Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
ĐỀ TÀI
:
PHƯƠNG PHÁP DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
A. NHẬN THỨC CŨ- GIẢI PHÁP CŨ:
Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chương
trình đại số 9 ,phương trình vô tỷ là một dạng toán khó. Khi gặp các phương trình
có chứa căn tương đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và
hay mắc sai lầm khi giải Có những phương trình không thể giải bằng các
phương pháp quen thuộc. Khi gặp phương trình vô tỷ , học sinh thường chỉ quen
một phương pháp là nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhưng trong quá
trình giải sẽ thường mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tương đương
phương trình ,vì vậy dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phương trình
sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm
để đưa về phương trình bậc nhất, bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học
sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra lời giải .
B. NHẬN THỨC MỚI – GIẢI PHÁP MỚI
I. Nhận thức mới:
Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỷ ,
giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và
kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi
phương trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách
giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hướng dẫn
học sinh đặt đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết
phân dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đường lối tư duy cho học sinh
thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao
hiệu quả giáo dục .
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường


B
A
*



=
≥
⇔=
BA
A
BA
0
*
00 ==⇔=+ BABA
B. Cung cấp cho học sinh các phương pháp thường dùng để giải phương
ttrình vô tỷ .
PHƯƠNG PHÁP 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương
trình( thường dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc).
Ví dụ: Giải phương trình

23151 −=−−− xxx
(1)
+ Ở phương trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để
nguyên hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên
cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học
sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2:
a = b
⇔
a

2
+−=− xxx
(*)
Ta lại gặp phương trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình
phương tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay chưa.

⇔

)21315(449144
22
+−=+− xxxx
042411
2
=+−⇔ xx

0)2)(211( =−−⇔ xx




=
=
⇔
2
11
2
x
x
Và trả lời phương trình (*) có 2 nghiệm :
2;

3
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
C
1
: Sau khi tìm được
11
2
=x
và
2
=
x
thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô
nghiệm.
( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phương trình đã cho là tương đối
phức tạp )










≥
≥⇔≥
≥
2

x
nên phương trình (1)vô nghiệm
C
3
: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình .
Điều kiện của (1) :
1
≥
x
do đó
1511515 −<−⇒−<−⇒< xxxxxx
Vế trái <0. VP
≥
0 nên phương trình (1) vô nghiệm .
Sau đó tôi ra một số bài tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải.
Bài tập tương tự : Giải phương trình
a)
24314 −=+−+ xxx
b)
31212 +−−=+−− xxxx
Ví dụ 2: Giải phương trình :

271
33
=−++ xx
(2)
Ở phương trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc
lập phương hai vế :
Chú ý: + ở căn bậc lẻ:
12 +n

87.137.1371
2
33
2
3
=−++−++−++ xxxxxx
(**)
Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn
rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:
( a+b)
3
=a
3
+b
3
+3a
2
b+3ab
2
=a
3
+b
3
+3ab(a+b)
Vậy (**) có thể viết :

( )
871.)7)(1(371
33
3

nghiệm ngoại lai.
Bài tập tương tự : Giải phương trình :
a)
333
511 xxx =−++−
b)
42312
33
=−++ xx
c)
333
101212 xxx =++−
( Đề thi vào toán tin -2000)
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

5
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
PHƯƠNG PHÁP 2 : Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu
giá trị tuỵêt đối.
Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết
được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức :

AA =
2
để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản
Ví dụ: Giải phương trình :

532813232222 =−+++−+− xxxx
(3)





≥
≥−
⇔≥−− x
x
x
x
Thì
43283225432132 =−⇔=−⇔=−−++− xxxx
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

6
( ) ( )
*)*(*;5432132
5432132
5164.322)32(1322)32(
22
=−−++−⇔
=−−++−⇔
=+−−−++−+−⇔
xx
xx
xxxx
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Giải ra
2

Giải: (***)
5324132
5432132
=−−++−⇔
=−−++−
xx
xx
Ta có:
5324132324132 =−−++−≥−−++− xxxx
Vậy:
5324132 =−−++− xx
Khi
( )( )
0324132 ≥−−+− xx





≥
≥−−
⇔
2
3
0324
x
x
Giải ra:
2
19

2
x
+6x+12+
23
2
++ xx
=9 (4)
-Nhận xét:+ ở phương trình này nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về một phương
trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó
+ Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan :
2x
2
+6x+12=2(x
2
+3x+2)+8
Hướng giải:+ Đặt ẩn phụ là y=
23
2
++ xx
+ Chú ý: Đối với ĐK: x
2
+3x+2
0
≥
có thể giải được nhưng với những
bài toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại
xem có thoả mãn ĐK hay không
Giải: ĐK: x
2
+3x + 2

