Page 1
ĐỀ SỐ 16
Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n V n ă m 2 0 1 1 –
T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n Đ H S P H à N ộ i

Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số
21
1
x
y
x




1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Tìm k để trên đồ thị (C) có hai điểm phân biệt
( , )
MM
M x y
,
( , )
NN
N x y
thỏa mãn:
MM

4
sin
sin cos
x
dx
xx





Câu 4 (1 điểm)
Cho lăng trụ xiên ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A' xuống mặt
phẳng (ABC) trung với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích xung quanh
của hình lăng trụ, biết góc BAA' =
0
45

Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

24
24
24
0
0
0
x y z
y z x
z x y

0zz
. Page 2
ĐỀ SỐ 16
Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n V n ă m 2 0 1 1 –
T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n Đ H S P H à N ộ i
Câu 1
2/ Theo bài ra M, N là 2 điểm thuộc đường thẳng x + y = k hay
y = −x + k.
Xét phương trình hoành độ giao điểm
10
21
2 1 ( 1)( )
1
x
x
xk
x x x k
x



   

    

. Với điều
kiện trên thì phương trình này có hai nghiệm cùng dấu

phương trình (*) có hai nghiệm
cùng phía so với 1

Hai điểm M,N cùng thuộc một nhánh của đồ thị (C)
Lưu ý:
Không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai để chứng minh!
Câu 2
1/ Giải phương trình:
11
3sin 3 2sin 8 2sin 2 3cos 3
5 3 15 5
x x x x
   
       
      
       
       

(2.1)
Phương trình (2.1)
1 3 11
2 3 sin 3 cos 3 2 sin 8 sin 2 0
2 5 2 5 3 5
x x x x
   



31 2
52
.
150 5
xk
x
x k k
x
xk

















    





2
2
2
( 2) ( 2 5) 0
53
x
x x x
x


     



2 0 2xx    
Page 3
Vì
2
22
22
2 4 5 14
2 5 ( 1) 0
5 3 5 3


). Như vậy f(x) là
hàm số đồng biến trên R.
Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Câu 3 Tính tích phân I =
4
2
44
4
sin
sin cos
x
dx
xx





Xét thêm
4
2
44
4
cos
sin cos
x
J dx
xx


  

Đặt t = sin2x ta có dt = 2cos2x.dx. Khi đó
0
0
2
1
1
1 2 1 1 2 1
ln ln ln(3 2 2)
2
2 2 2 2 2 1 2 2 2
dt t
JI
t
t

     



(2)
Từ (1) và (2) suy ra
1
ln(3 2 2)
8
42
I

  

a
;
'
2
a
AH A H
. Do đó
2
''
2
AA B B
a
S 
. Vì
AO BC
nên
AA'

BC
' ' 'BB BC BB C C  
cũng là hình chữ nhật
Vậy
2
''
2
'.
2
BB C C
a
S BB BC





TH2:
y x z
. Xét tương tự vẫn ra x = y = z.
Thế vào một phương trình của hệ được
3
( ) 1 0f x x x   
với x<0. Ta có
2
'( ) 3 1 0f x x  
với mọi x nên hàm số luôn đồng biến, mà f(−1) = −1 < 0; f(0) = 1 > 0 suy
ra phương trình có duy nhất một nghiệm âm.
Vậy hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.
Câu 6
1/ Hệ phương trình tọa độ giao điểm của d và (E):
22
3 4 12 0
0; 3
4; 0
1
16 9
xy
xy
xy
xy
  


3 4 12
12
22
3 4 12 12
5
34
32
9 16 144
1
2
16 9
xy
x
xy
xy
y
xy







  
  


  


Ta có
(0; 2;0), ( 1;0;0), (0;0;4)DA DB DC    

. . . 0DADB DB DC DC DA   

Suy ra DA, DB, DC từng đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AC, Mx là trục của tam
giác ABC thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là giao giữa Mx và mặt phẳng trung
trực của BD. Từ đó suy ra:
1
2
MI DB

Xác định bởi
3
;3;1
2
I



và
21
2
R ID

Phương trình mặt cầu (S):
2
22
3 21
( 3) ( 1)

Có hai mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:
21
30
2
y   

Câu 7
Đặt
;( , )z x yi x y R  
. Khi đó ta có:
2 2 2 2 2
0 2 0z z x y x y xyi       

2 2 2 2
0
0
0, 1
0
0, 1
xy
xy
xy
x y x y
xy





