LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1

DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo)
Ví dụ 1: Cho hàm số
2 1
,
1
−
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao
cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3).
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
,
2
=
−

−
=m
Ví dụ 4:
(Trích
đề
thi
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A n
ă
m 2011)

Cho hàm s
ố

1
,
2 1
− +
=
−
x
y
x
có
đồ
th

c
ủ
a m. G
ọ
i k
1
; k
2
là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i A, B. Tìm k
để
t
ổ

+
=
−
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C).
Tìm

( )
2 1
, .
1
−
=
+
x
y C
x

Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t

Cho hàm s
ố

3 2
2 3.
= − + −
y x x
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(1 ; −2) và có h
ệ
s
ố
góc k.
a) Tìm k
để

đườ
ng th
ẳ
ng d và
đồ
th
ị

đ
i
ể
m A, B vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 4:
Cho hàm s
ố

3
– 3 1
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = mx + m + 3.
Xác
đị
nh m
để
d c
ắ
t (C) t

i qua A(2; 0) có h
ệ
s
ố
góc k.
Xác
đị
nh k
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau.

m phân bi
ệ
t
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
th
ỏ
a mãn
1 2
. 0
>
x x
và ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
)(
m
C
t
ạ
i m
ỗ
i
đ
i

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết
1
cos
α .
26
=
Bài 8:
Cho hàm số
3
1
−
=
+
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). Vi
ế
t ph
ươ

ụ
c tung t
ạ
i B sao cho OA = 4OB.
Bài 9: Cho hàm s
ố

3 2
( ) 6 9 3
= = + + +
y f x x x x (C).
Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua
các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho
OA OB
2011.
=
.
Đ/s:
9
; 6039.
2
= =k k
HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ
Bài 1:
Cho hàm số
1
,
2
+
=

 
∈ ⇒ = + → +
 
− −
 
o o o o
o o
M x y C y M x
x x

Ta có
2
1
lim
2
1
lim 1
2
→
→∞
+

= ∞


−

+

=

ệ
s
ố
góc
2
3
1 1
2
3
2
( 2)
 
− +
 
−
−
 
= = =
− −
−
o
I M
IM
I M o
o
x
y y
k
x x x
x

 
− = − = −
 
 
o o
o
o o
x x
x
x x

+ V
ớ
i
( )
3 3
2 3 1 1 1 3 2 3;1 3
2
3
= +
⇒
= + = + = + → + +
−
o o
o
x y M
x

+ V
ớ


( )
2 1
, .
1
−
=
+
x
y C
x

Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
( )
2
3
.
1
′
=
+
y
x
G
ọ
i
( )
2 1
;
1
−
 
∈
 
+

đ
i
ể
m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n I(−1; 2).
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

Đường thẳng IM có hệ số góc là
( )
2
3
.
1
−
−
= =
−
+
M I
IM
M I
y y

y có 2
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn
đề
bài là M(0;
−
3), M(
−
2; 5).
Bài 3:
Cho hàm s
ố

3 2
2 3.
= − + −
y x x
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(1 ; −2) và có h

b)
Tim k
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)

− + − = − − ⇔ − + − = −
x x k x x x k x

2
2 2
1
( 1)( 1) ( 1)
1 ( ) 1 0, (1)
=

⇔ − − + + = − ⇔

− + + = ⇔ = − + − =

x
x x x k x
x x k g x x x k

Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể


k
k
g g k
k

V
ậ
y v
ớ
i
4
5
1

<



≠

k
k
thì hai
đồ
th
ị

đ
ã cho c

1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a g(x) = 0, theo
đị
nh lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
1
1
+ =


= −

x x
x x k

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A, B l
ầ

ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A và B vuông góc v
ớ
i nhau khi
(
)
(
)
2 2
1 1 2 2
. 1 3 4 3 4 1
= − ⇔ − + − + = −
A B
k k x x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
9 12 16 1 9 1 12 1 16 1 1 9 14 14 0
⇔ − + + = − ⇔ − − − + − = − ⇔ − + =
x x x x x x x x k k k k k
Ph
ươ
ng trình trên vô nghi
ệ
m, v

ắ
t (C) t
ạ
i M(−2; 3), N, P sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i N và P vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :

• Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể

Khi đó x
N
; x
P
là các nghiệm của phương trình
2
1
2 0
2
+ =

− − − = ⇒

= − −

N P
N P
x x
x x m
x x m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại N, P lần lượt là k
1
và k
2
thỏa mãn
2
1
2
2


m
k k m m
m

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c
3 2 2
3
m
− ±
= là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ


ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th


= − − − =


Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, khác 2
0
9
0
(2) 0
4
k
f
∆ >

⇔ ⇔ − < ≠

≠

(*)
Theo định lí Viet ta có:
1
2
M N
M N
x x
x x k
+ =


= − −

ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
3 2 2
3
m
− ±
= là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Bài 6:
Cho hàm s
ố

3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
= − + − + − −

1
: 3 1 0 .
3
− + = ⇒ =
d
d x y k Do đó
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình
' 3
= −
y , hay
2 2
2 2( 1) 3 2 3 2 2( 1) 3 1 0
− + − + − = − ⇔ − − − − =
x m x m x m x m (1)
Yêu c
ầ
u bài toán t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m

>




m
m m
m
m

V
ậ
y k
ế
t qu
ả
c
ủ
a bài toán là
3
< −
m và
1
1 .
3
− < < −
m
Bài 7:
Cho hàm s
ố

ng th
ẳ
ng d: x + y + 7 = 0 góc
α
, bi
ế
t
1
cos
α .
26
=
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, suy ra tiếp tuyến có véctơ pháp
1
( ; 1)
= −

n k
Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là
2
(1;1)
=



 
 
k
n n
k
k k
n n
k
k

Yêu c
ầ
u c
ủ
a bài toán th
ỏ
a mãn ⇔ ít nh
ấ
t m
ộ
t trong hai ph
ươ
ng trình:
1
'
=
y k
(1) và
2

0
0

∆ ≥

∆ ≥



có nghi
ệ
m
có nghi
ệ
m
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
5

⇔
2
2
8 2 1 0
4 3 0

− − ≥

− − ≥


Bài 8: Cho hàm số
3
1
−
=
+
x
y
x
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB
Hướng dẫn giải:
Ta có OA = 4OB nênn ∆OAB có
1
tan
4
= =
OB
A
OA
⇒
tiếp tuyến AB có hệ số góc là
1
4
= ±
k
Phương trình
2
3
4 1