Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
MỤC LỤC
Trang
Các kí hiệu thường dùng 2
PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
1/ Lí do chọn đề tài 3
2/ Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài 3
PHẦN THỨ HAI: Q TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1/ Cơ sở lí luận 4
2/ Cơ sở thực tiễn. 4
3/ Nội dung của đề tài 6
3.1/ Các dạng phương trình đường thẳng 6
3.2/ Một số bài tốn cơ bản về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 7
3.3/ Một số bài tốn thường gặp về giải tam giác bằng PPTĐ trong mặt phẳng 8
3.4/ Một số bài tốn tham khảo về giải tam giác bằng PPTĐ trong mặt phẳng 19
3.5/ Bài tập tự luyện 20
PHẦN THỨ BA: KẾT QUẢ 22
PHẦN THỨ TƯ: KẾT LUẬN 23
PHẦN THỨ NĂM: ĐỀ XUẤT 24
PHẦN THỨ SÁU:TÀI LIỆU THAM KHẢO 24
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 1 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG
Để tiện cho q trình đặt và giải quyết các bài tốn về tam giác trong mặt phẳng
(xác định các yếu tố chưa biết thơng qua các yếu tố đã biết của tam giác), ta sẽ gọi đó
là q trình giải một bài tốn tam giác (hay là giải tam giác) trong mặt phẳng và ta
coi như bài tốn được giải quyết xong nếu như xác định được tọa độ 3 đỉnh hoặc
phương trình ba cạnh của tam giác đó, các bài tập áp dụng phương pháp giải của các
bài tốn được đưa ra trong phần bài tập tự luyện.

: phương trình các đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC.
 S, p: lần lượt là diện tích, nửa chu vi của tam giác ABC.
 R, r: lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC.
 G, H: lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.
 M = d
1
∩ d
2
: Tọa độ M là giao điểm của d
1
và d
2
.
 Vtcp: vectơ chỉ phương.
 Vtpt: vectơ pháp tuyến.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 2 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Phần thứ nhất :
ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong chương trình tốn THPT, mà cụ thể là phân mơn Hình Học 10, các em
học sinh được tiếp cận với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Với Phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng các em được trang bị một số kiến thức và bài tốn cơ bản về
lập phương trình một đường thẳng như: Lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm,
lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ chỉ phương, lập phương
trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ pháp tuyến,… Do vậy nếu gặp một bài
tốn đã có đầy đủ giả thiết của các bài tốn cơ bản thì các em chỉ cần áp dụng cơng
thức là có ngay kết quả, song trong thực tế các kỳ thi hết cấp và thi tuyển sinh vào
Đại học - Cao đẳng - THCN, các em có thể gặp phải các bài tốn về giải tam giác

Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Phần thứ hai
Q TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Những bài tốn hình học cùng với sự phát triển của nó đã và sẽ khơng ngừng dẫn đến
sự chuyển hóa một số hướng nào đó thành những lĩnh vực mới về tính chất của hình
học.
Cùng một vấn đề của bài tốn ta có thể sử dụng phương pháp hình học hoặc phương
pháp giải tích hoặc bằng sự kết hợp của cả hai để giải quyết.
Với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng ta có thể làm cho hình học thốt ra
khỏi lối tư duy trực quan nhằm hướng tới sự khái qt hóa của tốn học trong các
lĩnh vực khác.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng với kiến thức gọn nhẹ, đơn giản giúp học sinh
có thể giải bài tốn giải tam giác một cách nhẹ nhàng. Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng khơng những cung cấp cho học sinh những cơng cụ mới để giải quyết bài tốn
mà còn tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy nâng cao khả năng suy
luận, ln biết nhìn nhận sự việc và hiện tượng xung quanh với sự vận động và biến
đổi của chúng để nghiên cứu tìm tòi khám phá tạo cơ sở cho sự ra đời của những
phát minh trong tương lai.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN :
Có rất nhiều cách khác nhau để tiếp cận và tìm hiểu kiến thức thực tế của học
sinh trước khi thực hiện đề tài. Khi giảng dạy trên lớp cũng như bồi dưỡng học sinh,
tơi đã đưa vào một số bài tốn sau ( các câu hỏi trong mỗi bài tốn được đưa ra theo
trật tự: giải xong câu hỏi này sẽ đặt vấn đề để có câu hỏi tiếp theo) nhằm kiểm tra
kiến thức của các em học sinh.
Bài tốn 1:
Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(2, 3), B(4, -1), C(4, 5)
a). Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA của tam giác?
b). Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác?

