Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
TÌM HIỂU TỐN DỰNG HÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC CƠ SỞ

A.PHẦN MỞ ĐẦU
I.CƠ SỞ LÝ LUẬN.
Trong chương trình tốn trung học cơ sở , tốn dựng hình chỉ chiếm vị trí rất nhỏ nhằm hồn
thiện chương trình hình học . Song trong suốt quá trình giải tốn hình học hầu như phải vận
dụng các bài tốn dựng hình để làm các bài tập chứng minh hình học khác ,nhất là các bài tập có
vẽ thêm đường phuÏ và các bài tốn ứng dụng thực tế khác.
Phải thừa nhận rằng tốn dựng hình là một phần rất khó trong chương trình hình học THCS
nhưng nó có ý nghĩa và tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy tốn học nói riêng như phân
tích tổng hợp, khả năng quan sát , dự đốn, biết suy luận hợp lý và lôgic, phát triển trí tưởng
tượng vàcác tư duy linh hoạt ,độc lập nói chung một phẩm chất rất cần thiết cho các hoạt động
sáng tạo của con người.
Học tốn dựng hình còn giúp cho học sinh rèn luyện những đức tính cần cù , nhẫn nại , làm
việc có tổ chức kỉ luật,hình thành cho các em những kĩ năng vẽ hình ,đo đạc,tính tốn biết sử
dụng các công cụ đo đạc , biết ước lượng…cảm nhận được cái đẹp ,những ứng dụng hay , phong
phú của tốn hocï đối với đời sống của con người.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Như đã nói ở trên tốn dựng hình là một phần rất khó trong chương trình hình học trung
học cơ sở, cái khó ở cả giáo viên và học sinh. Đối với giáo viên thì cái khó ở chỗ dẫn dắt , diễn
giải cho các em hiểu một cách rõ ràng , nắm được một cách chắc chắn những gì mà thầy cô
muốn truyền đạt . Đối với học sinh cái khó ở chỗ tiếp nhận các kiến thức và phương pháp , càng
khó hơn trong việc vâïn dụng các kiến thức và phương pháp đó vào việc giải bài tập về tốn
dựng hình và các bài tập vạân dụng tốn dựng hình.
Hiện nay , trong chương trình hình học THCS thì các bài tốn dựng hình được giới thiệu
rải rác trong phần lý thuyết và phần bài tập ơ lớp 6 và lớp 7 . Lên lớp 8 , mới được giới thiệu
một cách hồn chỉnh và lên lớp 9 được vận dụng làm một số bài tập nhưng rất ít. Thường thì các
bài tập dựng hình chỉ có trong sách bài tập, giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm thêm , những
bài tốn này đòi hỏi nhiều thời gian nên trên lớp chỉ có những giờ học chính về phần dựng hình

