TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
TỔ TOÁN
KIỂM TRA KỌC KÌ I
Môn TOÁN - lớp 11
(Thời gian làm bài: 90 phút)

Bài 1 (3 điểm). Giải các phương trình sau
a)
2
cos 3sin 3 0+ + =x x
.
b)
sin 2 osx
0
1-sinx
x c−
=
c)
1 t anx
1 sin 2
1 t anx
x
−
= +
+

Bài 2 (2 điểm). Cho tập hợp
{
}
1;2;3;4;5;6;7;8;9X =

Bài câu Bài giải gợi ý Điểm
Bài 1 a)
( )
2
sin 3sin 4 0⇔ − − =PT x x

0.25
sin 1
sin 4( )
= −

⇔

=

x
x l0.5
sin 1 2
2
x x k
π
π
= − ⇔ = − +

0.25
b)
Điều kiện:

1
6
sinx=
2 5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +



0.25
Đối chiếu với điều kiện, phương trình có 3 họ nghiệm:
5
2 ; 2 ; 2
2 6 6

 
≠ − −


≠ +

0,25
( ) ( )
2 3cos sinx
sinx cos cos sinx sinx cos
cos sinx
x
pt x x x
x
−
⇔ = + ⇔ − = +
+0.25
Chia 2 vế của pt cho
3
os 0c x ≠
, có
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

Bài2

a)
Số lẻ có 6 chữ số có dạng
{
}
, 1;3;5;7;9abcdef f ∈

Chọn f có 5 cách

0.25
Chọn abcde có
5
8
6720A = cách
0.5
Vậy, số các số lẻ cần tìm có
5
8
5. 33600A = (số)
0.25
b)
Số lẻ có 6 chữ số có dạng
{
}

2
4
C .
2
4
A =8640 (số)
0.25
Bài 3
Xác suất để mỗi bóng sáng là:
1 39
1
40 40
− =

0,25
Biến cố A: “Lớp học có đủ ánh sáng”, A : “Lớp học không có đủ ánh
sáng”
B: “6 bóng đèn sáng, 2 bóng đèn bị cháy”.
C: “7 bóng đèn sáng, 1 bóng đèn bị cháy”.
D: “8 bóng đèn sang”. 0.25
( )
2
8
6 2
39 1
. . 0.015
40 40

(Đúng P(B) và P(D) hoặc P(C) và P(D) thì cho t
ố
i đa)

0,5

; , ,A B C D B C D= ∪ ∪

đôi một xung khắc.
0,25
( ) ( ) ( ) ( )

P A P B P C P D
= + +2 1
8 8
6 2 7 8
39 1 39 1 39
. . . . 0.9992
40 40 40 40 40
C C
   
       
+ + ≈
   
       
       
 

1
' 3;1A d∈ nên 3 2 0 1m m− + = ⇔ = −
0.25
Vậy
1
: 2 1 0d x y− − =
0,25
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài 5 a)
(Vẽ đúng thiết diện là cho
điểm)
0.25
Có
/ /
( )
( )
( ); ( )

AB CD

⇒


nên ABNM là hình thang.
Khi M trùng D thì ABNM là hình bình hành.
0.25
b)
Có
( )
( ) ( )
( )
I AM SAD
I SAD ABC
I BN SBC
∈ ⊂

⇒ ∈ ∩

∈ ⊂

= d
0.25
Do hai mp (SAD) và (SBC) cố định nên giao tuyến d của chúng cố
định. Vậy, I chạy trên đường thẳng cố định.
0.25
Có
/ /
( )

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
ĐỀ THI HỌC KỲ I
MÔN TOÁN LỚP 11 N
Thời gian 90’(không kể thời gian giao đề) I . Phần chung (Gồm 5 bài, bắt buộc cho mọi học sinh):
Bài 1: (2 điểm)
a. Giải phương trình : cos 2x sin x 1+ =
b. Giải phương trình :
( ) ( )
2 2 2
2sin x 1 tan 2x 3 2cos x 1 0− + − =
Bài 2: (1,5 điểm) Cho tập
{ }
10 ,,3,2,1X = .Chọn tùy ý ba số khác nhau , không kể thứ tự từ X
a. Tính xác suất để tổng 3 số được chọn là 12.
b. Tính xác suất để tổng 3 số được chọn là số lẻ.
Bài 3: (2 điểm)
a. Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển nhị thức
12
1
x
x
 
+
 
 
; x 0≠ .