giải HPT tạo bởi các trung trực của tam giác, còn tâm J của đường tròn nội tiếp có
thể tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường phân giác trong của các góc
trong tam giác ( ngồi phương pháp này còn có các cách giải khác nữa).
*Với bài tốn 2: rõ ràng bài tốn này bắt đầu buộc học sinh phải tư duy để xác định
được 2 đường cao đã cho được xuất phát từ đỉnh nào của tam giác( ở đây có thể thấy
rằng tọa độ đỉnh B khơng thỏa mãn 2 PT đường cao đã cho nên ta có thể đặt:
h
A
: 5x + 3y - 4 = 0, và h
C
: 3x + 8y + 13 = 0), sau khi đã xác định rõ ràng được giả
thiết của bài tốn thì nói chung u cầu của bài tốn 2 khơng khó khăn gì nữa(bởi
đây cũng là các bài tốn cơ bản).
*Với bài tốn 3: đây là bài tốn có lẽ là khó nhất trong 3 bài tốn bởi để giải quyết
được bài tốn này phải sử dụng đến việc xác định điểm đối xứng của điểm qua
đường( phải giải quyết 2 bài tốn trung gian để có kết quả).
Đến đây hẳn q thầy cơ và các em học sinh cũng đã nhận thấy rằng việc hệ
thống kiến thức cùng với việc đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác
bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là thật cần thiết phải khơng?.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 5 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
III. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.
1. Các dạng phương trình đường thẳng:
1.1. Phương trình tổng qt:
a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A
2
+ B
2
≠

0 thì d có PT dạng: y = -
B
A
x -
B
C
; khi đó giá trị k = -
B
A
được gọi là hệ
số góc của đường thẳng d.
1.2. Phương trình tham số:
a). Dạng:
)(
0
0
Rt
btyy
atxx
∈



+=
+=
, (d) (điều kiện: a
2
+ b
2
≠

yy
a
xx
00
−
=
−
(d), (điều kiện a.b
≠
0).
b). Nhận xét:
- Đường thẳng d có Vtcp
u
=(a; b) và đi qua điểm M(x
0
; y
0
).
- Rút t từ PTTS ta được PTCT; Thu gọn PTCT của d ta được PTTQ.
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) mà a.b = 0 thì d khơng có phương trình chính tắc.
- Quy ước: nếu a = 0 thì d có PT: x – x
0
= 0, nếu b = 0 thì d có PT: y – y
0
= 0.
1.4. Phương trình đoạn chắn:
a). Dạng:
1=+

trong mặt phẳng:
2.1. Bài tốn 1: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ chỉ phương.
Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
) và có véc tơ chỉ phương
u
=(a; b) sẽ có
phương trình dạng:
- Chính tắc:
b
yy
a
xx
00
−
=
−
(nếu a.b
≠
0)
- Tham số:
)(
0
0
Rt
btyy
atxx
∈

) và có véc tơ pháp tuyến
n
=(A; B) sẽ có
phương trình dạng:
- Tổng qt: A(x – x
0
) + B( y – y
0
) = 0.
- Tham số:
)(
0
0
Rt
Atyy
Btxx
∈



