Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
MỤC LỤC
1. TÓM TẮT ĐỀTÀI Trang 2
2. GIỚI THIỆU Trang 2
3. PHƯƠNG PHÁP Trang 3
3.1. Khách thể nghiên cứu Trang 3
3.2. Thiết kế nghiên cứu Trang 3
3.3. Quy trình nghiên cứu Trang 4
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu Trang 4
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ Trang 4
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Trang 6
TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 7
PHỤ LỤC CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN Trang 8
PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA MỘT TIẾT Trang 20
PHỤ LỤC BẢNG ĐIỂM Trang 25
BẢNG ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC Trang 28
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 1 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đại học, cao đẳng, trung
cấp chuyên nghiệp của các năm, bài toán tính tích phân hầu như không thể thiếu
nhưng đối với học sinh phổ thông bài toán tích phân là bài toán khó và đặc biệt
khó hơn là bài toán tích phân từng phần.
Học sinh đã cảm thấy khó ngay từ khi học công thức tích phân từng phần,
học sinh cảm thấy rất lúng túng không phân biệt được bài toán tích phân từng phần
cũng như khi đã xác định được là bài toán tích phân từng phần thì lại không biết
đặt như thế nào hợp lý. Các em loay hoay đặt thử cách này cách khác và dĩ nhiên
rất mất thời gian, các em thiếu tự tin ngay cả khi mình giải ra được đáp số.
Trước thực trạng đó, trong quá trình giảng dạy, tôi đã hướng dẫn học sinh
nhận dạng bài toán tích phân từng phần và cách giải đơn giản dễ nhớ từ đó giúp
học sinh hứng thú hơn khi học tích phân và giải được bài toán tích phân từng phần

Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
làm, phát hiện và chỉnh sửa kịp thời cho học sinh từ đó giúp hình thành thói quen
cho học sinh giải bài toán.
Vấn đề nghiên cứu: Giải pháp “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học
sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần”
Giả thiết nghiên cứu: Sử dụng cách nhớ ngắn gọn khi giải bài toán tích
phân từng phần sẽ nâng cao kết quả học tập của HS lớp 12 trường THPT Lộc
Hưng.
3. PHƯƠNG PHÁP
3.1. Khách thể nghiên cứu
Chúng tôi lựa chọn hai lớp 12B4 và 12B5 vì có những thuận lợi cho việc áp
dụng giải pháp này.
- Giáo viên: Hai giáo viên dạy lớp có tuổi nghề tương đương, có lòng yêu nghề,
có tinh thần trách nhiệm đối với giảng dạy và giáo dục HS.
1. Nguyễn Thị Phương Toàn – GV dạy lớp 12B4 (lớp thực nghiệm)
2. Huỳnh Nguyễn Hữu Thanh – GV dạy lớp 12B5 (lớp đối chứng)
- Học sinh: Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cũng có nhiều điểm tương
đồng; cụ thể: hầu hết các em này có học lực trung bình yếu, hay quên, thiếu ý thức
học tập, kỹ năng tính toán yếu.
3.2. Thiết kế nghiên cứu
- Lựa chọn thiết kế: kiểm tra trước và sau tác động với hai lớp tương đương.
- Chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra cho
thấy điểm trung bình của hai lớp 12B4 và 12B5 có sự tương đương nhau.Chúng tôi
dùng phép kiểm chứng T-Test độc lập để kiểm chứng sự tương đương điểm số
trung bình của hai lớp trước khi tác động.
 Bảng kiểm chứng để xác định hai lớp tương đương:
Thực nghiệm (Lớp 12B4) Đối chứng (Lớp 12B5)
Trung bình cộng
5,1428571 5,17142857
P

Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
3.3. Quy trình nghiên cứu:
 Chuẩn bị bài dạy của giáo viên:
- Giáo viên dạy Toán lớp 12B5 là lớp đối chứng sửa bài tập trong sách giáo
khoa chỉ dùng công thức.
- Giáo viên dạy Toán lớp 12B4 là lớp thực nghiệm, dạy học kết hợp công
thức, giúp học sinh nhận dạng đưa ra cách nhớ ngắn gọn, sắp xếp bài tập
theo dạng từ dễ đến khó, có bài tập tương tự có đáp án giúp học sinh tự
luyện.
 Tiến hành dạy thực nghiệm:
Tuân theo kế hoạch giảng dạy của nhà trường và thời khóa biểu để đảm bảo
tính khách quan:
Với lớp đối chứng dạy chính khoá và tăng tiết bình thường (dùng công thức
giải), còn lớp thực nghiệm ở định nghĩa cũng như ví dụ tôi đều giúp học sinh nhận
dạng, nêu rõ lí do vì sao ta phải đặt như vậy sau đó cho bài tập sắp xếp từ dễ đến
khó các bài giống dạng gần nhau rồi đến tiết tăng tiết tôi giải thêm ví dụ, ôn lại các
dạng bài tập và sửa bài tập cho các em.
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu:
- Bài kiểm tra trước tác động do giáo viên nhóm Toán lớp 12 của trường THPT
Lộc Hưng thống nhất.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong bài tích phân và
bài tập ôn chương cũng do nhóm giáo viên trên ra đề kiểm tra. Kiểm tra bằng
hình thức tự luận, nội dung gồm 4 bài tập: tính tích phân bằng phương pháp
tích phân từng phần, 1 bài ở mức độ nhận biết, 2 bài thông hiểu, 1 bài vận
dụng.
 Tiến hành kiểm tra và chấm bài
- Sau khi thực hiện dạy xong các nội dung đã nêu ở trên, chúng tôi tiến hành bài
kiểm tra 1 tiết (nội dung kiểm tra như đã trình bày ở trên).
- Sau đó 2 giáo viên tiến hành chấm bài theo hướng dẫn đã thiết kế.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ


Biểu đồ so sánh điểm trung bình trước tác động và sau tác động của lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng
4.2. BÀN LUẬN
Qua kết quả của bài kiểm tra sau tác động: lớp thực nghiệm có TBC =
7,285714 còn lớp đối chứng có TBC = 5,742857. Ta tính được độ chênh lệch điểm
số giữa hai lớp là 1.542857. Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và
thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn
nhiều so với lớp đối chứng.Và chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm
tra là SMD = 0,83282994. Từ đó cho thấy việc tác động này có ảnh hưởng rất lớn
đến kết quả học tập.
Phép kiểm chứng T – test ĐTB sau tác động của hai lớp là
p = 0,00037797 < 0,001. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai lớp
thực nghiệm và đối chứng không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động có ảnh
hưởng rất lớn đến kết quả. Điều này góp phần giúp cho học sinh yêu thích toán
hơn, giúp các em thấy được việc giải toán tích phân cũng như tính tích phân từng
phần không có gì đáng sợ.
Hạn chế:
Đề tài “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích
phân từng phần” là một trong những giải pháp rất hữu hiệu góp phần nâng cao
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 5 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
dần chất lượng bộ môn Toán của trường THPT Lộc Hưng và một số trường THPT
vùng sâu khác nhưng để sử dụng có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên cần có
lòng yêu nghề, hết lòng với học sinh uốn nắn kịp thời những sai sót của học sinh.
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
5.1. Kết luận:
Trên đây là bài viết về “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4
học tốt tích phân từng phần” tiến hành giảng dạy có hiệu quả đối với học sinh lớp
12B4 của trường. Khi áp dụng giải pháp này học sinh có thể giải được các bài tập

3. Sách giáo viên Toán 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo
dục.
4. Đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng các năm.
5. Mạng Internet: thuvientailieu.bachkim.com.
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 7 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
PHỤ LỤC
CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN
Bài toán dùng phương pháp tính tích phân từng phần
Dựa trên công thức
( ) '( )
b
a
u x v x dx
∫

( ( ) ( )) '( ) ( )
b
b
a
a
u x v x u x v x dx= −
∫
Hay
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫

Ví dụ 1: Tính I
1
=
2
1
4 lnx xdx
∫
(HKII 2008 - 2009)
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng biểu thức dưới dấu tích phân là tích của
hàm đa thức 4x và hàm lốc là lnx. Nên theo thứ tự ưu tiên ta đặt u = lnx còn lại
là dv với lí do là trong bảng nguyên hàm ta không có nguyên hàm của lnx
Đặt
2
1
ln
4
2
du dx
u x
x
dv xdx
v x

=
=


⇒
 

2
1
ln
e
x x xdx+
∫

Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng biểu thức dưới dấu tích phân là tích của
hàm đa thức x
2
+ x và hàm lốc là lnx. Nên theo thứ tự ưu tiên ta đặt u = lnx
còn lại là dv.
Đặt
( )
2
3 2
1
ln
3 2
du dx
u x
x
dv x x dx
x x
v