đóng góp kinh nghiệm để bài viết hồn thiện hơn.
B. NỘI DUNG
I. THẾ NÀO LÀ BÀI TỐN DỰNG HÌNH?
Trong thực tế , chúng ta thường gặp rất nhiều hình vẽ như: ngôi sao năm cánh trên lá cờ
quốc kỳ, các biểu tượng ,lôgô….;các bài tốn trong xây dựng cơ bản như : chia đoạn thẳng cho
trước thành những đoạn bằng nhau, dựng hình viên phân …trong các bản vẽ kĩ thuật. Thế nhưng
đã có bao giờ chúng ta thử nghĩ rằng làm thế nào để vẽ được những hình đấy một cách chính
xác và hợp lí chưa.
Vấn đề vừa nêu ở trên, dựa vào những điêù kiện đã biết dùng những phương pháp hình học
hợp lí chính xác dựng một hình cần thiết đó là bài tốn dựng hình trong hình học.
Trong sách giáo khoa tốn 8 tập một đã định nghĩa như sau: “Các bài tốn dựng hình là các
bài tốn vẽ hình mà chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa”. Hay chính xác hơn là dựa vào
việc thực hiện các phép dựng hình cơ bản mà thước và compa có thể tạo ra hình đó.
II.PHÉP DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA.
Ngay từ thế kỉ VI-V trước công nguyên , người ta đã nghiên cứu các bài tốn dựng hình với
quy định chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa. Trong chương trình tốn trung học cơ sở
khi nói đến dựng một hình mà không có chú thích gì thêm thì ta phải hiểu rằng cần tạo ra hình
đó bằng cách sử dụng thước và compa.
Trong tốn chứng minh , việc chứng minh dựa trên các tiên đề và định lý. Trong tốn dựng
hình những hình cho trước được coi là dựng được, việc dựng hình dựa trên các phép dựng hình
cơ bản và các bài tốn dựng hình cơ bản.
Các phép dựng hình cơ bản là:
-Dựng đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt ( tiên đề về cái thước )
-Dựng đường tròn biết tâm và bán kính của nó ( tiên đề về cái compa )
-Giao điểm nếu có của hai đường là dựng được.
Tại sao công cụ dùng trong dựng hình lại chỉ có hai dụng cụ là thước và compa mà thước
dùng trong hình học phải là thước không được chia độ. Chúng ta có thể dùng thước chia độ để
dựng một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã biết; dùng êke để vẽ một góc vuông hoặc là
một đường thẳng góc có phải là tiện lợi hơn không !
Hình học tuy là một khoa học dùng lý luận suy diễn , nhưng cần kết hợp với thực tế làm cho

hai cạnh và góc đối của một trong hai cạnh(c.c.g).
10)Dựng một hình tam giác đều hoặc một hình vuông khi biết một cạnh của nó.
11)Dựng hình chữ nhật khi biết hai cạnh kề nhau.
12)Lấy một đường thẳng đã biết làm một cạnh, dựng một góc 60
0
hoặc 30
0
.
* Về loại đường tròn.
13)Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đã cho.
14)Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác đã cho.
15)Lấy một đoạn thẳng đã cho làm bán kính dựng một đường tròn.
16)Chia đôi một cung cho trước.
17)Từ một điểm cho trước ở ngồi hoặc ở trên đường tròn , vẽ tiếp tuyến của đường tròn đó.
18)Lấy một đoạn thẳng cho trước làm dây cung ,dựng hình viên phân chứa góc cho trước.
*Về loại tỉ lệ
19) Cho ba đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư.
20)Chia một đoạn thẳng cho trước làm hai phần sao chi tỉ số của chúng bằng tỉ số đã biết m:n.
21)Dựng đoạn thẳng trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước.
* Về loại diện tích
22) Dựng một hình vuông sao cho diện tích của nó bằng tổng diện tích của hai hình vuông cho
trước.
23)Dựng một hình vuông sao cho diện tích của nó bằng hiệu diện tích của hai hình vuông cho
trước.
Các phép dựng hình cơ bản trên đây, sau khi các em đã học theo sách giáo khoa, cần phải
luyện tập cho thành thạo mới có thể giải các bài tốn dựng hình.Khi đã có các phép dựng hình
cơ bản như trên ,ta sẽ dễ dàng trình bày phương pháp dựng của một bài tốn dựng hình .Sau đây
ta sẽ đi sâu tìm hiểu các bài tốn dựng hình cơ bản nhất mà trong chương trình THCS thường
dùng.
Bài tốn 1. Dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước

Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:
- Lấy O làm tâm , dựng cung tròn bán kính tuỳ ý cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại
A và B.
- Dựng một tia O’x’ bất kì .
- Lấy O’ làm tâm , dựng cung tròn bán kính bằng OA.
- Lấy giao điểm A’ của cung tròn này với tia O’x’.
- Dựng cung tròn tâm A’ ,bán kính bằng đoạn AB.
- Lấy giao điểm của cung (A’; AB) với cung (O’;OA).
- Nối O’,B’ ta được góc A’O’B’ cần dựng.
Góc A’O’B’ là góc phải dựng, ta có:
·
·
·
·
' ' ' ( ' ' )A O B AOB hayx Oy xOy= =
Thật vậy ,dễ thấy
' ' 'OAB O A B∆ = ∆
(trường hợp c-c-c)
Suy ra
·
·
' ' 'AOB A O B=
Bài tốn 3. Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng hay dựng trung điểm của một đoạn
thẳng.
Cho đoạn thẳng AB, Hãy dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:
- Dựng đường tròn tâm A, bán kính r
- Dựng đường tròn tâm B bán kính r
- Dựng giao điểm C,D của hai đường tròn (A;r) và (B;r)
- Dựng đường thẳng đi qua hai điểm C,D.