−=
+=
hoặc:
)(
0
0
Rt
Atyy
Btxx
∈

- Nếu d có Vtpt
n
=(A; B) thì d có Vtcp
u
=(B; - A) hoặc
n
=(- B; A).
- Nếu d có Vtpt
n
=(A; B) thì d có PTTQ dạng: Ax + By + m = 0
2.3. Bài tốn 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc.
Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
) và có hệ số góc k sẽ có phương trình
dạng: y = k(x – x
0
) + y
0
Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có phương trình dạng: y = kx + m.
2.4. Bài tốn 4: Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2

phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
1=+
b
y
a
x
2.5. Bài tốn 5: Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng.
Đường thẳng d qua giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau
d
1
:A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 và d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0 sẽ có phương trình dạng:
m(A
1
x + B
1
y + C

x + n.(Do hai đường thẳng vng góc có tích hệ số
góc k bằng -1).
2.8. Bài tốn 8: Đường thẳng tạo với đường thẳng cho trước một góc
α
.
Đường thẳng d tạo với đường thẳng: y = k
1
x + m
1
một góc
α
, sẽ có hệ số góc k
được xác định bởi cơng thức:
1
1
tan
1 .
k k
k k
α
−
=
+
.
Chú ý: Giải phương trình trên ta tìm được hệ số góc k và quay về bài tốn 3.
2.9. Hệ quả của bài tốn 7:
a). Hệ quả 1: Tìm hình chiếu vng góc H của điểm A trên đường thẳng d.
Cách giải: - Lập PT đường thẳng
∆
qua điểm A và vng góc với d.

- Cạnh AB qua M và có vectơ chỉ phương là
NP
.
- Cạnh CB qua N và có vectơ chỉ phương là
MP
.
- Cạnh AC qua P và có vectơ chỉ phương là
NM
.
Nhận xét: Ta có thể sử dụng cơng thức tọa độ trung điểm để lập hệ PT có ẩn là tọa độ
của 3 đỉnh để có kết quả.
Ví dụ: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của 3 cạnh
có tọa độ
( ) ( ) ( )
2;1 , 5;3 , 3; 4 .M N P
−
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết của bài tốn ta giả sử M là trung điểm của AB, N là trung điểm BC, P
là trung điểm CA.
Khi đó cạnh AB qua M và nhận
( )
2;7PN
uuur
làm vtcp. Hay pt của AB:
( )
2 2

1 7
x t
t R

làm vtcp. Hay pt của AC:
( )
3 3

4 2
x t
t R
y t
= +

∈

= − +

III.3 Bài tốn 3: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 3 cạnh AB, BC, CA
của tam giác?
Nhận xét: đây cũng là bài tốn cơ bản về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng giải
quyết được một số u cầu của giả thiết như:
- Đỉnh A, B, C lần lượt là giao điểm của AB và AC; của AB và BC; của AC và
BC.
- Đường cao h
A
qua giao điểm của AB, AC đồng thời vng góc với BC.
Ví dụ: Cho tam giác ABC biết phương trình các cạnh lần lượt là:
2 0x y
− − =
,
3 5 0, 4 1 0x y x y
− + = − − =
. Viết phương trình các đường cao của tam giác.



=


hay
7 1
;
3 3
A
 
 ÷
 
Tương tự ta có
7 11
;
2 2
B BC AB B
 
= ∩ ⇒ − −
 ÷
 
,
21 8
;
11 11
C AC BC C
 
= ∩ ⇒ − −
 ÷

uuur
làm vectơ pháp tuyến hay pt
:8 2 39 0
B
h x y+ + =
Đường cao của
ABC
∆
hạ từ đỉnh C sẽ qua C và vng góc với AB nên nó nhận
35 35
;
6 6
AB
 
− −
 ÷
 
uuur
làm vectơ pháp tuyến hay pt
:11 11 29 0
C
h x y+ + =
III.4 Bài tốn 4: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2
đường trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + m
C
+ m
B
- Ta có tọa độ trọng tâm G = m
C