=
=


1
3 2 3 2
1
1
6 4
ln
3 2 3 2
ln
3 2 9 4
5 3 13
9 4 36
e
e
e
e
x x x x
x dx
x x x x
x
e e
 
   
= + − +
 
 ÷  ÷
   
 
 
   
= + − +

dv dx
v x
−


= −
=
 
⇒
−
 
=



=

I
3
=
3
3
2
2
2
2 1
ln( )
1
x
x x x dx

1
ln x
dx
x
∫
(ĐHKD – 2008)
Giải:
Đặt
3
2
1
ln
1
2
u x
du dx
x
dx
dv
v
x
x

=
=


 
⇒
 

1
x
dx
x
+
+
∫
(ĐHKB – 2009)
I
5
=
( )
3
2
1
3 ln
1
x
dx
x
+
+
∫
=
( ) ( )
3 3
2 2
1 1
3 ln
3

1
x
dx
x +
∫
Đặt
2
1
ln
1
(1 )
1
u x
du dx
x
dx
dv
v
x
x

=

=

 
⇒
 
=
 

+ = + −
 ÷
+ + +
 
∫ ∫
3
1
ln3 3ln3
ln ln2
4 1 4
x
x
−
= + = −
+
Vậy I
5
=
3 3ln3
ln2
4 4
+ −
Ví dụ 6: Tính I
6
=
1
3
2 ln
e
x xdx

x
− = −
∫ ∫
Tính A =
1
ln
e
x xdx
∫
Đặt
2
1
ln
2
du dx
u x
x
dv xdx
x
v

=

=


⇒
 
=


x
⇒ =
Đổi cận x = 1, t = 0; x = e, t = 1
B =
1
1
2
0
0
1
2 2
t
tdt = =
∫
Do đó I
6
= 2
2
1
4
e +
-
3
2
=
2
2
2
e −
Ví dụ 7: Chẳng hạn: I

 
=



=


I
7
=
3 2
1
ln
e
x xdx
∫
4
2 3
1
1
1
(ln . ) ln
4 2
e
e
K
x
x x xdx= −
∫

=


=


K =
3
1
ln
e
x xdx
∫
4 3
1
1
(ln . )
4 4
e
e
x x
x dx= −
∫

4 4 4
1 3 1
4 16 16 16 16
e e e
 
= − − = +

2
u x
dx
dv
x
= +



=

+

. Kết quả:
1 4
ln2 ln
3 3
− +
2. Tính N =
2
1
( ln )
e
x x dx
∫
. Kết quả:
3
5 2
27
e −

.
Hướng dẫn đặt
2 2
3
3 2
2
3 3
ln( 1)
1 ( 1)( 1)
(2 1)
1
x x
du dx dx
u x
x x x x
dv x dx
v x x

= =

= +

+ + − +
⇒
 
= −


= − +


 
Do đó:
2 2
2
8
0
0 0
(2 1)cos (2 1)sin 2 sinI x xdx x x xdx
π π
π
= − = − −
∫ ∫
2 2
0 0
(2 1)sin 2cos 3x x x
π π
π
= − + = −
Nếu đặt ngược lại:
2
sin
cos
(2 1)
du xdx
u x
dv x dx
v x x
= −
=


Ví dụ 9: Tính I
9
=
2
2
0
sinx xdx
π
∫

Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu
tích phân là tích của hàm đa thức x
2
và hàm lượng giác sinx.
Đặt
2
2
cos
sin
du xdx
u x
v x
dv xdx
=

=

⇒
 

π
∫
đơn giản hơn I
9
nhưng vẫn còn là tích của hàm đa
thức và hàm lượng giác nên tiếp tục tính tích phân từng phần
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
 
⇒
 
= =
 
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 13 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
J =
2
0
cosx xdx
π
∫
=
2
2 2 2
0 0 0
0
sin sin sin cos 1

tích phân là tích của hàm đa thức x và hàm lượng giác nhưng ta phải tách ra
thành tổng hai tích phân.
I
10
=
3
2
0
1 sin
cos
x x
dx
x
π
+
∫
=
3 3
2 2
0 0
1 sin
cos cos
x x
dx dx A B
x x
π π
+ = +
∫ ∫
Tính A =
3

dv dx v
x x
= =
 
 
⇒
 
= =
 
 
B =
3
0
cos
x
x
π
-
3
0
1
cos
dx
x
π
∫
=
2
3
I

π π
= = −
− −
∫ ∫ ∫

=
3
2
0
1 1
ln ln(2 3)
2 1
t
t
−
− = − −
+
2
ln(2 3)
3
B
π
⇒ = + −
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 14 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Do đó I
10
=
2
3 ln(2 3)