O
d
B
A
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
- Dựng giao điểm I của (A,r’) và (B, r’).
- Dựng đưòng thẳng qua hai điểm O,I.
Tia Oz chứa hai điểm O,I là tia phân giác của góc xOy.
Thật vậy ,ta có :

OAI OBI∆ = ∆
OAI OBI∆ = ∆
(trường hợp c-c-c)
Suy ra
µ
¶
1 2
O O=
µ
¶
1 2
O O=
* Chú ý : -Để có điểm I, ta phải lấy r’ > AB/2.
- Trong thực tế , để tránh việc thay đổi khẩu độ của compa , người ta lấy luôn
r’ = r = OA .
Bài tốn 5. Dựng đường thẳng vouung góc với một đường thẳng cho trước và đi qua một
điểm cho trước .
Cho điểm P và đường thẳng xy. Dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với đường thẳng
xy.

Sau đây ta sẽ xét thêm một số bài tốn dựng hình quen thuộc và cũng là những bài tốn
thường được coi như là cơ sở cho việc giải các bài tốn dựng hình phức tạp khác.
Bài tốn 6. Dựng một tam giác biết ba cạnh.
Dựng tam giác ABC biết ba cạnh a, b , c của nó.
- 5 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
* Cách dựng:
A
c
b
C
c
b
a
B
a
- Trên một đường thẳng bất kì dựng một đoạn thẳng BC bằng đoạn thẳng a.
- Dựng các cung tròn tâm C, bán kính b và tâm B , bán kính c.
- Dựng giao điểm A của hai cung tròn .
* Chú ý : Điều kiện để tam giác tồn tại , tức là điều kiện để có thể dựng được tam giác là:
b c a b c− < < +
.
Bài tốn 7. Dựng tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa.
Dựng tam giác ABC biết hai cạnh b, c và góc A xen giữa.
C
c
B
A
c

µ
,CBx B BCy C= =
.
- Dựng giao điểm A của Bx và Cy.
* Chú ý: Để có thể dựng được tam giác thì
µ
µ
0
180B C+ <
.
Thường thì khi một hình dựng được người ta gọi nó là một hình xác định. Một tam giác
hồn tồn được xác định khi cho biết ba yếu tố của nó, trong đó yếu tố góc không được quá
hai.
Bài tốn 9.Dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước.
Cho đường thẳng xy và một điểm A không thuộc xy. Qua A dựng đường thẳng song song với
xy.
* Cách dựng
- 6 -
A
B
z
y
x
T'
T
P
O
M
A'
T'

P
x
O

* Cách dựng:
- Dựng trung điểm M của đoạn thẳng OP.
- Dựng đường tròn ( M ; OM ).
- Dựng hai giao điểm T , T’ của đường tròn ( O ) và đường tròn ( M ; OM ).
- Dựng các đường thẳng PT, PT’.
* Chú ý: Trường hợp điểm P nằm trên đường tròn (O) ta dựng như sau:
- Dựng bán kính OP.
- Dựng đường thẳng đi qua P và vuông góc với OP.
Bài tốn 11.Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’;r) với R > r . Dựng các tiếp tuyến chung của hai đường
tròn.
* Cách dựng :
a) Tiếp tuyến chung ngồi.
- Dựng đường tròn tâm O, bán kính R-r.
- Dựng các tiếp tuyến O’T, O’T’ xuất phát từ
O’ đến đường tròn (O;R-r ).
- Dựng giao điểm A của đường thẳng OT với
đường tròn ( O ; R ).
- Dựng qua O’ đường thẳng song song với OA;
dựng giao điểm B’ của đường này với đường tròn ( O’; r ).
Đường thẳng AB là tiếp tuyến chung ngồi của hai đường tròn.Tương tự , ta dựng tiếp tuyến
ngồi thứ hai A’B’.
b) Tiếp tuyến chung trong .
- Dựng đường tròn tâm O , bán kính R + r.
- Dựng các tiếp tuyến O’T ,O’T’ từ điểm O’ đến đường tròn (O , R + r ) .
- Dưnïg giao điểm A của OT và ( O; R ).

