Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
42
2y x x
có đồ thị
()C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Trên đồ thị
 
C
lấy hai điểm phân biệt
,AB
có hoành độ lần lượt là
,ab
. Tìm điều kiện đối với
,ab
để hai tiếp tuyến của
 
C
tại
,AB
song song với nhau.
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình:

ABC
với
 
1; 1;1A 
và hai đường trung tuyến
lần lượt có phương trình là:
1
12
:
2 3 2
x y z
d



và
2
1
:
0
1
xt
d
y
zt






.S ABCD
, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC
và
SB
bằng
a
.
Câu 7: (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
O xy
, cho tam giác
ABC
cân tại đỉnh
C
biết phương trình đường
thẳng
AB
là
20xy  
, trọng tâm của tam giác là
14 5
;
33
G



và diện tích tam giác
ABC


Câu 1:
1.
Tập xác định:
D 
.
Ta có:
3
0
4 4 ; ' 0
1
x
y x x y
x



   


2
'' 12 6; ''( 1) 0; ''(0 ) 0; ''(1) 0y x y y y     

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
1x 
và
1x 

0

0

0 +
y


0
 -1 -1
Đồ thị:

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 3 2.
Ta có:
3
' 4 4y x x

Hệ số góc tiếp tuyến của
 
C
tại
,AB
lần lượt là:
33


Vì
A
và
B
phân biệt nên
ab
, suy ra:
22
10a a b b   

Hai tiếp tuyến của
 
C
tại
A
và
B
trùng nhau khi và chỉ khi:
       
22
22
4 2 4 2
1
10
10
1
1
''
3 2 3 2


  
    








Vậy điều kiện để hai tiếp tuyến của
 
C
tại
A
và
B
song song với nhau là:
22
10
1;
a ab b
a a b

   

  








12
,dd
trùng nhau
12
12
aa
bb







Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Cho hàm số
42
1y x m x m   
có đồ thị
()
m
C
. Chứng minh rằng khi
m
thay đổi thì

, tìm
a
để từ
A
kẻ được 3 tiếp
tuyến phân biệt với đồ thị
 
C
.
Đáp số:
3
1
2
a   
hoặc
3
1
2
aCâu 2:
Phương trình tương đương với:

2
9 sin 6 cos 6 sin cos 2 cos 9x x x x x   

   
2
9 sin 1 6 cos 1 sin 2 cos 0x x x x     


   
(Phương trình
6 cos 2 sin 7xx
vô nghiệm do
2 2 2
6 2 7
)
Vậy họ nghiệm của phương trình là:
 
2
2
x k k


  
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Phương trình
sin cosa x b x c
có nghiệm
2 2 2
a b c  
.
Thật vậy: chọn góc
a
sao cho
cos ; sin
ab
a b a b

1. Giải phương trình:
 
2 2 sin cos cos 3 cos 2x x x x  
.
Đáp số: Phương trình vô nghiệm.
2. Giải phương trình:
 
3
sin cos sin 2 3 cos 3 2 cos 4 sinx x x x x x   
.
Đáp số:
;,
7
2
6 42
2
k
x k k
  


    


.

Câu 3:
Xét hàm số
 
tanf x x x


Mà ta có:
 
00f 
, nên suy ra:
 
m in tan , tan , ; 0
4
x x x x


  


và
 
m in tan , , 0;
4
x x x x


  



Vậy:
   
0
4
0



Nhận xét: Bài toán trên không hề khó, tuy nhiên cách phát biểu như trên thường ít gặp đối với học
sinh. Cách giải hoàn toàn giống cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối, khi xét các khoảng
khác nhau của biến số.Một điều vô cùng thú vị là hàm số
min
hay
m ax
có thể biểu diễn thông qua
hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.Cụ thể là:
 
 
1
m in ,
2
a b a b a b   
và
 
 
1
m ax ,
2
a b a b a b   
.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Tính tích phân:
 
2
2
0

4
1
1
2
Ie

   

3. Tính tích phân:
 
4
6
m ax tan 2 sin , 3I x x x dx






Đáp số:
2
4 2 2 ln 2
2 24
I


Câu 4:





 
 
3 1 3
3 3 1
x a b
y a b

   



   



Do đó:
 
 
 
2
22
2
3 3 4 1 16x y a b

      


1k 
thì tập hợp là đường thẳng
1
2
y 

Nếu
1k 
thì tập hợp là đường tròn tâm
2
2
0;
1
k
I
k




và bán kính
2
1
k
R
k



2. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức

12
,A d A d
nên giả sử
12
,dd
lần lượt là trung tuyến kẻ từ đỉnh
,BC
.
Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm
,AC AB
.
Do
N
thuộc
2
d
nên tọa độ
N
có dạng
 
1 ; 0;1N t t
. Vì
N
là trung điểm
AB
suy ra tọa độ
B
là

là trung điểm
AC
suy ra tọa độ
C
là
 
4 1;3 6 ;3 4C s s s  
.
Mà
C
thuộc
2
d
, nên ta có:
1
2
s 
. Vậy tọa độ đỉnh
C
là
 
