Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐINH THỊ THÁI HÀ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG BIỂU THỨC
VÀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TRONG DẠY HỌC CHƢƠNG
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Ở LỚP 12 TRƢỜNG THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN THÁI NGUYÊN - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

i
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2013
Tác giả luận văn
Đinh Thị Thái Hà

DANH MỤC CÁC BẢNG v
DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ v
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Giả thuyết khoa học 2
4. Phương pháp nghiên cứu 3
5. Cấu trúc luận văn 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Một số vấn đề về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong dạy
học Toán 4
1.1.1. Biểu thức Toán học và biểu thức đại số 4
1.1.2. Phép biến đổi đồng nhất 6
1.1.2.1. Phép biến đổi đồng nhất 6
1.1.2.2. Phép biến đổi đồng nhất thường gặp 7
1.2. Kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán 7
1.2.1. Kỹ năng 8
1.2.2. Kỹ năng giải toán 8
1.2.3. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT 8
1.2.4. Con đường hình thành, rèn luyện kỹ năng cho HS THPT 9
1.2.5. Một số kỹ năng thường sử dụng khi rèn luyện cho HS trong
dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12 10
1.3. Tình hình dạy học chương 2 Giải tích 12 ở trường THPT hiện nay 11
1.3.1. Nội dung dạy học chương 2 Giải tích lớp 12 11
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

iv
1.3.2. Những khó khăn thuận lợi của GV và HS khi dạy và học
chương 2 11
1.3.3. Mạch kiến thức sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong

v
2.2.3. Kỹ năng vận dụng tính chất, phép toán và phép biến đổi của biểu
thức lũy thừa, mũ và lôgarit để giải phương trình mũ và Lôgarit 58
2.2.3.1. Đưa về phương trình mũ và lôgarit về dạng cơ bản 59
2.2.3.2. Đưa về phương trình mũ và lôgarit về cùng cơ số 65
2.2.3.3. Sử dụng tính chất của biểu thức, phép toán và phép
biến đổi đồng nhất trong phương pháp giải phương
trình mũ và lôgarit bằng cách đặt ẩn phụ 71
2.2.3.4. Sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số mũ,
hàm số lôgarit để giải phương trình mũ và lôgarit 77
2.2.3.5. Sử dụng phép lấy lũy thừa, phép lấy lôgarit 81
2.2.4. Kỹ năng sử dụng phép biến đổi đồng nhất và các tính chất biểu
thị bằng bất đẳng thức của biểu thức mũ và lôgarit để giải BPT
mũ và lôgarit 85
2.2.4.1. Phương pháp đưa về cùng một cơ số 85
2.2.4.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 92
2.3.Kết luận chương 2 98
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 99
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 99
3.1.1. Mục đích 99
3.1.2. Nhiệm vụ 99
3.1.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 99
3.2. Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm 100
3.3. Giáo án thực nghiệm 100
3.4. Kết quả thực nghiệm và đánh giá 101
3.4.1. Kết quả định tính 101
3.4.2. Kết quả định lượng 102
3.5. Kết luận chương 3 105
KẾT LUẬN 106
TÀI LIỆU THAM KHẢO 107

lớp đối chứng qua bài kiểm tra 15 phút 104
Biểu đồ 3.2. Biểu đồ so sánh chất lượng học tập của lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng qua bài kiểm tra 45 phút 104