. Dựng cung tròn mà mọi góc AMB nội tiếp trong cung đó
đều bằng
α
, hay dựng quỹ tích những điểm nhìn hai đầu mút của hai đoạn thẳng AB dưói một
góc
α
.
*Cách dựng :
- Dựng tia Ax tạo với AB một góc bằng góc
α
.
- Dựng đường thẳng Ay đi qua A và vuông góc
với Ax.
- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
- Dựng giao điểm của d với Ay, ta được điểm O.
- Dựng đường tròn ( O; OA ).
Cung AmB ( phần đường tròn nằm trong
nửa mặt phẳng bờ AB và không chứa tia Ax) là
cung cần dựng.
IV. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN DỰNG HÌNH .
Giải một bài tốn dựng hình thông thường phải theo các bước sau:
1) Giả thiết : Ghi cẩn thận các điều kiện đã cho của bài tốn.
2) Kết luận :Nêu lên hình cần dựng phải thảo mãn các điều kiện đã cho.
3) Phân tích : Trong bước phân tích này ta giả sử hình đó đã dựng được thoả mãn theo yêu
cầu của bài tốn .Trên cơ sở đó , ta thành lập các mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết và
chưa biết của hình nhằm tìm ra cách thực hiện các phép dựng hình cơ bản để dựng hình
cần dựng.
4) Cách dựng :Dựa vào kết quả của bước phân tích ta trình bày trình tự thực hiện các phép
dựng cơ bản và các bài tốn dựng hình cơ bản để dụng hình cần dựng , đồng thời thực
hiện các phép dụng đó trên hình vẽ.Chú ý không trình bày lộn xộn các phép dựng.

cạnh kia của tam giác.
Giả thiết : Độ dàiđường trung tuyến trên một cạnh là m
a
, độ dài đường cao thuộc cạnh ấy là
h
a
, độ dài cạnh kia là b.
Kết luận: Dựng hình tam giác .
Giải .
* Phân tích : 1. Giả sử
' ' 'A B C∆
là hình tam giác cần dựng.
2. Những điều đã biết về độ lớn có A’C’ = b , A’D’ = h
a
,
A’D’B’ = A’D’C = 90
0
, A’E’ = m
a
. Quan hệ đã biết có B’E’ = E’C’.

h
m
b
b
h
m
B'
C'
A'

nên AD là đường cao và AC = b.
- Theo cách dựng 2 và 3 ta có : EB = EC , AE = m
a
nên AE là trung tuyến .
Tam giác ABC cần dựng thoả mãn đầy đủ các yêu cầu của bài tốn.
* Biện luận:
Nếu b < h
a
hoặc m
a
< h
a
, hoặc b = m
a
=

h
a
thì bìa tốn không có lời giải. Nếu b > h
a,

đồng thời
m
a
= h
a
thì hình dựng được sẽ là một tam giác cân.Ngồi ra , b = h
a
đồng thời m
a

