nếu thay giả thiết AB + AC = 2.BC bằng giả thiết AB + AC < 2.BC thì
kết luận của bài toán thay đổi nh thế nào? (IG cắt tia MC)
- 22 -
OC
OE
OF

ID
AI
.
=
2
ID
AI
.
=
2
BC
ACAB
.
=
+
ID
AI
BC
ACAB
.
=
+
BC
ACAB
CDBD
ACAB
CD
AC
BD
AB

GM
AG
.
=
BCIG //
ID
AI
GM
AG
.
=>=
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
Ví dụ 4: ABC nhọn, các đờng cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi
M, N, P, Q lần lợt là hình chiếu của M trên AB, BE, CF, CA. Chứng minh
rằng M, N, P, Q thẳng hàng.
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Yêu cầu bài toán chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng. Giả thiết của bài
toán cho các đờng thẳng vuông góc, từ đó sẽ có các đờng thẳng song song. Hãy
chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng bằng cách chứng minh nó cùng nằm trên
một đờng thẳng song song với EF.
* Lời giải tóm tắt:
Từ giả thiết suy ra: HE // DQ => (1)
HF/ / DM => (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (*)
DM // CF suy ra: (3)
DN // CE suy ra: (4)
Từ (3) và (4) suy ra: MN // EF (**)
DQ // BE suy ra: (5)
DP // BF suy ra: (6)
Từ (5) và (6) suy ra: (***)

MQEF //
FM
AF
EQ
AE
.
=>=
BC
BD
BF
BM
.
=
BC
BD
BE
BN
.
=
DB
CD
QE
CQ
.
=
DB
CD
PF
CP
.

.
=
A
B
M
F
H
N
D C
Q
E
P
M
A
N
C
F
Y
P
B
E
X
M
A
B
C
N
X
Y
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet

YF
PY
XN
EX
.
=
YC
YB
XN
MX
.
=
NH
NG
MF
ME
.
=
DO
DM
AO
ME
.
=
DO
DM
OC
MF
.
=

D
M
O
N
F
DO
DM
AO
ME
.
=
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
Nhận xét: Hệ quả của định lý Talet tổng quát cho ta một cách chứng minh
đờng thẳng đồng quy.
ở bài toán trên nếu GH = EF thì 3 đờng thẳng GE, BD, HF có mối quan
hệ với nhau nh thế nào?
Ví dụ 7: Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cặt BC tại I, AC cắt
BD tại O. M, N lần lợt là trung điểm của AB, DC. Chứng minh rằng I, M,
O, N thẳng hàng.
Đây là một bài tập khá đơn giản, việc chứng minh nó có thể sử dụng định
lí Talet trong tam giác hay phơng pháp diện tích. ở đây ta trình bày lời giải theo
cách sử dụng hệ quả của định lí Talet tổng quát.
Lời giải:
Theo giả thiết M là trung điểm của AB, N là trung điểm của DC, nên suy
ra:

Mà AB // DC suy ra: MN, BD, AC đồng quy hay O MN (1)
Lại có: mà AB// DC nên suy ra AD, MN, BC đồng quy
hay I MN (2)
Từ (1) và (2) suy ra: I, M, O, N thẳng hàng.

MA
.
=
O
A
I
B
C
N
D
M
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
số diện tích hai đa giác về tỉ số hai đoạn thẳng, đó có thể là một bớc quan trọng
trong quá trình giải bài toán.
Ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1 : Cho ABC, trên AB và AC theo thứ tự lấy các điểm B
1
và C
1
thì:
Chứng minh: Kẻ CH AB, CH
1
AB ; H,H
1
AB ta có:
(1)
Ta có CH// C
1
H
1

Theo giả thiết của bài toán MD // AC, ME // AB, áp dụng nhận xét 2 ta đ-
ợc:
áp dụng nhận xét 2 ta đợc:
Mà S
(BMD)
= a
2
Để tính S
(ABC)
ta chỉ cần tính tỉ số:
Hãy sử dụng giả thiết S
(MEC)
= b
2
.
* Lời giải tóm tắt:
- 26 -
11)C(AB
(ABC)
.ACAB
AB.AC
S
S
.
11
=
111)C(AB
(ABC)
H.CAB
AB.CH

S
.
=
AN
AC
AM
AB
.
=
AM.AN
AB.AC
S
S
.
(AMN)
(ABC)
=
MN.MP
AB.AC
S
S
.
(MNP)
(ABC)
=
BC
BM
2
)
ba

S
BC)(
M)(B
=
A
D
S
Một số dạng bài tập ứng dụng định lí Talet
Theo giả thiết MD // AC, áp dụng nhận xét 2 ta đợc:
(1)
Lại có MD // AC nên DMB = C, áp dụng nhận xét 3 ta đợc:
Suy ra: (2)
Thay (2) vào (1) ta đợc :
Mà S
(BMD)
= a
2
nên suy ra S
(ABC)
= (a +b)
2
.
Khai thác bài toán:
+ Tính diện tích của hình bình hành ADME theo a và b. Xác định vị trí
của M sao cho diện tích của ADME là lớn nhất. (Gợi ý: S
ADME
=2.ab )
Khi điểm M nằm ngoài đoạn BC thì diện tích ABC đợc tính nh thế nào?
Ví dụ 2 : ABC, M thuộc tia đối của tia BC, kẻ MD // AC, ME // AD,
D AB, E AC. Biết S

2
(theo giả thiết) suy ra:
b
2
= (a+x)
2
=> b= a+x => x=b-a
=> x
2
= (b a)
2
Vậy S
(ABC)
= (b a)
2
Nh vậy khi M đờng thẳng BC
mà M không thuộc cạnh BC thì :
S
(ABC)
= (b a)
2
Ví dụ 3: ABC, M thuộc miền trong tam giác. Qua M kẻ PQ//BC;
EF//AC; DK//AB, với P, E AB; D, Q AC; K, F BC. Biết S
(MPE)
= a
2
;
S
(MDQ)
= b

.
222
(MEC)
(BMD)
==>==>===
ba
a
BC
BM
+
=
2
b)(a
2
+
2
BC)(
M)(B
)
ba
a
(
S
+
=
A
D
S
E
A

A
D
S