1;3A
và hai
trung tuyến có phương trình lần lượt là:
2 1 0, 1 0x y y
− + = − =
.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét thấy
1 2.3 1 0, 0.1 3 1 0
− + ≠ + − ≠
nên A khơng thuộc 2 đường trung tuyến
hay 2 đường trung tuyến trên xuất phát từ B và từ C, khơng làm mất tính tổng qt
giả sử
: 2 1 0, : 1 0
B C
m x y m y− + = − =
. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó
( )
1;1
B C
G m m G
= ∩ ⇒
.
Gọi M là trung điểm của BC khi đó ta có
2.GA MG
=
uuur uuuur
hay M(1;0).
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 10 -
m

=

suy ra
( ) ( )
3; 1 , 5;1B C
− −
Cạnh AB của tam giác qua A và nhận
( )
4; 4AB − −
uuur
làm vtcp hay phương trình cần tìm
là
( )
1
1
1
1 4

1 4
x t
t R
y t
= −

∈

= −

Cạnh BC của tam giác qua B và nhận
( )


3 2
x t
t R
y t
= +

∈

= −

III.5 Bài tốn 5: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2
đường cao hạ từ 2 đỉnh còn lại?
Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + h
C
+ h
B
- Cạnh AB qua đỉnh A và vng góc với h
C
.
- Cạnh AC qua đỉnh A và vng góc với h
B
.
- Đỉnh B = AB∩ h
B
; Đỉnh C = AC ∩ h
C
.
Chú ý: Bài tốn sẽ có vơ số nghiệm nếu như giả thiết của bài tốn cho 1 đỉnh và 2
đường cao trong đó có 1 đường cao xuất phát từ đỉnh đã cho.

− + + =
Cạnh AC của tam giác qua C và vng góc với
B
h
nên AC có phương trình.
2 3 0x y
+ − =
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 11 -
h
C
h
B
C
B
A
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Suy ra
B
B h BC
= ∩
hay
( )
17; 26B
− −
,
A
A h AC= ∩
hay
( )

.
- Cạnh BC qua B và vng góc với h
A
.
Ví dụ: Lập phương trình 2 cạnh còn lại của tam giác ABC biết
: 4 3 0AB x y
− + =
,
2 đường cao hạ từ A và từ B là
: 2 1 0, : 3 0
A B
h x y h x y− + = + + =
.
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết của bài tốn ta có:
A
A AB h= ∩
hay
5 1
;
7 7
A
 
−
 ÷
 
,
B
B AB h= ∩
hay

+ m
C
).
- Dạng 2: Phương trình 1 cạnh và 2 đường trung
tuyến, trong đó có 1 trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh
mà cạnh đó khơng đi qua (ví dụ: BC + m
B
+ m
A
).
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Ta có tọa độ trọng tâm G = m
C
∩ m
B
.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 12 -
h
A
h
B
C
B
A
m
B
m
C
C
B

,
C
C BC m
= ∩
hay
( )
6; 2C
−
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó
B C
G m m
= ∩
hay
10
;0
3
G
 
 ÷
 
gọi A(x;y)
khi đó
3OA OB OC OG
+ + =
uuur uuur uuur uuur
hay
( )
0
0; 6
6

B
+ m
C
).
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 2, dạng 1 được xét tương tự.
- Do M
∈
m
C
, B
∈
l
B

⇒
biểu diễn tọa độ M, B theo tham số.
- Giải hệ PT:
MABM
=

⇒
tham số
⇒
tọa độ B.
- Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua l
B
⇒
A

hay
( )
1;3C
−
.
Gọi
∆
qua B và
C
l∆ ⊥
hay
: 2 13 0x y
∆ − + =
, gọi
C
H l
= ∆ ∩
hay
21 23
;
5 5
H
 