chính xác lắm nhưng rất có ích.Dựa vào hình đó , ta có thể biết rõ vị trí của các điểm và các
đường , và những mối tương quan giữa chúng .Chẳng hạn hai đoạn thẳng nào đó bằng
- 9 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
nhau.hoặc vuông góc với nhau, những điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng, nằm trên cùng
một đường tròn, những mối tương quan đó khó lòng tưởng tượng, phải có một hình vẽ phác mới
có thể nhìn thấy .
Mặt khác khi chính thức dựng hình chúng ta còn có thể tham khảo hình vẽ phác , vì khi
dựng hình chính thức ta nhìn qua hình vẽ phác có thể kịp thời biết được những đường nào chưa
dựng được , trong đó nên dựng đường nào trước.
Bước 2. Sau khi đã vẽ phác được một hình thì cần phân biệt cái gì đã biết và cái gì chưa
biết .Những cái đã biết hoặc những mối tương quan đã biết ,nên chỉ bằng một kí hiệu đặc biệt
hoặc đánh dấu bằng bút chì màu . Làm như vậy khi nhìn vào hình vẽ phác ta có thể biết ngay
đường nào dài ngắn ra sao, góc nào to nhỏ nnhư thế nào , giữa hai đường thẳng hoặc hai góc có
những mối quan hệ gì. Những đoanï thẳng đã biết độ dài . những góc đã biết độ lớn thì nên nghĩ
cách dựng chúng trước , hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau thì có thể dựng trước một cái ,
tiếp đó có thể dựng một đoạn khác hoặc góc khác .
Bước 3. Quan sát tỉ mỉ xem có bộ phận nào đó trong hình có thể dựng trước được không –
bộ phận đó thông thường là một hình tam giác (giả sử có) thì trước hết phải dựng nó.Bộ phận
này luôn luôn là cơ sở của tồn hình , sau khi đã có cơ sở đó mới tiếp tục dựng các bộ phận khác.
Bước 4. Trên cơ sở đã biết , tiếp tục dựng những bộ phận khác của hình cần dựng. Có nhiều
bài tốn dựng hình không đơn giản như đã nêu ở trên , khi phân tích cần bổ sung thêm một số
đường phụ mới có thể thể hiện được mọi quan hệ giữa những điều kiện đã biết và chưa biết .
VI.PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH .
Phương pháp giải các bài tốn dựng hình trong hình học thì có rất nhiều , trong bài viết này
tôi chỉ nêu hai phương pháp thường dùng trong chương trình tốn THCS là phương pháp lấy hình
tam giác làm cơ sở và phương pháp quỹ tích tương giao.
1/ PHƯƠNG PHÁP LẤY HÌNH TAM GIÁC LÀM CƠ SỞ.
Thông thường khi làm một bài tốn dựng hình ,trước hết phải dựng một bộ phận của tồn

y
x
A
C
3
2
1,5
1
- Dựng
ADH∆
vuông tại H với AD = 2cm và AH = 1,5.
- 10 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
- Dựng đường thẳng DH , trên đó lấy điểm C sao cho DC = 3cm.
- Qua A dựng đường thẳng xy song song với đường thẳng CD , trên đó lấy điểm B sao cho B,
C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD và AB = 1cm.
- Nối B, C ta được tứ giác ABCD.
3) Chứng minh:
Theo cách dựng , tứ giác ABCD có :
AB//CD nên nó là hình thang và đáy nhỏ AB = 1 cm ; đáy lớn CD = 3cm ; cạnh bên
AD = 2cm; AH
⊥
DC nên AH là đường cao và AH = 1,5cm. Vậy hình thang ABCD vừa dựng
thoả mãn yêu cầu của bài tốn.
4) Biện luận :
Ta luôn dựng được tam giác ADH , do đó luôn luôn dựng được hình thang ABCD thoả mãn
yêu cầu bài tốn.
Ngồi ra , trên đường thẳng DH còn có điểm C’ khác điểm C mà C’D = 3cm; trên đường thẳng
xy còn có điểm B’ khác điểm B mà B’, C’ cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD và B’A = 1cm.