Tìm quỹ tích các điểm M và N khi PQ thay đổi./.
==========================================================
Trường QH Huế
Tổ Toán
Đề chính thức
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC KỲ I
Môn Toán lớp 11
Bài Ý

Nội dung Điểm

1 a.
cos 2x sin x 1
+ =

1,0

2
2sin x sin x 0
⇔ − + =

1
sin x 0,sin x
2
⇔ = =
*
sin x 0 x k (k )

2 2
cos 2x tan 2x 3cos 2x 0 tan 2x 3
⇔ − + = ⇔ = tan 2x 3 x k , k Z
6 2
π π
⇔ = ± ⇔ = ± + ∈
(thỏa điều kiện) 0,5
0,5
2

a.

b.

Các khả năng có thể
3
10
C 120
=
Xác xuất để tổng 3 số được chọn là
( )
7
P A
120

12 k
1
C x . k 12 k k 6
x
−
⇒ = − ⇔ =
.
6
12
C 924
=
0,25

0,5
0,25
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
b.
Điều kiện
x N
x N, 2x 2, x 2, x 3
x 3
∈

∈ ≥ ≥ ≥ ⇒

≥


Biến đổi đưa về bpt : x

0 0
x' x k x x
y' y k y y
, trong đó k = -2 ,
= − =
0 0
x 1;y 4
.
*
( )
( )
+

=


+ = − +
 
−
⇔
 
−
− = − −



=

−


0,25
5 .
1.

2.

Vẽ hình đúng
Xác định được thiết diện là MPQN
Chỉ được hai khả năng
MP QN
hoặc
MN QP

Nếu
MP QN do MP SA SA QN
⇒ suy ra SA song song với mp
(SCD) vô lý .
Nếu
MN QP
thì MN song song với BC. Đảo lại và kết luận 0,25
0,5
0,25

0,25
0,25
693
9 d 77 d 81 77 4 d 2
9
⇒ − = = ⇔ = − = ⇔ = ±

Vậy ba số cần tìm là: 7; 9; 11 hoặc 11; 9; 7.
0,5

0,5
0,5

0,5
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

6.B.
Vì C nằm trên AB nên :
(
)
CA kCB; k 0
= ≠
 
.
BQ // AP CM kCQ
⇒ = ⇒
 
M là ảnh của Q qua phép vị tự

Chú ý : Do Q khác A và B nên tập hợp điểm M không phải toàn
bộ đường tròn (
1
0 ) . Tương tự tập hợp điểm N không phải toàn
bộ đường tròn )0(
2

0,5
0,5
0,5

0,5
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
SỞ GD & ĐT THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC MÔN: TOÁN LỚP 11 - N
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH
Câu 1 (3 điểm). Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cos 2 5sin 2 0x x+ + = .
b)
sin (2sin 3)
cos
2cos 1
x x
x

BG
.
B. PHẦN RIÊNG (Học sinh chỉ được làm một trong hai phần)
Câu 6a (1 điểm) (Theo chương trình chuẩn).
Cho dãy số ( )
n
u biết
1 1
2; 3

n n
u u u n
+
= − = + với 1.n ≥
Lập công thức số hạng tổng quát
n
u của dãy số trên.
Câu 6b (1 điểm) (Theo chương trình nâng cao).
Tìm hệ số của số hạng chứa
9
x trong khai triển
2
1
2
n
x
x
 
−
 

6

(lo¹i)x x x x x x
x
x
x k
k
x k
π
π
π
π
+ + = ⇔ − + + = ⇔ − − =
=


⇔
−

=


= − +

⇔ ∈



(lo¹i)
(tháa ®iÒu kiÖn).
x x x x x x x
x x x x x
x x k x k
x x k x k
π
π π
π π
π π π
π
+ = − ⇔ + =
 
⇔ + = ⇔ − =
 
 
 
= − + = − +
 
⇔ ⇔
 
 
= − + + = +
 
 

Vậy phương trình có nghiệm là
2
,( ).
9 3

x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x
x x x
x x x
−
   
− + − − = ⇔ + − =
   
   
⇔ − − − = ⇔ − − =
− = =
 
⇔ ⇔ ⇔
 
− = =
 
n 1
1
tan
3
4
( ).
6
x
x
x k
k
x k

0,25đ
Câu 2
Gọi abcd là số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 3000 được lập từ A, khi
đó {3;4;5;6}a ∈ và {0; 2;4;6}d ∈ . Có 2 trường hợp:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
• Nếu
{3;5}
a
∈
: Có 2 cách chọn a, 4 cách chọn d và
2
5
A
cách chọn
bc
. Do đó trường
hợp này có
2
5
2.4. 160
A = số.
• Nếu
{4;6}
a
∈
: Có 2 cách chọn a, 3 cách chọn d và

