T×m tËp hîp ®iÓm trong ch¬ng tr×nh THCS
§inh V¨n Tíc TrêngTHCS Gia Phong - Gia ViÔn - Ninh B×nh
1
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Mục lục
Mục lục..........................................................................................................
A. Lời nói đầu...............................................................................................
B. Nội dung.................................................................................................
Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm...............................
1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích).........................................................
2. Phơng pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm.....................................
3. Phơng pháp giới hạn tập hợp điểm........................................................
4. Một vài phơng pháp khác giải bài toán quỹ tích...................................
Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản................................................................
I. Tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng......................
1.Tập hợp điểm là đờng trung trực hoặc một phần đờng trung trực.......
2. Tập hợp điểm là tia phân giác..................................................................
3. Tập hợp điểm là hai đờng thẳng song song...........................................
4. Tập hợp điểm là một đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc..
5. Tập hợp điểm là đờng thẳng hợp với đờng thẳng cố định một góc không
đổi........................................................................................................
II. Tập hợp điểm là đờng tròn hoặc một phần của đờng tròn.....................
1. Tập hợp điểm là đờng tròn .......................................................................
2. Tập hợp điểm là cung tròn.........................................................................
Phần III. ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán.....................................
Phần iv. Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm.......................................
I. Các bài toán tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần của đoạn thẳng
Ii. Các bài toán tập hợp điểm là đờng tròn hoặc một phần của đờng tròn.
C. Thực nghiệm.............................................................................................
Phần IV. Kết luận.........................................................................................
Phần V. Phụ lục.............................................................................................

con ngời, ảnh hởng đến các môn khoa học khác. Một nhà t tởng Anh đã nói: Ai
không hiểu biết Toán học thì không thể hiểu biết bất cứ khoa học nào khác và
cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình. Vì thế dạy học môn
toán luôn đợc mọi ngành giáo dục và mọi quốc gia coi trọng. Nhất là trong thời
đại ngày nay.
Trong dạy và học toán ở cấp học THCS có lẽ dạy và học môn hình học là
khó hơn cả. Đa phần học sinh khi đợc hỏi: Em có thích học môn hình học
không? Vì sao? , đều trả lời: em không thích, vì môn này khó hiểu, khó học .
Đặc biệt khi đứng trớc yêu cầu giải bài toán về tìm tập hợp điểm (quỹ tích) thì
nhiều học sinh có tâm trạng lo sợ, ngại vì khó. Khái niệm quỹ tích của hình học
phẳng là cơ sở quan trọng của toán cao cấp nhng đối với học sinh THCS khái niệm
này trừu tợng, số lợng sách nói về quỹ tích không nhiều, không đủ cho học sinh
hiểu, nếu có cũng chỉ là giới thiệu vì cho rằng đây là vấn đề dành cho học sinh khá
và giỏi. Hơn nữa, nếu nh ở bài toán chứng minh hình học thông thờng đề bài đã
cho biết kết luận rồi, chẳng hạn nh bài toán yêu cầu chứng minh : tứ giác nội tiếp,
hai đờng thẳng song song, hai góc bằng nhau.... vì thế học sinh đã biết đợc cái
đích cần đạt đợc, chỉ cần tìm con đờng đi tới đích là đợc. Trái lại, ở bài toán tìm
tập hợp điểm học sinh nh ngời đi trong bóng tối, mù mịt, băn khoăn, cha biết tập
hợp điểm cần tìm là gì, nên hớng về đâu, đi theo con đờng nào và đi đến kết luận
nào mới đúng.
Tuy nhiên, bài toán về tập hợp điểm (quỹ tích) góp phần không nhỏ vào
việc phát triển t duy logic, rèn óc sáng tạo, hình thành và phát triển nhân cách cho
học sinh, rèn luyện cho học sinh khả năng phán đoán chính xác, khả năng phân
tích, tổng hợp... góp phần tích cực vào việc thực hiện mục tiêu mà ngành giáo dục
đặt ra cho môn toán và mục tiêu chung của giáo dục. Vì thế tập hợp điểm là vấn đề
thờng gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 ở cấp huyện, thành phố và
quốc gia, thi tuyển vào lớp 10 ở các trờng chuyên, trờng năng khiếu.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
3
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS

Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H
b. Giới hạn:
Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M chỉ thuộc vào hình H,
hoặc một phần B của hình H (nếu đợc)
Vẽ B và H
c. Phần đảo:
Chứng minh mọi điểm thuộc hình H (quỹ tích đã đợc giới hạn) có tính chất T. Th-
ờng làm nh sau:
+ Lấy điểm M thuộc hình H (quỹ tích đã đợc giới hạn), giả sử tính chất T
gồm n điều kiện (1; 2; 3; ...; n)
+ Dựng một hình để chứng minh M có tính chất T sao cho M thoả mãn
n-1 điều kiện trong tính chất T
+ Chứng minh M có thoả mãn điều kiện còn lại
d. Kết luận:
Tập hợp điểm M là hình H
Nêu rõ hình dạng và cách xác định hình H.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
5
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Chú ý:
- Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố
chuyển động là khâu chủ yếu giúp ta giải quyết bài toán tập hợp điểm.
- Nếu bài toán chỉ hỏi Điểm M chuyển động trên đờng nào? thì ta chỉ
trình bày phần a.; b; d; ( không chứng minh phần đảo)
- Giải bài toán tập hợp điểm thờng là tìm cách đa về tập hợp điểm cơ bản đã
học
- Để khỏi vẽ hình lại khi chứng minh phần đảo tên các điểm trong phần đảo
nên giữ nguyên nh phần thuận.
3. Phơng pháp giới hạn tập hợp điểm.
Trong trờng hợp tập hợp điểm cần tìm chỉ là một phần B của hình H là tập

2- Bằng phơng pháp đại số:
Chọn hệ trục toạ độ vuông góc Oxy. Gọi M (x;y) là điểm thuộc tập hợp
điểm cần tìm. Tìm mối liên hệ giữa x và y, hệ thức này chính là phơng trình chứa
tập hợp điểm M cần tìm.
Nếu hệ thức có dạng y= ax + b hoặc: x = a và y R ( a, b là hằng số) hoặc
những hệ thức tơng tự thì M thuộc đờng thẳng. Trái lại, thì M có thể thuộc đờng
cong.
Tuy nhiên phơng pháp chủ yếu đối với chơng trình THCS thì vẫn là phơng
pháp đã trình bày ở trên.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
7
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản
I/ Tập hợp điểm là đờng thẳng hoặc một phần đờng thẳng
1.Tập hợp điểm là đờng trung trực hoặc một phần đờng trung
trực
a. Tóm tắt lí thuyết:
Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt
A, B cố định là đờng trung trực d của đoạn thẳng AB
b. Các bài toán:
Bài toán 1:
Cho hình vuông ABCD, Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng
sao cho : MA +MB = MC +MD
Hớng dẫn giải
a. Phần thuận:
Dựng đờng thẳng d đi qua tâm O của
hình vuông và d // AB, DC. Khi đó d là đờng
trung trực của AD và của BC .
Ta thấy, với mọi điểm M không thuộc
đờng thẳng d thì ta có: MA + MB MC + MD:

tập 6 trang 82 SGKHH7-NXBGD-1996)
Hớng dẫn giải:
a. Phần thuận:
OAB có Ô = 90
0
, OM là trung tuyến nên
OM = MA = MB =
2
AB
MO = MB, mà O và B cố định. Do đó M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng
OB.
b. Giới hạn quỹ tích:
Khi A O, thì M M ( M là trung điểm của OB )
Khi điểm A chạy trên tia Ox ra xa O vô tận thì M chạy ra xa M vô tận trên
tia Mz.
Vậy M thuộc tia Mz,với tia Mz thuộc đờng thẳng trung trực của đoạn
thẳng OB và thuộc miền trong góc xOy.
c. Phần đảo
Lấy điểm M bất kì thuộc tia Mz, kẻ BM cắt tia Ox tại A. M thuộc trung trực
của đoạn thẳng OB MO = MB MOB = MBO (1). (góc MOB bằng góc
MBO)
Mặt khác OAB có AOB = 90
0
nên MBO + MAO = 90
0
(2) và BOM +
MOA = 90
0
(3)
Từ (1), (2), (3) MAO = MOA MO = MA