A
C
4
3
x
y
B
4cm
3cm
80
3) Chứng minh:
Theo cách dựng , tứ giác ABCD có :
AB//CD nên nó là hình thang .Hình thang ABCD là hình thang cân vì có hai đường chéo bằng
nhau AC = BD = 4cm. Hình thang cân ABCD có
µ
0
80D =
, AC = 4cm , CD = 3cm nên nó thoả
mãn yêu cầu của bài tốn.
4) Biện luận.
Ta luôn dựng được tam giác ACD , do đó luôn dựng được hình thang ABCD thoả mãn
yêu cầu của đề bài. Bài tốn có một nghiệm hình.
Ví dụ 3. Dựng một tam giác cân, biết tổng của hai cạnh đáy và một cạnh bên và biết một góc ở
đáy của nó.
Giải : 1) Phân tích: Giả sử dựng được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu của bài tốn.
- 11 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
Ta đã biết
µ

A
D
a+b
- Dựng tam giác ABD sao cho
µ
B
α
=
, BD = a + b ,
µ
1
2
D
α
=
.
- Dựng AC sao cho
·
1
2
DAC
α
=
, cắt BD tại C.
Tam giác ABC chính là tam giác cần dựng.
3) Chứng minh :
Theo cách dựng , ta có
µ
1
2

·
B ACB=
⇒
AB = AC .
Như vậy tam giác ABC thoả mãn các yêu cầu của bài tốn.
4) Biện luận:
Khi
0
90
α
≥
thì bài tốn không có nghiệm hình .Còn lại bài tốn luôn có một nghiệm hình.
BÀI TẬP
1. Dựng tam giác ABC biết độ lớn của góc B là
β
, độ dài đường phân giác của góc A là
n
t
, đường cao thuộc cạnh đối diện với góc A là h
a
.
2. Dựng tam giác ABC biết độ lớn của góc A là
α
, độ dài đường trung tuyến thuộc một
cạnh kề là m
b
và đường cao thuộc cạnh kề kia là h
c
.
3. Dựng tam giác ABC biết độ lớn của góc C là


P

D

y

x

B

A

O

Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
10. Dựng hình chữ nhật biết đường chéo bằng 3cm, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng
50
0
.
11. Dựng hình chữ nhật có chu vi bằng 7cm, , góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng 70
0

12. Dựng hình thoi ABCD biết cạnh bằng 2cm , đường cao bằng 1,5cm.
13.Dựng hình vuônng ABCD . Dựng điểm E trên cạnh CD , dựng điểm F trên cạnh BC sao
cho tam giác AEF là tam giác đều .
2/DỰNG HÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH TƯƠNG GIAO.
Ta đã biết những điểm cách đều hai diểm A và B cho trước là nhiều vô hạn , nhưng
chúng đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối liền A , B. Đường trung trực của đoạn

Về mặt dựng hình ,định lý này có 3 công dụng:
a) Tìm điểm cách đường thẳng đã cho một khoảng có độ dài cho trước .
b) Tìm đỉnh của một tam giác đã biết cạnh đáy và đường cao.
c) Tìm tâm đường tròn đã biết bán kính và tiếp xúc với đường thẳng đã cho .
3.Quỹ tích của những điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng
nối liền hai điểm ấy.
Định lý này có các ứng dụng sau:
a)Tìm điểm cách đều hai điểm cố định.
b) Tìm tâm của đường tròn đi qua hai điểm đã biết .
c) Tìm đỉnh của tam giác cân đã biết cạnh đáy .
4.Quỹ tích của những điểm cách đều hai đường thẳng cố định cắt nhau là hai đường phân
giác đi qua giao điểm của hai đường thẳng .Công dụng của định lý này là :
- 13 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
a) Tìm những điểm cách đều hai đường thẳng giao nhau đã biết .
b) Tìm tâm đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng giao nhau cho trước .
5. Quỹ tích của những điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường
thẳng song song nằm chính giữa hai đường thẳng đã cho (tức là đi qua trung điểm của đoạn
thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho ).Công dụng của định lý này là :
a) Tìm điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước .
b) Tìm tâm đường tròn tiếp xúc với hai đừng thẳng song song cho trước .
6. Nếu hai cạnh của góc vuông luôn luôn đi qua hai điểm cố định thì quỹ tích của những
đỉnh góc vuông ấy là đường tròn nhận đoạn thẳng nối hai điểm cố định làm đường kính.
Công dụng của định lý này là :
a)Tìm đỉnh góc vuông của một tam giác vuông đã biết cạnh huyền .
b) Tìm chân đường cao thuộc hai cạnh của một tam giác đã biết cạnh đáy .
7. Nếu đợ lớn của một góc là không đổi , hai cạnh luôn đi qua hai điểm cho trước thì
quỹù tích của những đỉnh góc như thế là cung hình viên phân nhận đoạn thẳng nối liền hai điểm
cố định làm dây cung và chứa góc đó. Công dụng của định lý này là : Tìm đỉnh của tam giác đã