−
 ÷
 
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 13 -
M
A
1

uuuur
làm vtcp. Hay AC có phương trình:
( )
12
1
5

16
3
5
x t
t R
y t

= − +


∈


= −


III.9 Bài tốn 9: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và 1 đường
phân giác?
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: đường cao và phân giác xuất phát từ 2 đỉnh phân
biệt khơng trùng với đỉnh đã cho (ví dụ: A + h
B
+ l

⇒
đỉnh B = BC ∩ h
B
.
Ví dụ: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A(4;5) và phương
trình đường cao và phân giác kẻ từ 1 đỉnh lần lượt là
3 6 0, 3 0.x y
− = − =
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết của bài tốn giả sử phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh B
là
: 3 0
B
l y − =
, phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh B là
:3 6 0
B
h x − =
.
Gọi
B B
B h l= ∩
hay
( )
2;3B
. Mặt khác cạnh AC của tam giác ABC qua A và vng
góc với
B
h
nên AC có phương trình y-5 = 0.


3 2
x t
t R
y t
= +

∈

= −

III.10 Bài tốn 10: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh, 1 trung
tuyến và đường cao?
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 14 -
A
1
l
C
h
B
C
B
A
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Đường cao và trung tuyến xuất phát từ 2
đỉnh mà cạnh đi qua(ví dụ: AB + h
A
+ m

MACM
=

⇒
tham số
⇒
tọa độ C.
Ví dụ : Lập phương trình cạnh AC của tam giác ABC, biết cạnh
: 2 7 0AB x y
+ − =
,
đường cao hạ từ A có phương trình
: 4 7 0
A
h x y+ − =
, trung tuyến hạ từ B có
phương trình
: 2 1 0
B
m x y− + =
.
Hướng dẫn giải :
Theo giả thiết của bài tốn ta có
A
A AB h= ∩
hay
( )
1;3A
,
B

4 2 4 ' 2 2
2
' 3
' 4
t t t
t
t t t
t

+ − = −
=


⇔
 
− = −


=


( )
7
6; , 11;4
2
M C
 
⇒
 ÷
 

m
B
M
h
A
A
C
B
A
C
C
H
B
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Ví dụ : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh
( ) ( )
1;3 , 1; 2A C
− −

trực tâm
71 77
;
31 31
H
 
−
 ÷
 
.

102 170
;
31 31
AH
 
−
 ÷
 
uuur
làm vtpt hay BC có phương trình
102 170 442 0x y
− − =
III.12 Bài tốn 12: Giải tam giác ABC khi biết phương trình cạnh, trung tuyến
và phân giác trong?
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: Trung tuyến và phân giác trong xuất phát từ 2
đỉnh mà cạnh đó đi qua(ví dụ: AB + l
B
+ m
A
).
- Dạng 2: Trung tuyến và phân giác trong xuất phát từ 2
đỉnh, với cạnh và trung tuyến khơng chung đỉnh(ví dụ:
AB + l
A
+ m
C
)
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Đỉnh A = AB ∩ m

trung tuyến
: 6 9 177 0
B
m x y+ + =
. Viết phương trình hai cạnh
còn lại của tam giác.
Hướng dẫn giải :
Theo giả thiết của bài tốn ta có
A
A AB l= ∩
hay
5 1
;
7 7
A
 
−
 ÷
 
,
B
B AB m= ∩

hay
34 115
;
7 7
B
 
− −

m
A
C
B
N A
1
A
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua
A
l
hay
576 237
' ;
35 35
B
 
−
 ÷
 
Khi đó AC qua A và B’ hay AC qua A và nhận
( )
232;551n
r
làm vtpt.
Cạnh AC có phương trình là.
232 551 87 0x y
+ + =
Gọi N là trung điểm của AC khi đó