1;0;1C
.
Khi đó ta có:
6 ; 1A B A C
.
Gọi
AD
là đường phân giác trong của góc
A

ABC
có đường phân giác trong
AD
.
Theo tính chất đường phân giác, ta sẽ có:
.
AB
D B D C
AC


Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Trong không gian với tọa độ
O xyz
, cho tam giác
ABC
với tọa độ đỉnh
 
3; 2; 3C
và phương trình
đường cao
AH
, phương trình đường phân giác trong
BD
lần lượt là:
12
2 3 3 1 4 3
: ; :
1 1 2 1 2 1
x y z x y z

S 

2. Trong không gian với hệ toạ độ
O xyz
, cho hai điểm
 
1; 2; 3A
và
 
1; 4; 2B 
. Tìm toạ độ điểm
C

thuộc mặt phẳng
 
: 1 0P x y z   
để
ABC
là tam giác đều.
Đáp số:
1 3 5 11 3 5 3
;;
4 4 2
C





hoặc

ABC D
.
Do
AO
là trung tuyến của
ABD
nên
2 2 2 2
2
36
2 4 2 2
A B A D B D a a
A O A O

    

26
33
A O a
A H A O   

Lại có:
2 2 2
22
23
33
2 4 3
B D B C C D a
B M a B M a B H


2SH a
H K SH H B
   

Ta có:
3
.
1 4 8 4 2
. . . .
3 3 3 3
S AB C D ABC D O A B
a
V S H S SH S SH O A B H   

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Cho hình chóp
.S ABCD
, đáy
ABC D
là hình bình hành với
AB a
,
2A D a
và
SC
vuông góc
với mặt phẳng
 
ABC D
. Biết góc

ABC D
là hình bình hành với
AB a
,
2A D a
,
60
o
BAD 
. Cạnh
SA a
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
,,M N P

lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
lên
,,B C D C SC
tương ứng. Tính thể tích khối tứ
diện
AMNP
và khoảng cách giữa 2 đường thẳng
,N P A C

theo
a
.
Đáp án:
3
5 3 10 2829

M
là nghiệm của hệ:
5
20
2
3 0 1
2
x
xy
xy
y



  




  






Hay tọa độ
M
là
51

G



là trọng tâm tam giác
ABC
nên tọa độ đỉnh
B
là
 
5 ; 3B a a
.
Khi đó ta có:
   
22
5 2 2 5 2 2 5A B a a a     

Ta có:
0
65 1 65 13
. . 2 2 5 . 65 2 5 5
5
2 2 2
2
ABC
a
S AB C H a a
a



,,A B C
nên ta có hệ:
137
26
44
59
10 6 34
26
18 1 2 1 17
66
13
a
bc
a b c
b
a b c
c



  




   



   

G
xxx
x
yyy
y












Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
O xy
, cho tam giác
ABC
có đỉnh
 
12;1B 
, đường phân giác trong
góc
A
có phương trình
: 2 5 0d x y  

Oy
tại
E
sao cho
2AE E B
. Biết rằng tam giác
AEC
cân tại
A
và có trọng tâm
13
2;
3
G



. Viết
phương trình đường thẳng
BC
.
Đáp số:
2 5 7 0xy  Câu 8:
Định hướng: Nhận thấy biểu thức ở vế trái là một hàm số đồng biến với
x
đủ lớn và biểu thức ở vế
phải là một hàm số nghịch biến với

5 3 3
3 1 2 6 6
2 2 2
x x x x x        

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
2
x 
.
Lại có:
 
 
2
2
1 1 3
36 8 21 12 3 2 2 3 6
2 2 2
Q x x x x x

        


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
2
x 
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:
3

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 11

Đáp số:
3
2
x 
.

Câu 9:
Xét tứ giác
OABC
có
; ; ; 45 ; 30
oo
OA a O B b O C c AO B BO C    
.
Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:
22
2AB a ab b  

22
3B C b bc c  

22
23A C a ac c   
, vì
23

hình học. Trong các bài toán này, chúng ta cần sử dụng linh hoạt các công thức: phương trình đường
tròn, phương trình đường thẳng, công thức tính khoảng cách, định lý hàm số cos, …
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Cho
, , ,a b c d
là các số thực thỏa mãn
 
22
12a b a b   
và
 
22
36 12c d c d   
.
Chứng minh rằng:
 
   
 
66
22
2 1 2 1a c b d      

Hướng dẫn: Xét điểm
   
, , ,M a b N c d
thì ta có:
M
nằm trên đường tròn tâm
 
1;1A

,xy

thỏa mãn
các điều kiện đã cho là phần bên trong tứ giác
ABC D

với
       
1; 0 ; 0; 2 ; 0;3 ; 9; 0A B C D

Dễ dàng chứng minh được:
2
5
65
2
MI
với điểm
I

có tọa độ
 
2; 4I