BC
ABC có Â = 90
0
, AM là trung tuyến nên
AM =
2
1
BC OM = AM
Mà hai điểm O và A cố định, nên M thuộc trung trực của đoạn thẳng AO
b. Giới hạn :
Khi B O thì M M
1

( M
1
là giao điểm của đờng trung trực OA với tia Oy)
Khi C O thì M M
2
( M
2
là giao điểm của đờng trung trực OA với tia Ox)
Vậy M thuộc đoạn thẳng M
1
M
2
của đờng trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm
trong góc xOy.
c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc đoạn thẳng M
1

M
2
thuộc đ-
ờng trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc vuông xOy ( với M
1
, M
2
là
giao điểm của đờng trung trực của đoạn thẳng OA với tia Ox và tia Oy)
2. Tập hợp điểm là tia phân giác
a. Tóm tắt lý thuyết:
Định lí:
Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy
(khác góc bẹt) và cách đều hai cạnh
của góc là tia phân giác của góc đó.
Hệ quả:
Tập hợp các điểm M cách đều hai đờng thẳng
cắt nhau xOx và yOy là bốn tia phân giác
của bốn góc tạo thành, bốn tia này tạo thành
hai đờng thẳng vuông góc với nhau tại
giao điểm O của hai đờng thẳng đó.
b. Các bài toán:
Bài toán 1:
Cho một góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển
động trên tia Oy. Tìm tập hợp các điểm C sao cho ABC vuông cân tại C.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
11
z
y
x

. Xét CAH và CBK có: CHA = BKC ( = 90
0
); CH = CK ;
ACH= BCK ( hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc), do đó CAH =
CBH (góc- cạnh góc) CA = CB
ABC vuông tại C, có CA = CB ABC vuông cân tại C.
d. Kết luận:
Tập hợp các điểm C là tia Cz của tia phân giác Oz của góc xOy.
Bài toán 2:
Cho hai đờng thẳng cắt nhau tại điểm A. Tìm tập hợp tâm các đờng tròn tiếp
xúc với hai đờng thẳng đó.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
12
y
O
K
B z
x
C
H
A
C
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Hớng dẫn giải:
a. Phần thuận:
Gọi xx và yy là hai đờng thẳng cắt nhau tại A. Đờng tròn (O, R) tiếp xúc
với hai đờng thẳng tại B và C ( B xx, C yy)
Ta có OB xx; OC yy; OB = OC (= R)
O thuộc hai đờng thẳng cắt nhau
zAz và tAt, là bốn tia phân giác

x
y x
y
t
t
z
z
B
C
O
O
y
x
z
M
I
J
A
B
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
a. Phần thuận:
Kẻ MI Oy; MJ Ox.
Diện tích MOA:
S

MOA

=
2
1

MOA
/ S

MOB
=
2
1
.
MI
MJ

MI
MJ
= 1 MJ = MJ M thuộc tia phân giác Oz của góc xOy.
b. Giới hạn
Để tồn tại tỉ số
OB
OA
thì OB , OA khác 0 M khác O.
Khi A, B chạy xa O vô tận trên hai tia Ox, Oy thì M chạy xa vô tận trên tia
Oz.
Vậy điểm M thuộc tia phân giác Oz của góc xOy ( trừ điểm O)
c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia phân giác của góc xOy M khác O; trên Ox lấy
điểm A; trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB = 2OA; kẻ MI Oy; MJ Ox (J
Ox; I Oy)
Diện tích MOA: S