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

1
MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn học học có vị trí quan trọng trong trường THPT, nó là
công cụ để học các môn học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên kỹ
thuật và có nhiều ứng dụng vào thực tiễn hàng ngày.
Việc dạy và học môn Toán ở trường phổ thông không chỉ nhằm truyền
thụ tri thức mà điều quan trọng là phải rèn luyện những kỹ năng Toán học cần
thiết cho HS. Trong đó có kỹ năng sử dụng biểu thức và phép biến đổi đồng
nhất mà HS thường xuyên cần đến trong quá trình học Toán.
Trong nội dung chương trình lớp 12 THPT, nội dung về lũy thừa, mũ và
lôgarit có vai trò quan trọng và chiếm một một lượng không nhỏ kiến thức và
thời gian học của chương trình, nó thường xuyên có mặt trong đề thi tốt nghiệp
và đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Để học nội dung này, đặc biệt là để biến
đổi rút gọn, giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit, HS cần phải làm
việc với những biểu thức và các phép biến đổi đồng nhất.
Qua thực tiễn dạy học ở trường THPT ở vùng khó khăn Hòa Bình, chúng
tôi thấy HS còn rất lúng túng khó khăn khi giải các bài toán về việc sử dụng biểu
thức và phép biến đổi đồng nhất trong nội dung chương 2 Giải tích lớp 12 (Ban
có bản), chưa vận dụng được kiến thức về biểu thức và kỹ năng sử dụng phép
biến đổi đồng nhất trong học tập nội dung chương 2 nên đã dẫn đến giải sai các
bài toán như: thực hiện các phép toán lũy thừa, phép toán Lôgarit; rút gọn và
biến đổi biểu thức; giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit v.v… Vì

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

3
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
+ Nghiên cứu các tài liệu về PPDH Toán, đọc một số tạp chí, báo cáo khoa
học, luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ về những vấn đề có liên quan đến đề tài.
+ Nghiên cứu nội dung, chương trình SGK môn Toán, mà trọng tâm là
mạch về biểu thức và các phép biến đổi đồng nhất thể hiện trong dạy học
chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.
4.2. Phương pháp điều tra quan sát
Điều tra việc giảng dạy của GV và việc học tập của HS trong quá trình
dạy và học chương 2 Giải tích lớp 12 (Ban cơ bản) .
Trong đó đặc biệt quan tâm đến góc độ rèn luyện sử dụng biểu thức và
biến đổi đồng nhất thông qua phỏng vấn, trao đổi dự giờ đồng nghiệp và
phiếu hỏi.
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực hành giảng dạy một số tiết thuộc phạm vi của đề tài để
kiểm nghiệm tính hiệu quả và tính khả thi của giải pháp đã đề xuất.
4.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng trong việc tổng hợp, xử lý và đánh giá các số liệu thu được
trong điều tra và thực nghiệm sư phạm.
5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung
chính của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Tổ chức các hoạt động để rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu
thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ
và hàm số Lôgarit ở lớp 12 THPT
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3 10
1
( ) 3
27

e) 4- b f)
a
ab
g)
b
ab
h)
2
ax bx c

k)
5
x
l)
3
1
2
ab
a
m)
1
1
x
x


1.1.1.4. Biểu thức siêu việt
Một biểu thức Toán học có các phép Toán siêu việt thực hiện trên các
đối số được gọi là biểu thức siêu việt. [19, tr. 89]
Trong đó, các phép toán: phép nâng lên lũy thừa với số mũ vô tỉ,
phép lấy lôgarit, phép lấy các hàm số lượng giác v.v… được gọi là các
phép toán siêu việt.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

6
Ví dụ 3. Các biểu thức sau là biểu thức lôgarit:
a)
log
a
x
b)
log
x
a
a
c )
1
log
a
x
d)
2
log 1
a
x


đẳng thức đó gọi là đồng nhất thức.
1.1.2. Phép biến đổi đồng nhất
1.1.2.1. Phép biến đổi đồng nhất
Là sự thay thế của một biểu thức chữ bằng một biểu thức đồng nhất
bằng nó, tức là bằng nó với mọi giá trị số của tất cả các chữ có mặt trong
biểu thức [22, tr.291].
Phép biến đổi này có thể thực hiện bằng nhiều cách khác nhau, tùy thuộc
vào mục đích biến đổi nên cần chú ý vào mục đích đó, chẳng hạn làm cho biểu
thức gọn hơn tiện cho việc thay các chữ bởi các giá trị bằng số của nó. Hoặc
tiện cho những phép biến đổi về sau: đưa biểu thức về dạng tiện cho việc giải
phương trình, cho việc lôgarit hóa, lấy vi phân, tích phân v.v…
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