Ta có:
4 4 4
4 5 7
41.
A
C C CΩ = + + =
Do đó xác suất của biến cố
A
là:
41
( )
1820
A
P A
Ω
= =
Ω
.
Vậy xác suất của biến cố A là
41 1779
( ) 1 ( ) 1 0,98.
1820 1820
P A P A= − = − = ≈

0,25đ
0,25đ

0,25đ

0,25đ

N T M
=

nên tọa độ của N là
( 3; 2 1).
N x x
+ − −

2 2
2
( ) ( 3) ( 2 1) 2( 3) 4( 2 1) 20 0
5 20 2.
N C x x x x
x x
∈ ⇔ + + − − − + + − − − =
⇔ = ⇔ = ±

Với
2
x
=
ta có
(2; 4)
M
−
và
(5; 5).
N
−


C

D

I

Gọi Q là giao điểm của NI và BD.
Ta có
( ) ( )
Q MNI BCD
∈ ∩
,
( ), ( )
MN MNI BC BCD
⊂ ⊂
và
//
MN BC
nên giao
tuyến của (MNI) và (BCD) là đường thẳng d đi
qua Q song song với BC, cắt CD tại P.
Khi đó tứ giác MNPQ là thiết diện của hình
chóp cắt bởi (IMN).
Vì MN//PQ nên thiết diện là hình thang.

0,25đ 0,25đ


BThiết diện MNPQ là hình bình hành khi
2
BC
MN PQ= = . Do đó, gọi Q là trung điểm BD
và I là giao điểm của BG và NQ. Khi đó với
điểm I xác định như vậy thì thiết diện thu được
khi cắt tứ diện ABCD bởi mặt phẳng (MNI) là
hình bình hành.
Trong (BDN), kẻ GH//NQ
( )
H BD
∈
. Ta có:
1
4 .
4
HQ HQ NG
QB HQ
QD QB ND
= = = ⇒ =
4 4
.
4 5
BI BQ BQ QH
BG BH BQ QH QH QH
= = = =
+ +

3 2
4 3
1
3
6
9

3( 1)
n n
u u
u u
u u
u u n
−
− =
− =
− =
− = −

Suy ra
1 1
3 6 9 3( 1)
n n
u u n S
−
− = + + + + − = trong đó
1
n
S
−
0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ
6b)
Điều kiện: 3,
n n N
≥ ∈
.
3 2 2 2
1
2 3 2 2 2
3 2 2
! ( 1)!
8 3( 1) 8 3. 3
( 3)! 2!( 3)!
3( 2)( 1)
( 2)( 1) 8 3 2( 3 2 ) 16 3 9 12
2
2 25 13 12 0 ( 12)(2 1) 0

Số hạng tổng quát
12
2
2
1 12 12
12
1
.( 2 ) .( 2) .
k
k
k k k k
k
k
x
T C x C
x x
−
+
−
 
= − = −
 
 

1
k
T
+
chứa
9


Ghi chú: Các cách giải khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa và điểm thành phần cũng được cho một cách tương ứng.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1
Tổ Toán MÔN: TOÁN LỚP 11 - N
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (3 điểm). Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
2
4sin 4cos 1 0.x x+ − = .
b)
( )
(2 cos 1)(cos 1)
3 2 cos 1
sin
x x
x
x
+ −
= − .
c)
( )
tan sin 2 cos 2 tan 6x x x x− = + .
Câu 2 (1 điểm). Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số trong đó chữ số 9 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại
có mặt một lần.
Câu 3 (2 điểm).
a) Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học có 15 nam và 20 nữ để tham gia đồng diễn. Tính

M N
sao cho N là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỷ số 2k = − (với O là gốc
tọa độ).
Câu 6 (2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và
// .
AD BC Gọi E, F lần lượt là
trung điểm của AB, CD; H, K lần lượt là trung điểm của SE và SF; G là trọng tâm của tam giác ABD. Trên
đoạn SG lấy điểm I sao cho 3 .SI IG=
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (HIK). Thiết diện là hình gì?
b) Biết rằng SA BC a= = và 2 .SD AD a= = Hãy tính theo a chu vi của thiết diện vừa tìm được.
HẾT