⇒
 
= +
= −



Hoặc giải bằng cách tách thành tổng hai tích phân
I
11
=
4 4
0 0
sin 2xdx x xdx
π π
+
∫ ∫
=
2 2
4
0
2 32
x
I I
π
π
+ = +
Tính I =
4

0
0
sin 2
cos2 cos2 1
2 2 4 4
x
x x x
dx
π
π
π
− + = =
∫
Do đó I
11
=
2 2
1 8
32 4 32
π π
+
+ =
Ví dụ 12: Tính I
12
=
( )
2
2
0
2 1 osx c xdx

− = −
 ÷
 
∫ ∫
( )
2 2
0 0
1 1
2 1 os2xdx
2 2
x dx x c
π π
 
= − + −
 ÷
 
∫ ∫
• Tính :
2
2
2
0
1 1 1 1
2
2 2 2 2 4 2
0
x dx x x
π
π
π π



⇒
 
=
=



H =
( )
2
0
2 1 os2xdxx c
π
−
∫
=
( )
2
2 2
0 0
0
1 1
2 1 sin 2 sin2 cos2 1
2 2
x x xdx x
π
π π
− − = = −

sin x x dx
π
−
∫
Giải:
Đặt
( )
1
2
2
1
sin3 sin
cos3 cos
3
x
du dx
u
dv x x dx
v x x


=

=
 
⇒
 
 
= −
= − +

− = −
 ÷
 
GV chốt lại từ ví dụ 8 đến ví dụ 13 là tích phân của tích hàm đa thức và
hàm lượng giác ta đặt u là hàm đa thức và dv là hàm lượng giác vì nếu đặt ngược
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 16 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
lại khi áp dụng công thức
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
thì
b
a
vdu
∫
sẽ phức tạp hơn
b
a
udv
∫
và
dĩ nhiên là tính tiếp không được.
Bài tập tự luyện:
1.
2
0

K dx
x
π
=
+
∫
Kết quả:
1
ln2
8 4
π
−
4.
6
2
0
sin cosL x x xdx
π
=
∫
Kết quả:
3 11
48 72
π
−
+
Ví dụ 14: Tính I
14
=
( )

=
=




Do đó:
( ) ( )
1
1
2
14
0
0
1 2 1
x x
I x e x e dx= + − +
∫
Tiếp tục tính tích phân từng phần
( ) ( )
1
1 1
0 0
0
1 1
x x x
x e dx x e e e+ = + − =
∫
Vậy I
14

 
⇒
 
=
=




Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 17 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Do đó I
15
=
2
1
3
0
x
x e dx
∫
=
2 2 2
1 1
1
2
0 0
0
1 1 1 1
2 2 2 2

=
=



Do đó
I
16
=
0
0
0
2 2 2
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1
.2 2 2
ln2 ln 2 2.ln 2 ln 2 2.ln2 ln 2 2.ln 2
x x x
x dx
−
−
−
− = − = − +
∫
Giáo viên chốt lại từ ví dụ 14 đến ví dụ 16 biểu thức dưới dấu tích phân là tích
của hàm đa thức và hàm mũ nên ta đặt u là hàm đa thức, dv là hàm mũ
Bài tậptự luyện: 1.
2

2 2
0
( 1).
x
x e dx+
∫
. Hướng dẫn tích phân từng phần 2 lần Kết quả
2
3 3
2
e −
3.
ln3
0
1
x
x
xe
dx
e +
∫

Hướng dẫn: Ñaët
2 1
1
x
x
x
u x
du dx

∫
Gi ải:
Đặt
cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x
 
= =
⇒
 
= =
 
Do đó
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 18 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
I
17
=
2
2
0
0
.sin sin
x x
e x e xdx
π
π
−
∫