∈


= − +


.
III.13 Bài tốn 13: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 cạnh và tọa độ
trực tâm?
PP: giả sử giả thiết của bài tốn cho AB+AC+H (trực tâm).
- Đỉnh A = AB ∩ AC.
- Đường cao h
B
qua H và
⊥
AC.
- Đỉnh B = AB ∩ h
B
.
- Cạnh BC qua B và
⊥
AH.
Ví dụ : Cho tam giác ABC có phương trình 2 cạnh là
9 0, 5 7 3 0x y x y
+ − = − + =

và trực tâm
11 14

+ − =
.
Đỉnh B của tam giác :
B
B AB h= ∩
hay
( )
2;7B
.
Cạnh BC qua B và vng góc với AH nên BC có phương trình
2 3 0x y
− + − =
Tọa độ đỉnh C của tam giác ABC.
( )
2; 1C BC AC C
= ∩ ⇒ − −
.
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 17 -
A
C
C
B
H
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
III.14 Bài tốn 14: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 cạnh và tọa độ
trọng tâm?
PP: giả sử giả thiết của bài tốn cho AB + AC + G(trọng
tâm).
- Đỉnh A = AB ∩ AC.

Theo giả thiết của bài tốn giả sử phương trình 2 cạnh của tam giác ABC là :
: 2 7 0, : 4 1 0AB x y AC x y
+ − = − − =
khi đó đỉnh
( )
5;1A AB AC A
= ∩ ⇒
.
Gọi M là trung điểm của BC khi đó điểm M được xác định bởi hệ thức
( )
2 1;1AG GM M= ⇒ −
uuur uuuur
, mặt khác do.

( ) ( ) ( )
, 7 2 ; , 1 4 '; ' , 'B AB C AC B t t C t t t t R
∈ ∈ ⇒ − + ∈
khi đó
3
' 1
t
BM MC
t
=

= ⇒

= −

uuuur uuuur

M, N, P của các góc A, B, C?
Phương pháp:
- Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
∆
MNP.
- Lập phân giác trong l
A
qua M, I và phân
giác l
B
qua N, I.
- Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua l
A
.
- Cạnh AB qua 2 điểm P, N’
⇒
B = l
B
∩ AB và A = l
A
∩ AB.
- Cạnh AC qua A, N và cạnh BC qua B, M.
Chú ý: Ta có thể lập hai cặp phân giác khác và làm tương tự như trên.
4.2Bài tốn b: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2
đường trung trực?
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 19 -
N
N’
M’
P

- Cạnh AC qua đỉnh A và
⊥
t
AC

⇒
P = AC ∩ t
AC
- Đỉnh B và C được xác định từ kết quả M là trung điểm của AB, P là trung điểm
của AC.
4.3Bài tốn c: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và tọa độ 2 chân đường
cao?
Với bài tốn này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:
- Dạng 1: 1 đỉnh và 2 chân đường cao thuộc 2 cạnh kề
với đỉnh đó (ví dụ: A + N + P).
- Dạng 2: 1 đỉnh và 2 chân đường cao, trong đó có 1
chân đường cao hạ từ đỉnh đã cho (ví dụ: A + M +
P).
Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.
- Cạnh AB qua 2 điểm A, P.
- Cạnh AC qua 2 điểm A, N.
- h
B
qua N và
⊥
AC
⇒
B = h
B
∩ AB.