A luôn cách đường thẳng BC một khoảng bằng h (2).
Nếu tạm gác điều kiện (2) tức là chỉ giữ lại điều kiện A luôn cách M một khoảng bằng m thì
quỹ tích của A là đường tròn tâm M ,bán kính m.
Nếu tạm gác điều kiện (1) tức là chỉ giữ lại điều kiện A luôn cách đường thẳng BC một
khoảng bằng h thì quỹ tích của A là đường thẳng d song song với BC cách BC một khoảng bằng
h.
A phải thoả mãn hai điều kiện. Vậy A là giao điểm của đường tròn (M ; m) và đường thẳng d.
2) Cách dựng:
- Trên một đường thẳng bất kì , dựng đoạn BC = a.
- Dựng trung điểm M của đoạn thẳng BC và dựng đường tròn (M; m).
- Dựng đường thẳng d somg song với BC và cách BC một khoảng bằng h.
- Dựng giao điểm A của đường thẳng d và đường tròn (M; m).
- Nối AB,AC .Tam giác ABC là tam giác cần dựng.
- 14 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
3) Chứng minh :
Theo cách dựng ., tam giác ABC có : BC = a ; đỉnh A nằm trên đường tròn tâm M , bán kính m
nên AM = m ; đỉnh A cũng nằm trên đường thẳng d nên AH = h.
4)Biện luận :
Bài tốn chỉ giải được khi xác định được đỉnh A, tức là khi d và (M ; m) cắt nhau.Do vậy ta có
:
- Nếu h < m : ta có 4 giao điểm (vì quỹ tích những điểm cách đường thẳng BC một khoảng
bằng h là hai đường thẳng song song với BC , nằm khác phía đối với BC và cách BC một
khoảng bằng h) .Ta có 4 tam giác nhưng cả 4 tam giác này bằng nhau nên ta nói bài tốn có
một nghiệm hình .
- Nêùu h = m thì d tiếp xúc với (M; m) .Ta có tam giác ABC là một tam gíac cân , ta nói bài
tốn có một nghiệm hình .
- Nếu h > m thì d và (M; m) không cắt nhau .Bài tốn không có nghiệm hình.
Ví dụ 2. Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a ,các đường cao BE = h

điểm E nằm trên đường tròn tâm B bán kính h
b
.
Vậy E là giao điểm của hai đường tròn (M ;
2
a
) và (B ; h
b
).
-Xác định điểm F.Tương tự như đối với điểmE , điểm F là giao điểm của hai đường tròn (M ;
2
a
) và (C ; h
c
) .
2) Cách dựng :
- Trên một đường thẳng bất kì , dựng đoạn thẳng BC = a , dựng trung điểm M của đoạn thẳng
BC.
- Dựng đường tròn (M ;
2
a
).
- Dựng đường tròn (B ; h
b
).
- Dựng đường tròn (C ; h
c
).
- 15 -
O

b
.
Tương tự , ta có CF
⊥
AB và CF = h
c
.
4)Biện luận : để bài tốn có nghiệm thì ta phải dựng được các điểm E, F .
-Nếu h
b
< a và h
c
< a :bài tốn có một nghiệm hình .
-Nếu h
b
= a và h
c
< a hoặc h
b
< a và h
c
= a:bài tốn có một nghiệm hình là tam giác vuông (đỉnh
C hoặc B) .
- Nếu h
b
> a và h
c
> a hoặc h
b
= a và h