7
Ví dụ 5. Tính giá trị biểu thức: A =
11
22aa
với
1
2
3a
.
Với bài toán này ta có thể thay trực tiếp
1
2
3a
vào biểu thức A để tính,
nhưng trong quá trình tính vẫn cần phải quy đồng mẫu số với các biểu thức liên
quan đến căn số. Bởi vậy chúng ta thường rút gọn biểu thức A rồi mới thay
1

Việc nắm chắc lý thuyết về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất
tương ứng sẽ giúp HS hạn chế được các sai lầm. Để làm được như vậy
người GV cần tăng cường rèn luyện kỹ năng vận dụng biểu thức và phép
biến đổi đồng nhất trong quá trình dạy học một số nội dung dạy học trong
trường phổ thông, trong đó có nội dung về hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit
của lớp 12 THPT.
1.2. Kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán
Mục này được viết dựa theo những tài liệu tham khảo sau: [8], [15], [24].
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

8
1.2.1. Kỹ năng
Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đó,
khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì.
Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh đã nhận được. Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với
kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn.
1.2.2. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các
bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh).
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính
cách cho HS . Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS là một
trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp HS hiểu
sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho HS các
thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ,
phát triển năng lực giải toán cho HS.
1.2.3. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT
* Giúp HS hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên
suốt chương trình phổ thông. Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau:
- Các tập hợp số

Con đường thứ ba: Dạy HS các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc
vận dụng tri thức.
Để rèn luyện kỹ năng toán cho HS, GV cần tăng cường hoạt động giải
toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua
hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho HS cần quan tâm chú trọng
những vấn đề sau:
+ Cần hướng cho HS biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu
tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho HS biết cách
phân tích đặc điểm bài toán:
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

10
+ Hướng cho HS hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập
các đối tượng cùng loại.
+ Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho HS, khắc phục ảnh hưởng tiêu
cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:
+ Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh các cách
giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán.
+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. HS
không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và các bước
làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương pháp sẵn.
Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.
1.2.5. Một số kỹ năng thường sử dụng khi rèn luyện cho HS trong dạy học
nội dung chương 2 Giải tích 12
Một số kỹ năng thường làm việc với biểu thức và phép biến đổi dồng
nhất thường sử dụng trong quá trình dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12:
- Nhận dạng và thể hiện:

trong Toán học.
Nội dung
Số tiết PPCT
Lý thuyết
Bài tập
Lũy thừa
2
1
Hàm số lũy thừa
1
1
Lôgarit
2
1
Hàm số mũ, hàm số lôgarit
2
1
Phương trình mũ, Phương trình lôgarit
2
1
Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
2
1
Ôn tập chương
1
Kiểm tra 45 phút
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