B
P
N
M
C
B
A
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Bài 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của 3 cạnh có
tọa độ là: M(4; 1), N(5; -3), P(-3; 4)?
Bài 4: Cho tam giác ABC có M(- 2; 2) là trung điểm của một cạnh, còn hai cạnh kia
có phương trình lần lượt là: x – 2y – 2 = 0, 2x + 5y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác?
Bài 5: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(-1; -3) và hai đường
trung tuyến có phương trình lần lượt là: x – 2y + 1 = 0, y – 2 = 0.?
Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh B(2; -1) và phương trình 2 đường phân giác trong
có phương trình lần lượt là: x – 2y + 1 = 0, x + y + 3 = 0. Lập phương trình các cạnh
và phân giác còn lại?
Bài 7: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-1; -1) và phương trình 2 đường cao lần lượt là:
2x - 4y – 5 = 0, - 2x + y – 8 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh và lập phương trình đường
cao còn lại?
Bài 8: Viết phương trình cạnh BA của
∆
ABC, biết đỉnh C(4; 1), đường cao và phân
giác qua hai đỉnh A, B lần lượt là: 2x – 3y + 12 = 0, 2x + 3y = 0.?
Bài 9: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A(6; 5) và phương
trình đường cao và phân giác kẻ từ một đỉnh lần lượt là:3 x – 9 = 0 , y – 5 = 0.?
Bài 10: Lập phương trình các đường cao còn lại của tam giác ABC biết đỉnh B(2; 1),
đường cao và trung tuyến xuất phát từ C và A có phương trình lần lượt là:

: 4x + y – 7 = 0, trung tuyến m
C
: x – 2y + 1 = 0.?
Bài 20: Lập phương trình các cạnh và trung trực của tam giác ABC, biết phương
trình cạnh BC: x- 4 = 0, đường cao h
B
: x + y – 3 = 0, phân giác trong l
A
: x – 2 = 0.?
Bài 21: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: x – 4y - 3 = 0, phân giác
trong l
A
: x – 2y + 1 = 0, trung tuyến m
B
: 6x - 9y + 133 = 0. Viết phương trình hai
cạnh còn lại.?
Bài 22: Viết phương trình các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC, biết
cạnh BC: 4x +3y – 5 =0, phân giác trong l
B
: x + 2y –5 =0, trung tuyến m
A
: 4x +11y –
13 = 0?
Bài 23: Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh là: x - y – 9 = 0, 5x – 7y + 3 =
0 và trực tâm
10 14
;
3 3
H
 

Phần thứ tư
KẾT LUẬN
Đứng trước u cầu của các em học sinh cần có những phương pháp cho một
số bài tốn tổng qt về giải tam giác trong mặt phẳng và u cầu cao hơn là có
những phương pháp giải tối ưu để có được những lời giải gọn gàng và tường minh
nhất, đề tài “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng” đã ra đời và đã đáp ứng được u cầu trên.
Đề tài này ra đời là kết quả của q trình nghiên cứu, tìm tòi và sáng tạo về
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Đó còn là sự động viên, góp ý của các bạn
đồng nghiệp trong tổ Tốn- Trường THPT Đồng Xồi.
Hy vọng rằng đề tài này ra đời sẽ giúp các em học sinh cùng các bạn đồng
nghiệp có được một cái nhìn tồn diện về các bài tốn liên quan đến tam giác trong
mặt phẳng, đó là: xác định tọa độ các đỉnh, trung điểm, trọng tâm, trực tâm, chân
đường cao, chân đường phân giác, xác định phương trình các cạnh, các đường cao,
các đường trung tuyến, trung trực, phân giác, Trong đề tài đã trình bày một số các bài
tốn tổng qt, trong đó đã có một số bài tốn đã xuất hiện trong các kỳ thi hết cấp và
tuyển sinh vào Đại Học, Cao Đẳng. Mặc dù đã có sự đầu tư cả về thời gian và cơng
sức của bản thân trong đề tài, song phần trình bày một lượng khơng nhỏ kiến thức
liên quan, một lượng tương đối lớn các dạng bài tập khác nhau ở dạng tổng qt nên
phần thiếu sót vẫn có thể xẩy ra. Tơi rất mong nhận được sự góp ý và sự chỉ bảo chân
thành từ q thầy cơ và các bạn đồng nghiệp./.

Đồng Xồi, ngày 22 tháng 02 năm 2011
Người viết
Bùi Quang Bốn
Giáo viên: Bùi Quang Bốn -Trường THPT Đồng Xoài - Năm học: 2010-2011 -Trang 24 -
Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài tốn về giải tam giác bằng
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
Phần thứ năm
ĐỀ XUẤT