Page 1
ĐỀ SỐ 10
Đề thi thử Đại học lần IV năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số
32
3y x x mx m   
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0
2. Tìm các giá trị của m, để đường thẳng (d) đi qua điểm I (−1; 2) với hệ số góc bằng (−m)
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, I. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (1) tại A và B song song với nhau.
Câu 2 (2 điểm)
1. Giải phương trình:
22
1 1 8
cot .cot
cos sin 3 3 6
xx
xx

   
   
   
   


Cho ba số thực x, y, z thay đổi thỏa mãn
2 2 2
0
1
x y z
x y z
  


  


Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3 3
P x y z  

Câu 6 (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 đường thẳng
1
: 2 0d x y  
,
2
:2 3 0  d x y
,
3
:3 5 0d x y  
. Tìm độ dài các đỉnh hình vuông ABCD, biết rằng
1 2 3
, , ,A C d B d D d  




Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với 2 đường thẳng
12
,dd
.
Câu 7 (1 điểm)
Cho số phức z thỏa mãn
18
1
2
z
z
z



. Hãy tính
4
2


zi
zi
Page 2
1 2 2 2 0
2
m
m
m
    

  

   


Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của (*) và
   
1 1 2 2
, , ,A x y B x y
là 2 giao điểm.
Hệ số góc của hai tiếp tuyến tại A và B là

 
22
'( ) 3 6 3 2
i i i i i i
k y x x x m x x m      

Mặt khác
1

)
3
6 4 0
2
mm    

Điều này mâu thuẫn với (**).
Vậy với
3
2
m 
thì hai tiếp tuyến tại A và B song song với nhau
Lưu ý: có thể giải cách khác bằng việc chứng minh điểm I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
đã cho
(0,5 điểm)

Câu 2 (2 điểm)
1. (1 điểm)
Điều kiện:
sin2 0
& ( )
sin .sin 0
2 3 2
36



     

   

2 2 2 2
3 sin cos 8sin cosx x x x

(0,5 điểm)
22
3cos2 2sin 2 3cos2 2(1 cos 2 )x x x x      

2
1
2cos 2 3cos2 2 0 cos2 ( )
23
x x x x k k Z


           

So sánh với điều kiện, nghiệm của phương trình là
()
3
x k k Z


  

(0,5 điểm)
2. (1 điểm)
Điểu kiện:
70
20
5 8 0

x x x x x

             

Khi đó
112 56 16 13
5 8 5
yy

   
(các giá trị vừa tính được của x và y đều thỏa mãn điều
kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm
56 13
,
55
xy

(0,5 điểm)
Câu 3 (1 điểm)
Ta có
   
 
   
11
2 2 2
00
1
1
3

Khi đó:

 
55
5
2
2
22
1 1 1 1 1 5 1
ln ln ln 2 1
1 2 1 1 2 1 2
dt t
I dt
t t t t


      

   



(0,5 điểm)
Câu 4 (1 điểm) Page 4

ID BD SB SD x    

Do đó
 
2 2 2
1
2 2 . 36 3 36
4
SABCD SBCD
V V x x x x x     

Ta có phương trình:

2 4 2 2
3 36 18 3 36 324 0 18 3 2x x x x x x         

Vậy độ dài các cạnh còn lại của tứ diện là
32x 

(0,5 điểm)
Câu 5 (1 điểm)
Từ
   
3
33
03x y z z x y P x y x y xyz            

Từ

 

3
( ) 3
2
f z z z
với
22
;
33
z




.
Ta có
2
31
'( ) 9 0
26
f z z z     
Page 5
Bảng biến thiên:
z
2Ta có
1 1 2 1
,
6 6 3 6
ff
   
  
   
   
   
và từ bảng biến thiên, suy ra
1 2 2
( ) , ;
6 3 3
f z z

   



Mặt khác
21
,
36
z x y   
thỏa mãn đề bài và

11
& (1; 1) 3 2 8 0
d
I d BD d BD u d b d b          

Từ đó có hệ phương trình:
2 8 0
2
11
3
( ) (2 3 2) 2 0
22
bd
b
d
b d b d
  







     




(0,5 điểm)

a
a a a a
a


   
         
   


   


Hai nghiệm trên là hoành độ của A và C
Tóm lại
( 2;4), ( 2; 1), (3; 1), (3;4)A B C D   
hoặc

(3; 1), ( 2; 1), ( 2;4), (3;4)A B C D   

(0,5 điểm)

2. (1 điểm)
Gọi các vectơ chỉ phương của
12
&dd
lần lượt là

12
(2; 3;2)& (3; 2;1)uu   


3
2





= (1; 4; 5)
Phương trình mặt phẳng (P):
4 5 0x y z D   
(0,5 điểm)
Tâm của (S) là I (2; −3; 1) và bán kính
42R 

Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên khoảng cách từ I đến (P) bằng bán kính R, suy ra
 
47
2 3.4 5
,( ) 42 5 42
37
1 16 25
D
D
d I P D
D

  

      

    



zi
zz
zi
(thỏa mãn
2z 
)
+ Với
2 4 2 8 1 4 17 170
24
2 6 1 3 10
2
10
i i i
zi
ii
zi
  
      



+ Với
2 4 2 1 1 2
24
2 2 1 2
2