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1
Tổ Toán MÔN: TOÁN LỚP 11 - N

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

1a)
2 2 2
4sin 4cos 1 0 4 4 cos 4cos 1 0 4cos 4cos 3 0
3
cos
2
1
cos

= +

⇔ ∈


= − +


»

(lo¹i)
0,25 đ

0,25đ
0,5 đ
1b)
Điều kiện: sin 0 ( ).x x k k
π
≠ ⇔ ≠ ∈»
Với điều kiện đó, phương trình tương đương với
2
2cos cos 1 3(2 cos 1) sin cos 2 cos 3(sin 2 sin )
3 sin cos 3 sin 2 cos 2
3 1 3 1

= −
− = − +

⇔ ⇔

= +

− = − + +


(lo¹i)
(t




háa ®iÒu kiÖn).

Vậy phương trình có nghiệm là
4 2
,( ).
9 3
x k k
π π
= + ∈Z
0,25 đ 0,25đ


x x x x x
x x x x x x x x
x
x k
k
x
x k
π
π
π
− = − +
⇔ + − = − +
⇔ − = − − + + ⇔ + − − =

= ±
= ± +


⇔ ⇔ ∈


= −

= − +


Z

0,25đ 0,5đ

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
sắp thứ tự chúng vào 2 vị trí còn lại: có
2
8
A cách.
Vậy trường hợp này có
3 2
5 8
8. . 4480C A = số
Tóm lại có 5040+4480=9520 số thỏa yêu cầu. 0,25đ
3a)
Số phần tử của không gian mẫu là
5
35
| | 324632.CΩ = =
Gọi A là biến cố “5 học sinh chọn được có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số
học sinh nam”. Khi đó có các trường hợp xảy ra là: 1 nữ và 4 nam; 2 nữ và 3 nam.
Số kết quả thuận lợi cho A là
1 4 2 3
20 15 20 15
| | . . 113750.

1 2 3 4
A A A A A= , trong đó
i
A là biến cố lần gieo thứ ( {1, 2,3,4}) i i ∈
xuất hiện mặt sấp.
Vì
1 2 3 4
, , ,A A A A độc lập với nhau nên
4
1 2 3 4
5
( ) ( ). ( ). ( ). ( ) .
9
P A P A P A P A P A
 
= =
 
 

Vậy
4
5
( ) 1 ( ) 1 0,905.
9
P A P A
 
= − = − ≈
 
 


n n n n n
n
n
−
−
− + = ⇔ − + − =
−
⇔ − − + = ⇔ − − =
=

⇔

= −

(lo¹i)

Khi đó
3 3
2 2
10
1 1
3 3 .
n
x x
x x
   
− = −
   
   
Số hạng tổng quát

không chứa x khi 30 3 2 0 5 30 6.k k k k− − = ⇔ = ⇔ =
Vậy số hạng không chứa x của khai triển là:
6 4 6
10
.3 .( 1) 17010.C − =

0,25đ

0,25đ
0,25đ 0,25đ
Câu 5
Gọi ( ; ) ( )
M x y C
∈ . Khi đó
2 2
2 10 0 (1).x y x y+ − + − =
Ta có:
( , 2)
2
( ) 2 ( 2 ; 2 ).
2

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 10 0 4 4 8 4 40 0
4 4 4 2 10 0 4 4 4 2 10 0
12 6 30 0 2 5
2 10 0 (2 5) 2 2 5 10 0
2 5
2
.
1
5 20 20 0

x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y y x
x y x y x x x x
y x
x
y
x x
 
+ − + − = + − + − =


0,25đ
6a

L

Q

M

P

N
J

I
K

H

E

F
G
A

D
B

S

0,25đ
0,25đ
6b
+ Gọi L là trung điểm HE, ta có 3 // 2 .
SL SI
LI EJ EJ LI
LE IG
= = ⇒ ⇒ =
Mặt khác,
3 3
.
4 4
LI SI
LI EG
EG SG
= = ⇒ =
Do đó
3 3 3 1 1
2. .
4 2 2 3 2
EJ EG EG ED ED= = = = do đó J là trung điểm ED.
Suy ra M, N lần lượt là trung điểm của AE, DF.
+ Vậy
//

MN
+
+
+ + +
= = = = =
+ Vậy chu vi của thiết diện MNPQ là

7 6 3 17
.
4 4 4 4 4
a a a a a
MN NP PQ QM+ + + = + + + =

0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