MOA


Mà MI = MJ ( M thuộc tia phân giác của góc xOy) , OB = 2 OA,
nên S

MOA
/ S

MOB
=
2
1
.
d. Kết luận
Tập hợp điểm M cần tìm là tia phân giác Oz của góc xOy, loại trừ điểm
3. Tập hợp điểm là hai đờng thẳng song song
a. Tóm tắt lý thuyết:
Định lý:
Tập hợp các điểm M cách đờng thẳng
h cho trớc một khoảng bằng a ( a > 0)
cho trớc là hai đờng thẳng song song với đờng thắng đã cho và cách đờng
thẳng đó bằng a.
b. Các bài toán:
Bài toán 1:
Cho ABC, điểm D chuyển động trên BC. Vẽ DE song song với AC; DF
song song với AB (E AB; F AC). Tìm tập hợp điểm O là trung điểm của EF.
Hớng dẫn giải:
a. Phần thuận:
Vì DE // AB; DF // AC tứ giác AEDF là
hình bình hành suy ra trung điểm O của
đờng chéo EF cũng là trung điểm của
đờng chéo AD.

AH
b. Giới hạn:
Khi D B thì O M ; khi D C thì O N
Vậy điểm O di động trên đờng trung bình MN của ABC
c. Phần đảo:
Lấy O bất kỳ thuộc đờng trung bình MN của ABC, khi đó O là trung điểm
của AD. Kẻ AO cắt BC tại D.
Từ D kẻ DE // AC, DF // AC (E AB; F AC), ta có tứ giác AEDF là hình bình
hành.
Vì O là trung điểm của đờng chéo AD nên O cũng là trung điểm của đờng
chéo EF của hình bình hành AEDF.
d. Kết luận:
Tập hợp trung điểm O của EF là đờng trung bình MN của ABC với M, N
thuộc các cạnh AB và AC.
Bài toán 2:
Cho đờng thẳng a. Tìm tập hợp tâm của các đờng tròn có bán kính R
(R > 0) tiếp xúc với đờng thẳng a.
Hớng dẫn giải
a. Phần thuận:
Gọi O là tâm đờng tròn bán kính R
tiếp xúc với đờng thẳng a, ta có
khoảng cách từ O đến đờng thẳng a luôn bằng R.
Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
16
O
y
H
x
a
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS

d
d
O
d
B
A
a
d
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Kẻ OA d ( A d); OB d ( B d)
Ta có: d // d ( gt), OA d OA d
OA d, OB d A, O, B thẳng hàng
OA = OB = R OA = OB = R =
2
1
AB=
2
1
h
O cách đều hai đờng thẳng d và d
O thuộc đờng thẳng a nằm giữa hai đờng thẳng d và d
cách mỗi đờng thẳng đó một khoảng
2
1
h.
b. Giới hạn:
O là điểm tuỳ ý trên đờng thẳng a đều vẽ đợc đờng tròn tiếp xúc với hai đờng
thẳng d và d.
c. Phần đảo:
Lấy O bất kì thuộc đờng thẳng a, kẻ OA d; OB d ( A d; B d)

Đinh Văn Tớc TrờngTHCS Gia Phong - Gia Viễn - Ninh Bình
18
O
H
N B
d

A
M
Tìm tập hợp điểm trong chơng trình THCS
Kẻ OM AB, khi đó M là hình chiếu của điểm O
trên AB, và MA = MB ( đờng kính và dây cung)
Kẻ AH d , do Avà d cố định nên AH cố định .
Kẻ MN d, do MA = MB nên MN =
2
1
AH
Vậy điểm M di động nhng luôn cách đờng thẳng d một khoảng không đổi
bằng
2
1
AH và M luôn nằm cùng phía với A so với đờng thẳng d. Vậy điểm M
thuộc đờng thẳng // d cách đờng thẳng d một khoảng
2
1
AH, đi qua trung điểm
của AH.
b. Giới hạn:
Với M là điểm tuỳ ý trên luôn là hình chiếu của một điểm O là tâm của
một đờng tròn qua A và tiếp xúc với đờng thẳng d.