∫
Vì vậy: I
17
=
2
2
0
0
.sin sin
x x
e x e xdx
π
π
−
∫
=
2
0
.sin
x
e x
π
−
2
2
0
0
( .cos cos )
x x
e x e xdx

x
e xdx
π
∫
Kết quả:
2
1
2
e
π
+
2.
2
2
0
.cos3
x
e xdx
π
∫
Kết quả:
3 2
13
e
π
− −
3.
2 2
0
.sin

− − =

c.
2 2
2 2 15
x x+ −
− =
d.
6 3
3. 2
x x
e e− = −
e.
( )
( )
2
2 2
log 6 log 3 6x x− = −
f.
2 1
2
2
2log log log 9x x x+ + =
g.
( )
( )
2
log 3 log 6 10 0
2 2
1x x− − =

x−
=
 
 ÷
 

3 1
33
x− +
=⇔
0,25 điểm
13 1x =⇔ − +
0,25 điểm
0x⇔ =
0,25 điểm
Vậy nghiệm của phương trình x= 0 0,25 điểm
b.
1
9 8.3 1 0
x x−
− − =

3
9 8. 1 0
3
x
x
⇔ − − =
0,25 điểm
3 3

0,25 điểm
2
(2 ) .4 15.2 4 0
x x
⇔ − − =
0,25 điểm
2 4
1
2 ( )
4
x
x
ptvn

=

⇔

= −


0,25 điểm
2x⇔ =
Vậy nghiệm của phương trình x =2 0,25 điểm
d.
6 3
3. 2
x x
e e− = −
3

x

=


=


⇔
0,25 điểm
Vậy nghiệm của phương trình x = 0, x =
ln2
3
0,25 điểm
e.
( )
( )
2
2 2
log 6 log 3 6x x− = −
Điều kiện:
6x >
0,25 điểm
Pt
2
6 3 6x x⇔ − = −
0,25 điểm
0
3
x

2
log 3 log 6 10 0
2 2
1x x− − =− +
Điều kiện:
3x >
0,25 điểm
Pt:
2
log
2
3
1
6 10
x
x
−
= −
−
0,25 điểm
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 21 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
2
3 1
6 10 2
x
x
−
⇔ =
−

2
log 1
1
log
2
x
x
=


⇔

= −

0,25 điểm
2
1
2
x
x
=


⇔

=

So sánh điều kiện nghiệm của phương trình x = 2, x =
1
2

2 3 1x x⇔ − ≤ −
0,25 điểm
2
2 3 1 0x x⇔ − + ≤
1
1
2
x⇔ ≤ ≤
0,25 điểm
Vậy nghiệm của bất phương trình
1
;1
2
x
 
∈
 
 
0,25 điểm
b.
( )
log log 2 log 3
5
0,2 0,2
x x− − <
Điều kiện x > 2 0,25 điểm
( )
log log 2 log 3
5
0,2 0,2

0,25 điểm
PHỤ LỤC
ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG
Tính các tích phân
a.
( )
3
1
4 1 lnx xdx+
∫
(2,5 điểm) b.
1
3
0
x
xe dx
∫
(2,5 điểm)
c.
2
0
(4 5)sin 2x xdx
π
+
∫
(2,5 điểm) d.
2
1
1
.ln

⇒
 
= +


= +

0,75 điểm
A
3
3
2 2
1
1
1
(2 )ln (2 )x x x x x dx
x
= + − +
∫
0,75 điểm
3
3
2
1
1
(2 )ln (2 1)x x x x dx= + − +
∫
0,5 điểm
3 3
2 2

⇒
 
=
=



0,75 điểm
B
1
1
3 3
0
0
1 1
3 3
x x
xe e dx= −
∫
0,75 điểm
1
1
3 3
0
0
1 1
3 9
x x
xe e= −
0,5 điểm

 
=
= −



0,75 điểm
C
2
2
0
0
1
(4 5)cos2 2 cos2
2
x x xdx
π
π
= − + +
∫
0,75 điểm
2 2
0 0
1
(4 5)cos2 sin2
2
x x x
π π
= − + +
0,5 điểm

ln
e
x xdx
∫
Đặt:
2
1
ln
2
du dx
u x
x
dv xdx
x
v

=

=


⇒
 
=


=


0,25 điểm

Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 24 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Tính I
2
=
1
ln
e
x
dx
x
∫
Đặt t = lnx
1
dt dx
x
⇒ =
0,25 điểm
Đổi cận x = 1, t = 0; x = e, t =1 0,25 điểm
I
2
=
1
1
2
0
0
1
2 2
t