Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
1. ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản :
<1>. Xác định 1 điểm và 1 VTPT
<2>. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D.
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x
0
; y
0
;z
0
) và có VTPT
n
r
=(A;B;C)
A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
⇔
Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x
0
; y
0
;z
0

- Từ (d)
⇒
VTCP
u
r
d =
(A;B;C)
- Vì (P) vuông góc với (d)
⇒
Chọn VTPT
n
r
P
=
u
r
d
=(A;B;C)
⇒
Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt
n
r
P
.
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và
⊥
(Q) ,
⊥
(R)
- Từ pt mp (Q) và (R)

n
r
R
⇒
Chọn
n
r
P
= [
n
r
Q;

n
r
R
]
- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT
n
r
P
= [
n
r
Q;

n
r
R
]

]
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và
⊥
(Q)
- Tính
AB
uuur
, vtpt
n
r
Q
và tính [
AB
uuur
,
n
r
Q
]
- Vì A, B
∈
(P) ; (Q)
⊥
(P) nên chọn
n
r
P
=[
AB
uuur

⊥
(Q) và // (d) nên VTPT
n
r
P
= [
u
r
d
,
n
r
Q
]
- Từ đó viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
- Tình trung điểm I của ABvà
AB
uuur
- Mp (P) đi qua I và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP
u
r
d
của đường thẳng (d) và tìm điểm M
∈

u
r
d
và điểm M
∈
(d)
- Từ (
∆
)
⇒
VTCP
u
∆
r
và tính [
u
r
d
,
u
r
∆
]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT
n
r
= [
u
r
d

r
Q
]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT
n
r
=[
u
r
d
,
n
r
Q
].
Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt của mp (Q) , trong đó D
≠
D
Q
)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
r
P
= (A,B,C) với đk là A

0
) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc
α
≠
90
0
Trang 2
Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
r
P
= (A,B,C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
- Từ (d)
⇒
VTCP
u
r
d
và điểm M
∈

+ C
2
>0
- Từ (d)
⇒
VTCP
u
r
d
và điểm M
∈
(d)
- Vì d
⊂
(P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- Tính sin ((P),(
∆
)) (2)
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P).
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất
- Gọi H là hình chiếu

2 r
π
và diện tích S =
2
r
π
tính r.
- d(I,(P)) =
2 2
R r−
(1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D'
≠
D
Q
)
- Suy ra d (I,(P)) (2)
⇒
Giải hệ (1), (2) tìm được D'
⇒
viết được pt (P).
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
r
P
= (A;B;C) với đk là A
2

⇒
PT mp(P).
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán
kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C =
2 r
π
và diện tích S =
2
r
π
tính r.
- Vì d
⊂
(P)
⇒
u
r
d.

n
r
P
=0 (1)
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
r
P
= (A,B,C) với đk là A

⊥
của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IK
≤
Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max
⇔
AK = AH
⇔
K
≡
H
- PT mp(P) đi qua H và nhận
IH
uuur
làm VTPT
2. ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x
0
; y
0
;z
0
) và có VTCP
u
r
=(a,b,c)
PP: phương trình tham số của đường thẳng d là:
(d):

uuur
Trang 4
Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận
AB
uuur
làm VTCP
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng (
∆
)
- Từ pt(
∆
)
⇒
VTCP
u
r
∆
- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận
u
r
∆
làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và
⊥
(P)
- Tìm VTPT của mp(P) là
n
r
P

- Vì (d)
⊥
(d
1
),(d
2
) nên có VTCP
u
r
d=
[
1
u
uur
,
2
u
uur
]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP
u
r
d=
[
1
u
uur
,
2
u

]
- Xét hệ
'
' ' '
Ax + By + Cz +D =0
A 0x B y C z D



+ + + =


.
Chọn một nghiệm (x
0
; y
0
;z
0
) từ đó
⇒
M
∈
d
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP
u
r
d
=[
n

* Tìm B =
2
( ) d
α
I
* Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng (
α
) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d
1
Trang 5
Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
- Viết pt mặt phẳng (
β
) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d
2
- Đường thẳng cần tìm d =
α β
I
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d
1
và cắt cả d
2
, d
3

- Viết phương trình mp (P) song song d
1
và chứa d
2

β
qua A và chứa d
1
* Đường thẳng cần tìm d =
α β
I
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp
( )
α
, cắt đường thẳng d'
Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với
( )
α
- Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'
- Đường thẳng cần tìm d =
( ) ( )P QI
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với
( )
α
* Tìm B =
( ) 'P dI
* Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d
1
, d
2
cho trước.
- Tìm giao điểm A=d
1
( )PI

' ' '
0 0 0 2
( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d+ + + ∈
là các chân đường vuông góc chung của d
1
, d
2
Trang 6
Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz www.PNE.edu.vn
- Ta có hệ
1
1
2
2
. 0
, '
. 0
MN d
MN u
t t
MN d
MN u

⊥
=


⇒ ⇒
 
⊥


- Tìm giao điểm B =
1
( ) d
α
I
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d
1
,tạo với d
2
góc
0 0
(0 ;90 )
α
∈
(= 30
0
, 45
0
, 60
0
)
* Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + >
r
* Vì
1
1

α
=
r r
r r
)
Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d
1
góc
0 0
(0 ;90 )
α
∈
.
- Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + >
r
- Vì d//(P) nên
. 0
p
u n =
r r
=> phương trình (1).
- Vì
1
1
1
.
( , )
.

r r
=> phương trình (1).
- Vì
1
1
1
.
( , )
.
u u
cos d d cos
u u
α
= =
r r
r r
nên có phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp
( ; ; )u a b c=
r
Trang 7
Phng phỏp ta trong khụng gian Oxyz www.PNE.edu.vn
Dng 20: Vit ptt d di qua A , vuụng gúc d
1
v khong cỏch t M n d bng h.
* Gi VTCP ca d l
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c= + + >
r