12


13
1.3.3.3. Sự có mặt của biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong dạy học nội
dung chương 2 Giải tích 12
Các biểu thức lũy thừa, mũ và lôgarit có mặt hầu hết trong các đơn vị
kiến thức như: Lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit, hàm số lũy thừa,
phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit của nội dung chương 2.
Biểu thức và phép biến đổi đồng nhất có mặt trong các bài toán rút gọn,
đơn giản biểu thức, trong các bài toán tìm TXĐ của hàm số lũy thừa, hàm số
mũ và hàm số lôgarit, trong các phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
1.3.4. Tình hình rèn luyện kỹ năng làm việc với biểu thức và biến đổi đồng
nhất ở THPT
Ở cấp học THPT, nội dung kiến thức về biểu thức và biến đổi đồng nhất
cho dưới dạng ẩn tàng. HS thường xuyên làm việc với các biểu thức nguyên,
biểu thức phân (biểu thức đại số), biểu thức vô tỉ nhưng do cách gọi gọn của
một số GV nên HS thường gọi chung là biểu thức. HS thường xuyên làm việc
với biểu thức cùng các phép biến đổi đồng nhất như: Các phép rút gọn các hạng
tử đồng dạng, phép mở ngoặc, phép phân tích thành nhân tử, phép quy đồng
mẫu thức của các phân thức đại số, phép phân tích chúng thành những phân
thức sơ cấp, phép quy một tổng các hàm lượng giác về dạng thuận lợi cho phép
lấy lôgarit (tức là biến đổi nó thành một tích) với mục đích có thể là làm cho
biểu thức có dạng thuận lợi hơn cho sự tính toán bằng số hoặc cho những phép
biến đổi về sau, cho phép lấy lôgarit, phép mũ hóa, phép lấy vi phân, phép lấy
tích phân, giải phương trình v.v…
Do phần lớn các phép biến đổi đồng nhất được học từ cấp THCS nên
việc thừa nhận kỹ năng sử dụng biểu thức và rèn kỹ năng biến đổi đồng nhất
thường chỉ được GV chỉ ra lỗi sai trong quá trình HS mắc lỗi khi lên bảng giải
bài tập hoặc chấm bài kiểm tra hoặc khi HS biến đổi rút gọn ở một vài vấn đề
giải toán trong tiết dạy của GV.
Do kỹ năng sử dụng biểu thức và phép biến đổi đồng nhất là các kỹ năng

* Định hướng 2. Đối với từng kỹ năng, chúng tôi phân tích làm rõ hoạt
động gắn liền với từng kỹ năng đó.
* Định hướng 3. Minh họa thông qua các tình huống cho từng kỹ năng
trong đó có hoạt động tổ chức cho học sinh cho học sinh phát hiện và sửa chữa
những sai lầm.
2.2. Tổ chức các hoạt động để rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến
đổi đồng nhất trong dạy học chƣơng 2 Giải tích (cơ bản) lớp 12 THPT
2.2.1. Kỹ năng nhận dạng và thể hiện
Theo Nguyễn Bá Kim [15], có thể thấy nhận dạng và thể hiện là hai dạng
hoạt động theo chiều trái ngược nhau, nhưng lại gắn bó và liên hệ chặt chẽ với
nhau. Trong học Toán, HS thường xuyên phải tiến hành các hoạt động này đối
với khái niệm, định lý, quy tắc, phương pháp và dạng toán.
Khi giảng dạy một nội dung toán học, việc tổ chức hoạt động nhận dạng
và thể hiện giúp HS khắc sâu hơn về kiến thức đã học, làm nền tảng cho sự móc
nối với các kiến thức liên quan và giúp HS hoàn hiện hơn về tư duy Toán học.
Trong nội dung kiến thức chương 2 Giải tích lớp 12 gồm các kiến thức
về lũy thừa, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit, phương trình, bất
phương trình mũ và lôgarit có khá nhiều bài toán đa dạng và cũng dễ gây nhầm
lẫn cho HS trong quá trình học, đặc biệt là các em gặp không ít khó khăn ngay
từ hoạt động nhận dạng và thể hiện các kiến thức có liên quan.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

16
HS đã được tiếp xúc với biểu thức siêu việt là biểu thức lượng giác, việc
làm việc với phép toán siêu việt, hàm số siêu việt và phương trình siêu việt có
khá nhiều khó khăn khi tiếp cận với nội dung của nó. Để giúp HS khỏi bỡ ngỡ
và có những kỹ năng toán học cơ bản trong nội dung của chương 2 Giải tích 12,
bước đầu chúng ta cần đưa hoạt động nhận dạng và thể hiện vào trong giảng
dạy. Sau đây là một số vấn đề trình bày về hoạt động nhận dạng và thể hiện các
kiến thức về biểu thức lũy thừa, biểu thức mũ và biểu thức lôgarit cùng các