được một đường tròn tiếp xúc với xy và tiếp xúc với đường tròn (O),do đó bài tốn có hai lời
giải. Nhưng nếu OP vuông góc với xy thì bài tốn có một lời giải .
BÀI TẬP
1. Dựng tam giác ,biết trung tuyến và đường cao thuộc một cạnh là m
a
và h
a
, trung tuyến
thuộc một cạnh khác là m
b
.
2. Dựng tam giác ,biết độ lớn của góc ở đỉnh A là
α
, đường cao thuộc cạnh đáy là h
a
, bán
kính đường tròn ngoại tiếp là R.
Chỉ dẫn : Dựng góc ở tâm đường tròn bằng 2
α
.
3. Dựng hình bình hành biết chiều dài của hai đường chéo và một góc của nó.
4. Dựng một tứ giác , biết hai cạnh kề , góc tạo bởi hai cạnh kề khác và hai đường chéo.
- 16 -
P
B
A
C
O
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa

C.KẾT LUẬN
I. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC.
Được dạy học từ các lớp dưới lên lớp trên nên tôi đã nhận thấy được những khiếm
khuyết, sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi học hình học nhất là những bài tốn vận
dụng tốn dựng hình , các bài tập dựng hình để đo đạc thực tế.
Khi dạy hình học gặp những bài tốn dựng hình tôi thường trăn trở phải làm sao cho các em
thấu suốt một cách triệt để , biết phân loại các bài tốn dựng hình , phân tích mỗi loại và tìm
phương pháp dựng mỗi loại bài.Trên cơ sở đótôi luôn tích luỹ kinh nhgiệm sau mỗi tiết dạy ,tìm
tòi đổi mới và đưa các bài tập ứng dụng vào bất kì một tiết học nào nếu có thể được nên phần
nào các em hiểu đựơc tại sao phải vẽ hình như thế, vẽ thì nên bắt đầu từ đâu, sử dụng công cụ
như thế nào? Qua đó các em phần nào tháo gỡ được những khó khăn trong việc học hình học
cũng như vận dụng các bài tốn dựng hình vào giải các loại bài tập khác hay các bài tập thực tế.
Các em hứng thú với môn học hơn, có ý thức chủ động tham gia vào các hoạt động khám, phá
tìm tòi các sự vật gần gũi xung quanh.
II.BÀI HỌC KINH NGHIỆM .
Qua việc tổng hợp các bài tốn dựng hình cơ bản cho học sinh tôi thấy rằng để làm được
các bài tốn hình học thì bất kì một học sinh nào đã có một số kiến thức nhất định khi học dựng
hình đều có thể tránh được nhiều khó khăn trong học tập.Trong các buổi ôn thi học sinh giỏi và
trong những tiết học trên lớp nếu có thể lồng ghép các bài tốn dựng hình vào các kiến thức cần
- 17 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
truyền đạt cho buổi học hôm đó tôi đều đưa vào, ví dụ như bài “Đường trung bình của tam
giác, của hình thang” ; ”Tính chất đường phân giác trong tam giác” ;
“ Chứng minh các trường hợp đồng dạng của tam giác”…cần vẽ thêm đường phụ mới chứng
minh được và một số bài tập khác. Ngồi ra còn có những tiết thực hành cần vẽ hình để đo đạc
như :” Đo khoảng cách gữa hai địa điểm trong đó có một địa điểm không thể tới được” hay “Đo
gián tiếp chiều cao của vật”mà trong chương trìng hình học 7,8,9 đều có hai tiết, thì học sinh
nào cũng phải tham gia trong bất kì các khâu từ làm đồ dùng thực hành ,dựng hình trên giấy rồi
phác hoạ trên bảng , trên đất đến đo đạc tính tốn.

II.Bài học kinh nghiệm 20
III.Ý kiến đề xuất 20 - 19 -