2
+y -1=0
Giải ra:y
1
=1/2 ( Thoả mãn ĐK); y
2
=-1( Loại)
Thay vào:
23
2
++ xx
=1/2
⇔
x
2
+3x+2=1/4
Giải ra:x
1
=
2
23 +−
; x
2
=
2
23 −−

Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường


HD: Ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt :
ux =+1
;
Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phương trình để đưa về phương
trình ẩn u.
Giải: ĐK : -1
1
≤≤
x
;
C1: Đặt:

[ ]
)1(2)12()1()1(2)12)(1()5(
1
)20(
1
222
2
+−+−−⇔−=+−−⇔
−=⇒
≤≤
=+
uuuuuu
ux
u
ux




+=−
≥+
⇔
+=+−
uu
uu
u
uu
Giải ra:
(1
1
−=u
loại);
25
24
1
5
1
5
1
2
2
−=−





: Giải phương trình:
xx −=− 22
2
(6)
Nhận xét:- Nếu bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô
tỷ.Vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ nhưng chưa đưa được về phương trình chỉ chứa một
ẩn. -Hãy tìm cách đưa về một hệ phương trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm
mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đ ưa về phương trình đơn giản.
Giải: ĐK:



≥−
≥−
02
02
2
x
x

Đặt:
2
22 yxxy −=⇒−=
;Ta có hệ:





=−

+ Nếu1-x=y ta có phương trình:
xx −=− 12
giải ra:
2
51−
=x
( Thoả mãn điều
kiện)
Vậy phương trình (6) có 2 nghiệm
2
51
;1
21
−
== xx
VD
4
: Giải phương trình:

20062006
2
=++ xx
Cách 1: Đặt
yx =+ 2006
ta có hệ phương trình






phương trình đối xứng.
Cách 2: Đưa 2 vế về cùng bậc:






+−=+
−+=+
⇔






−+=






+⇔
++−+=++
2006
2
1
2

12 −= xy
ta có hệ :





=+
=+
xy
yx
21
21
3
3
b)
14122
2
+=++ xxx
; HD : Đặt ẩn phụ
xxy +=
2
c)
15932764
22
=+++++ xxxx
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

11



=+
=+
1
1
33
vu
vu
giải ra
2;1;0
321
−=== uuu
Từ đó:
10;2;1
321
=== xxx
( thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình (7) có 3 nghiệm:
10;2;1
321
=== xxx
VD2: Giải phương trình:
312
3
=++− xx
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Đặt
bxax =+=− 1;2
3

+=+
=+
bavu
cvu
mn
hoặc



−=−
=+
bavu
cvu
mn
Giải hệ này tìm u, v sau dó tìm x
VD
3
: Giải phương trình:

( ) ( )
( )
0191313
3
2
3
2
3
2
=−+−++ xxx
(9)


−=
=
1
1
v
u
vậy ta có:

0
113
113
3
3
=⇒





=−
=+
x
x
x
Vậy (9) có nghiệm x=0
Bài tập tương tự: Giải phương trình :
a)
1
2

Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

13
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
+ Tìm mối quan hệ giữa x
2
+2 và x
3
+1
x
2
+2 =(x
2
-x+1)+(x+1)
+ Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ:
1;1
2
+−=+= xxbxa
và tìm mối quan hệ a, b từ
đó tìm x
Giải:
ĐK :
1
−≥
x
)1)(1(5)1(2
22
+−+=+ xxxx
Đặt

ab
ba
2
2
* Với a= 2b ta có:
121
2
+−=+ xxx







−
=
+
=
⇒
=−−⇔
2
375
2
375
035
2
1
2
x

2
;
Ta có PT:
0))(13(3)13(
2
=−−⇔+=+ abbbaba
Giải ra:




=
=
3
1
b
ab





+=+
=+
⇔
932
3
1
9
2

+=+− xxx

b)
1635233132
2
−+++=+++ xxxxx
Hướng dẫn:Nhận xét:
352)1)(32(
3
++=++ xxxx
Đặt :
4343
01;032
22222
−+=⇒+=+⇒
≥+=≥+=
vuxxvu
xvxu
Nên ta có phương trình:
020)()(220
222
=−+−+⇔+−+=+ vuvuuvvuvu
Đặt: u+v=t. Ta có phương trình: t
2
-t-20=0
Giải ra:



−=

Ta có hệ :



−=−
+=+
2222
tzvu
tzvu
Từ đó suy ra:
3212
22
++=−⇒= xxxtu
Giải ra : x=-2
Thay vào thoả mãn phương trình đã cho , Vậy phương trình có nghiệm x=-2
( Phương pháp này tôi thấy hay và độc đáo , từ đó GV có thể đặt nhiều đề toán đẹp)
Bài tập tương tự: Giải phương trình
200220052003220062004200520052006
2222
−++−+=−−+− xxxxxxx
PHƯƠNG PHÁP 4 : Đưa về dạng : A
2
+ B
2
= 0 hoặc A.B=0
ở phương pháp này ta sử dụng A
2
+ B
2
= 0 <=> A = B = 0 ; A.B =0

2
2
x
x
xx
xxxx
xxx
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

16
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Giải ra x=-1
Ví dụ 2: Giải phương trình:

14122
2
+=++ xxx
Nhận xét:
+ Ở phương trình này ta có thể đặt ẩn phụ y = x
2
+ x từ đó đưa về hệ phương trình
đối xứng:





+=
+=

( Đề thi học sinh giỏi huyện 2005)
HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức:
)1()1(435 xxx −−+=+
; PT trở thành:
0)115()1(
011)12(0112)1()12(
22
=−++⇔
=+−−+⇔=−+++−−+
xx
xxxxxx
Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK)
Ngoài ra ta có thể đặt:
bxax =−=+ 1;1
; ta có hê:




=−+−
=+
042
2
22
22
baba
ba
; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm được x
Bài tập tương tự : Giải phương trình
5

x
(`11)
Giải: ĐK:
4
1
>x
;Sử dụng bất đẳng thức:
2≥+
a
b
b
a
với a, b > 0 dấu “=” xảy ra khi
và chỉ khi a=b Ta có:
2
14
14
≥
−
+
−
x
x
x
x
Do đó (11)
14 −=⇔ xx
Giải ra:
32 ±=x
thoả mãn điều kiện

5)1(524
22
≤+−=−− xxx
Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó
101
−=⇒=+
xx
Kết luận pt (12) có một nghiệm x=-1
BT tương tự: Giải phương trình
a)
222
2414105763 xxxxxx −−=+++++
b)
186
116
156
2
2
2
+−=
+−
+−
xx
xx
xx
VD
3:
Giải phương trình:

271064

-10x+27=2 (1)
264 =−+− xx
(2)
Giải (1) ta được x=5 thay vào (2) ta thấy 2 vế bằng nhau. Vậy phương trình có
nghiệm x=5
BT tương tự : Giải phương trình
a)
3111
44
4
2
=−+++− xxx
(HD: áp dụng BĐT cô si)
b)






+−=−+−
x
x
x
x
1
4
1
22
2

m và h(x)
≤
m
thì nghiệm của pt là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra
+ Áp dụng BĐT Côsi và Bunhiacôpxki
PHƯƠNG PHÁP 6: Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải pt:
1235
3
46
=−−− xx
Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phương pháp trên đều khó giải được nên suy nghĩ để tìm
cách giải khác.
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

19
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ
Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của pt
+ Chứng minh nghiệm duy nhất
Giải: Nhận thấy
1=x
là một nghiiệm của pt
+ Xét
1>x
thì
1235
123
25
123

1<x
ta có:
1235
123
45
3
46
4
6
>−−−⇒





<−
>−
xx
x
x
nên pt vô nghiệm
Vậy pt có 2 nghiệm x=-1 và x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình:

181
3
35
+−=++− xxx
Giải: Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phương trình
+Nếu x<0 thì

Trên đây tôi đã trình bày cách nhận dạng và các phương pháp giải phương trình
vô tỷ. Trước khi giải học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ đễ đến khó để tìm ra
phương pháp phù hợp để giải. Sau đó học sinh sẽ giải các bài tập tương tự cùng
dạng, và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phương pháp giải .
Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng
dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư duy ,hướng giải và phát triển bài toán
.Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợp
cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề . Và tôi tin chắc rằng toán
học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh .
Với kinh nghiệm nho nhỏ như vậy tôi xin được trao đổi cùng các đồng
nghiệp.Tôi rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và các thầy cô
đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy .
Diễn Châu ngày 25 tháng 5 năm 2005
Người thực hiện
Hoàng Thị Bích Lai
Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –
Trường THCS Diễn Trường

21